ブラケット記法

ブラケット記法はディラック記法とも呼ばれ、有限次元と無限次元の両方の場合における複素ベクトル空間とその双対空間上の線型代数と線型作用素を表す記法です。これは量子力学で頻繁に発生する計算の種類を容易にするために特別に設計されています。量子力学では、ブラケット記法が広く使用されています。

ブラケット記法は、ポール・ディラックが1939年に発表した著書『量子力学のための新しい記法』で考案された。この記法は量子力学の表現をより簡単に記述する方法として導入された。^[1]この名前は英語の「bracket」に由来する。

量子力学では、量子状態を表すためにブラケット表記法が広く使用されています。この表記法では、山括弧、および、縦棒を使用して「ブラケット」と「ケット」を作成します。 ${\displaystyle \langle }$${\displaystyle \rangle }$ ${\displaystyle |}$

ケットはという形式をとります。数学的には抽象的（複素）ベクトル空間内のベクトル、を表し、物理的には何らかの量子系の状態を表します。 ${\displaystyle |v\rangle }$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

ブラはという形式です。数学的には、これは線型形式、つまり の各ベクトルを複素平面内の数値に写像する線型写像を表します。線型関数をベクトルに作用させることは と書きます。 ${\displaystyle \langle f|}$ ${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle f|}$${\displaystyle |v\rangle }$${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {C} }$

上に、反線型の最初の引数を持つ内積が存在し、それが内積空間 を作ると仮定します。この内積により、各ベクトルは、内積の反線型の最初のスロットにベクトルを置くことによって、対応する線型形式と同一視できます。これらの表記法間の対応は です。線型形式は への共ベクトルであり、すべての共ベクトルの集合は、初期ベクトル空間 への双対ベクトル空間の部分空間を形成します。この線型形式の目的は、2 つの状態がどの程度線型に依存しているかなどを調べるために 状態への射影を行うという観点から理解できるようになりました。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }},}$

ベクトル空間 では、ケットは列ベクトルと同一視でき、ブラは行ベクトルと同一視できます。ブラ、ケット、線形演算子の組み合わせは、行列の乗算を使用して解釈されます。 が標準のエルミート内積 を持つ場合、この同一視のもとでは、内積によって提供されるケットとブラの同一視およびその逆は、エルミート共役( と表記) を取ることです。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$${\displaystyle \dagger }$

ブラケット表記では、ベクトルや線形形式を省略し、ブラまたはケットの表記法内でのみラベルを使用するのが一般的です。たとえば、スピノルの2 次元空間上のスピン演算子には、固有スピノル を持つ固有値があります。ブラケット表記では、これは通常、、 と表記されます。上記のように、同じラベルを持つケットとブラは、内積を使用して互いに対応するケットとブラとして解釈されます。特に、行ベクトルと列ベクトルとしても識別される場合、同じラベルを持つケットとブラは、エルミート共役の列ベクトルと行ベクトルとして識別されます。 ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$${\displaystyle \Delta }$${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

ブラケット記法は1939年にポール・ディラックによって確立されました。^{[1] [2]}そのため、この記法はヘルマン・グラスマンが内積に を使用した約100年前の先駆者であるにもかかわらず、ディラック記法としても知られています。^{[3] [4]}${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

数学では、「ベクトル」という用語は、任意のベクトル空間の要素に対して使用されます。ただし、物理学では、「ベクトル」という用語は、変位や速度などの量のみを指す傾向があり、これらの量は、空間の 3 次元、または相対論的には時空の 4 次元に直接関連する要素を持ちます。このようなベクトルは、通常、上矢印 ( )、太字 ( )、またはインデックス ( )で表されます。 ${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle v^{\mu }}$

量子力学では、量子状態は通常、複素ヒルベルト空間の要素として表現されます。複素ヒルベルト空間には、すべての可能な波動関数（3D 空間の各点を複素数にマッピングする平方積分可能な関数）の無限次元ベクトル空間や、より代数的に構築されたより抽象的なヒルベルト空間などがあります。このタイプのベクトルを上記のベクトルと区別するために、物理学では、抽象的な複素ベクトル空間の要素を ket と表記し、ベクトルではなく「ket」と呼び、| A ⟩の場合は「ket- 」または「ket-A」と発音するのが一般的で便利です。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \phi }$

