スピン統計定理

スピン統計定理は、粒子の固有スピン（軌道運動によるものではない角運動量）とそのような粒子の集合の量子粒子統計との間の観察された関係が量子力学の数学の結果であることを証明している。縮小プランク定数 ħの単位では、3次元で運動するすべての粒子は整数スピンを持ちボーズ・アインシュタイン統計に従うか、半整数スピンを持ちフェルミ・ディラック統計に従う。^{[1] [2]}

既知の粒子はすべてフェルミ・ディラック統計またはボーズ・アインシュタイン統計に従う。粒子の固有スピンは常にそのような粒子の集合の統計を予測し、逆もまた同様である。^[3]

• 積分スピン粒子はボーズ・アインシュタイン統計を持つボソンであり、
• 半積分スピン粒子はフェルミ・ディラック統計を持つフェルミ粒子です。

スピン統計定理は、量子力学の数学的論理がこの物理的結果を予測または説明することを示しています。^[4]

区別できない粒子の統計は、最も基本的な物理的効果の 1 つです。パウリの排他原理 (占有された量子状態には最大で 1 つのフェルミオンが含まれる) が物質の形成を制御します。陽子、中性子、電子などの物質の基本的な構成要素はすべてフェルミオンです。逆に、物質粒子間の力を媒介する光子などの粒子はすべてボソンです。^[要出典] スピン統計定理は、この基本的な二分法の起源を説明しようとします。^{[5] : 4}

素朴に言えば、粒子に固有の角運動量特性であるスピンは、そのような粒子の集合の基本的な特性とは無関係です。しかし、これらは区別できない粒子です。つまり、複数の区別できない粒子に関連する物理的な予測は、粒子が交換されても変化してはなりません。

量子システムでは、物理的状態は状態ベクトルによって記述されます。 2 つの異なる状態ベクトルは、他の相互作用を無視して全体的な位相係数のみが異なる場合、物理的に等価です。 このような区別できない粒子のペアは、状態を 1 つしか持ちません。 つまり、粒子の位置が交換された場合 (つまり、粒子が順列化された場合)、新しい物理的状態が特定されるのではなく、元の物理的状態と一致する状態が特定されます。 実際、どの粒子がどの位置にあるかはわかりません。

粒子の位置の交換では物理的状態は変化しませんが、交換の結果として状態ベクトルの符号が変わる可能性があります。この符号の変化は全体的な位相に過ぎないため、物理的状態には影響しません。

スピン統計関係を証明するための重要な要素は、物理法則はローレンツ変換では変化しないという相対性です。定義により、場の演算子は、それが生成する粒子のスピンに応じて ローレンツ変換で変換されます。

さらに、空間的に分離された場が交換または反交換するという仮定 (ミクロ因果律として知られている) は、時間方向を持つ相対論的理論に対してのみ成り立ちます。そうでなければ、空間的であるという概念は意味がありません。ただし、証明には、これから説明するように、時間方向が空間方向として扱われるユークリッド空間バージョンの時空を調べる必要があります。

ローレンツ変換には、 3 次元の回転とブーストが含まれます。ブーストは、異なる速度を持つ参照フレームに転送され、数学的には時間への回転に似ています。量子場理論の相関関数の解析接続により、時間座標は虚数になり、ブーストは回転になります。新しい「時空」には空間方向のみがあり、ユークリッドと呼ばれます。

ボソンは、このような交換や順列の下で波動関数が対称である粒子であるため、粒子を交換しても波動関数は変化しません。フェルミオンは、波動関数が反対称である粒子であるため、このような交換の下では波動関数はマイナス符号を取得します。つまり、2 つの同一のフェルミオンが同じ状態を占めるには、振幅がゼロでなければなりません。これがパウリの排他原理です。2 つの同一のフェルミオンは同じ状態を占めることはできません。この規則はボソンには当てはまりません。

量子場理論では、状態または波動関数は真空と呼ばれる基本状態上で作用する場の演算子によって記述されます。演算子が生成する波動関数の対称または反対称成分を投影するには、適切な交換法則が必要です。演算子

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$

(演算子と複素数値の数値関数を使用) は波動関数 を持つ 2 粒子状態を作成し、場の交換特性に応じて、反対称部分のみ、または対称部分のみが重要になります。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi (x,y)}$${\displaystyle \psi (x,y)}$

と 2 つの演算子が同時に発生すると仮定します。より一般的には、後述するように 、それらは空間的に分離している可能性があります。${\displaystyle x\neq y}$

体が可換である場合、次のことが成り立ちます。

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x),}$

すると、 の対称部分のみが寄与し、 となり、場はボソン粒子を生成します。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$

一方、もし体 が反交換ならば、 は次の性質を持つ。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$

すると、 の反対称部分のみが寄与し、 となり、粒子はフェルミオンになります。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}$

スピン統計定理は述べるのが非常に簡単であるにもかかわらず、基本的な説明は与えられていない。リチャード・ファインマンは『ファインマン物理学講義』の中で、これはおそらく、関係する基本原理を完全に理解していないことを意味している、と述べた。^[3]

さまざまな制限と仮定を伴う数多くの注目すべき証明が発表されている。それらはすべて「否定的証明」であり、積分スピン場はフェルミオン統計をもたらさず、半積分スピン場はボソン統計をもたらさないことを証明している。^{[5] : 487}

相対論的量子場理論のメカニズムを一切使わない証明には欠陥がある。そのような証明の多くは、 演算子が座標を置換する、という主張に依存している。しかし、左辺の値は、粒子1が、粒子2が、などの確率を表しており、区別できない粒子に対しては量子力学的に無効である。^{[6] : 567}$${\displaystyle |\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2}=|{\hat {P}}\psi (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\dots )|^{2},}$$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