記号、文字、数字、または単語など、便利なラベルとして機能するものは何でも、ケット内のラベルとして使用できます。ただし、ラベルがベクトル空間内のベクトルを示すことを明確にする必要があります。言い換えると、記号「| A ⟩」は、表される変数の種類に関して認識可能な数学的な意味を持ちますが、「A」自体にはその意味がありません。たとえば、|1⟩ + |2⟩は必ずしも|3⟩に等しいわけではありません。ただし、便宜上、ケット内のラベルの背後には通常、何らかの論理的な仕組みがあります。たとえば、量子力学では、エネルギー固有ケットに量子数を一覧表示することでラベルを付けるという一般的な慣習があります。最も単純な場合、ケット内のラベルは、、、など の物理演算子の固有値です。${\displaystyle |\ \rangle }$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

ケットはエルミートベクトル空間内の単なるベクトルなので、線形代数の通常の規則を使用して操作できます。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

上記の最後の行には、実数xごとに 1 つずつ、無限に多くの異なるケットが含まれていることに注意してください。

ケットはベクトル空間の要素なので、ブラはその 双対空間の要素です。つまり、ブラはベクトル空間から複素数への線形写像である線形関数です。したがって、ケットとブラを異なるベクトル空間の要素（ただし、以下を参照）として考え、それぞれが異なる有用な概念であると考えると便利です。 ${\displaystyle \langle A|}$

ブラとケット（つまり関数とベクトル）は、外積を持つランク1の演算子に結合することができる。${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

ブラ・ケット記法は、エルミート共役とベクトルと連続線型関数の同一視（すなわち、ケットとブラ）を可能にする内積^{[5] を持つヒルベルト空間で特に有用である（}リースの表現定理を参照）。ヒルベルト空間上の内積（物理学者が好むように第 1 引数が反線型である）は、ブラ・ケット記法におけるケット空間とブラ空間の（反線型）同一視と完全に同値である。ベクトル ケットに対して、関数（すなわち、ブラ）を次のように 定義する。${\displaystyle (\ ,\ )}$${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

ベクトル空間 を考える単純なケースでは、ケットは列ベクトルと同一視でき、ブラは行ベクトルと同一視できる。さらに、 上の標準的なエルミート内積を用いると、ケットに対応するブラ、特に同じラベルを持つブラ⟨ m |とケット| m ⟩は共役転置となる。さらに、慣例上、ブラ、ケット、線形演算子を並べて書くと、単に行列の乗算 を意味するように設定されている。^[6]特に、列ベクトルと行ベクトル ケットとブラの外積は、行列の乗算（列ベクトル×行ベクトル＝行列）と同一視できる。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

有限次元ベクトル空間では、固定された正規直交基底を使用して、内積は行ベクトルと列ベクトルの行列乗算として表すことができます。 これに基づいて、ブラとケットは次のように定義できます。 また、ケットの隣にブラがある場合は行列乗算を意味することがわかります。 $${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

ブラの共役転置（エルミート共役とも呼ばれる）は対応するケットであり、その逆も同様である。 なぜなら、ブラから始め て複素共役を 実行し、次に行列転置を実行すると、ケットが得られるからである。 $${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$$

有限次元（または必要な変更を加えて可算無限次元）ベクトル空間の要素を数値の列ベクトルとして記述するには、基底を選択する必要があります。量子力学の計算では、異なる基底（位置基底、運動量基底、エネルギー固有基底など）を頻繁に切り替える必要があるため、基底の選択が常に役立つとは限りません。また、特定の基底に縛られずに「| m ⟩ 」のように記述することもできます。2つの異なる重要な基底ベクトルが関係する状況では、基底ベクトルを明示的に表記することができ、ここでは単に「 | − ⟩」および「| + ⟩ 」と呼びます。

ベクトル空間がヒルベルト空間でない場合でも、ブラケット表記法を使用することができます。

量子力学では、無限ノルム、つまり正規化できない波動関数を持つケットを記述するのが一般的です。例としては、波動関数がディラックのデルタ関数または無限平面波である状態が含まれます。これらは、技術的にはヒルベルト空間自体には属しません。ただし、「ヒルベルト空間」の定義は、これらの状態を収容できるように拡張できます (ゲルファント・ナイマーク・シーガル構成またはリグド・ヒルベルト空間を参照)。このより広いコンテキストでは、ブラケット表記法は同様に機能し続けます。

バナッハ空間はヒルベルト空間の別の一般化です。バナッハ空間Bでは、ベクトルはケットで、連続線型関数はブラで表記されます。位相のない任意のベクトル空間上では、ベクトルはケットで、線型関数はブラで表記することもできます。これらのより一般的なコンテキストでは、リースの表現定理が適用されないため、括弧は内積の意味を持ちません。