最初の証明は1939年にヴォルフガング・パウリの弟子であるマルクス・フィエルツによって定式化され^[7]、翌年パウリによってより体系的な方法で再導出されました。^[8] その後の要約で、パウリはこれらの定理のバージョンに必要な相対論的量子場理論内の3つの公準を挙げました。

1. 粒子が占有されている状態はどれも真空状態よりもエネルギーが高くなります。
2. 空間的に離れた測定値は互いに干渉しません（交換可能です）。
3. 物理的確率は正です（ヒルベルト空間の計量は正定値です）。

彼らの解析では、状態の交換/反交換以外の粒子相互作用は無視されていた。^{[9] [5] : 374}

1949年にリチャード・ファインマンは真空分極に基づく全く異なるタイプの証明^[10]を与えたが、これは後にパウリによって批判された。^{[9] [5] ：368}パウリは、ファインマンの証明は彼が使用した最初の2つの公準に明示的に依存しており、最初に負の確率を許容し、次に1より大きい確率を持つ場の理論の結果を拒否することによって、3番目の公準を暗黙的に使用していることを示した。

1950年にジュリアン・シュウィンガーが時間反転不変性に基づいて証明^{[11]した後、1940年に}フレデリック・ベリンファンテが電荷共役不変性に基づいて証明し、 1955年にパウリがさらに発展させたCPT定理^[12]につながった。これらの証明は理解するのが非常に困難であった。^{[5] : 393}

アーサー・ワイトマンによる量子場の理論の公理化に関する研究は、2 つの場の積の期待値 は、あらゆる距離 まで解析的に接続できるという定理につながった。^{[5] : 425} (パウリ時代の証明の最初の 2 つの公準は、真空状態と離れた場所にある場に関するものである。) この新しい結果により、ゲルハルト・ルーダースとブルーノ・ズミーノ^[13]およびピーター・バーゴインによるスピン統計定理のより厳密な証明が可能になった。^{[5] : 393} 1957 年にレス・ヨストはスピン統計定理を使用して CPT 定理を導出し、1958 年のバーゴインのスピン統計定理の証明では、相互作用や場の理論の形式に対する制約は要求されなかった。これらの結果は、最も厳密な実用定理の 1 つである。^{[14] : 529}${\displaystyle \phi (x)\phi (y)}$${\displaystyle (x-y)}$

これらの成功にもかかわらず、ファインマンは1963年の学部生の講義でスピンと統計の関係について論じた際、「基本的な説明ができないことをお詫びします」と述べています。^[3]ノイエンシュヴァンダーは1994年にこれに同調し、進歩があったかどうかを尋ね、^[15]さらなる証明と本の出版を促しました。^[5]ノイエンシュヴァンダーが2013年にスピンと統計の関係を広めたことは、単純な説明が依然として難しいことを示唆しました。^[16]

1987年にグリーンバーグとモハパラは、スピン統計定理に小さな違反があるかもしれないと提案した。^{[17] [18]}パウリの排他原理 に違反するHe原子の状態に関する非常に正確な計算の助けを借りて、^[19]デイラミアン、ギラスパイ、ケレハー^[20]は、原子線分光計を使用してHeの1s2s ¹ S ₀状態を探した。この探索は、上限が5×10 ⁻⁶で失敗に終わった。

ローレンツ群には、有限次元の非自明なユニタリ表現はありません。したがって、すべての状態が有限でゼロでないスピンと正のローレンツ不変ノルムを持つヒルベルト空間を構築することは不可能と思われます。この問題は、粒子のスピン統計に応じてさまざまな方法で克服されます。

整数スピンの状態では、負のノルム状態 (「非物理的分極」と呼ばれる) はゼロに設定され、ゲージ対称性の使用が必要になります。

半整数スピンの状態では、フェルミオン統計を持つことでこの議論を回避することができる。^[21]

1982年、物理学者フランク・ウィルチェクは、分数スピン粒子の可能性に関する研究論文を発表した。ウィルチェクは、この粒子を「任意の」スピンをとる能力から「エニオン」と名付けた。 ^[22]彼は、この粒子は運動が3次元未満に制限される低次元系で発生すると理論的に予測されていると記した。ウィルチェクは、この粒子のスピン統計を「通常のボソンとフェルミオンの場合の間を連続的に補間する」と表現した。^{[22]この効果は}、分数量子ホール効果を理解するための基礎となった。^{[23] [24]}

• 準統計学
• アニオニック統計
• 編み込み統計

• ダック、イアン; スダルシャン、 ECG (1998)。「スピン統計定理の理解に向けて」。アメリカ物理学ジャーナル。66 ( 4): 284–303。Bibcode :1998AmJPh..66..284D。doi : 10.1119/1.18860。
• ストリーター、レイ F.、ワイトマン、アーサー S. (2000) 。PCT、スピン & 統計、そしてすべて(第 5 版)。プリンストン: プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-07062-8。
• Jabs, Arthur (2010). 「量子力学におけるスピンと統計の結びつき」. Foundations of Physics . 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399 . Bibcode :2010FoPh...40..776J. doi :10.1007/s10701-009-9351-4. S2CID  122488238.

• ジョン・バエズのホームページにある素晴らしいほぼ証明
• 二重ベルトを使ったディラックベルトトリックのアニメーション。ベルトがスピン1/2粒子として振る舞うことを示しています。
• スピン 1/2 粒子がフェルミオンであることを示すディラック ベルト トリックの変形のアニメーション