量子力学の数学的構造は主に線形代数に基づいています。

• 波動関数やその他の量子状態は、複素ヒルベルト空間のベクトルとして表すことができます。(このヒルベルト空間の正確な構造は状況によって異なります。) たとえば、ブラケット表記では、電子は「状態」| ψ ⟩にある可能性があります。(技術的には、量子状態はヒルベルト空間のベクトルの光線であり、c | ψ ⟩ は任意の非ゼロの複素数cに対して同じ状態に対応します。)
• 量子重ね合わせは、構成状態のベクトル和として記述できます。たとえば、状態⁠の電子は、1/√2⁠ |1⟩ + ⁠私/√2⁠ |2⟩ は状態|1⟩と|2⟩の量子重ね合わせ状態にあります。
• 測定は、量子状態のヒルベルト空間上の線形演算子（観測可能量と呼ばれる）に関連付けられます。
• ダイナミクスは、ヒルベルト空間上の線形演算子によっても記述されます。たとえば、シュレーディンガー図では、電子が現在状態| ψ ⟩にある場合、後日、すべての可能な| ψ ⟩に対して同じUである状態U | ψ ⟩になるという特性を持つ線形時間発展演算子U があります。
• 波動関数の正規化とは、波動関数のノルムが 1 になるように波動関数をスケーリングすることです。

量子力学におけるほぼすべての計算にはベクトルと線形演算子が関係するため、ブラケット記法が使用されることがあり、実際に使用されることもよくあります。次に例をいくつか示します。

スピン-0 の点粒子のヒルベルト空間は「位置基底」{ | r ⟩ }によって張られ、ここでラベルr は位置空間内のすべての点の集合に広がります。このラベルは、そのような基底状態に作用する位置演算子の固有値です。[^要出典]基底には無数に無限の数のベクトル成分があるため、これは無数に無限次元のヒルベルト空間です。 ^[7]ヒルベルト空間の次元（通常は無限）と位置空間の次元（通常は 1、2、または 3）は混同されません。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle }$

このヒルベルト空間内の任意のケット|Ψ⟩から始めて、波動関数として知られるrの複素スカラー関数を定義することができる。^{[説明が必要]} $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

左側のΨ( r ) は、空間内の任意の点を複素数にマッピングする関数です。右側は、 その関数によって指定された相対係数を持つケットの重ね合わせで構成されるケットです。 $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$

波動関数に作用する線型作用素は、ケットに作用する線型作用素によって定義するのが通例である。 $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

例えば、運動量演算子は次の座標表現を持つ。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

のような表現に出会うこともありますが、これは という表記法の乱用です。微分演算子は、ケットに作用する抽象的な演算子であると理解する必要があります。この演算子は、位置基底に投影された表現では波動関数を微分する効果を持ちます が、運動量基底では、この演算子は単なる乗算演算子になります ( iħ pによる)。つまり、 または ${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

量子力学では、式⟨ φ | ψ ⟩は通常、状態ψ が状態φに崩壊する確率振幅として解釈されます。数学的には、これはψをφに射影するための係数を意味します。これは、状態ψを状態φに射影するとも呼ばれます。

静止したスピン1 ⁄ 2粒子は 2 次元ヒルベルト空間を持ちます。1 つの正規直交基底は次のとおりです。 ここで、|↑ _z ⟩はスピン演算子S _zの確定値が+ 1 ⁄ 2に等しい状態であり、|↓ _z ⟩ はスピン演算子S _zの確定値が− 1 ⁄ 2に等しい状態です。 $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

これらは基底なので、粒子の任意の量子状態は、これら 2 つの状態の線形結合(つまり、量子重ね合わせ)として表現できます。 ここで、a _ψとb _ψは複素数です。 $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$

同じヒルベルト空間の 異なる基底は、 S _zではなくS _x で定義されます。 $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

繰り返しますが、粒子の 任意の状態は、これら 2 つの線形結合として表現できます。$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

ベクトル形式では、 使用している基底に応じて記述する場合があります。言い換えると、ベクトルの「座標」は、使用する基底によって異なります。 $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$

、、およびの間には数学的な関係があります。基底の変更を参照してください。 ${\displaystyle a_{\psi }}$${\displaystyle b_{\psi }}$${\displaystyle c_{\psi }}$${\displaystyle d_{\psi }}$

初心者や初心者の学生にとって、混乱したり曖昧になったりする可能性のある表記法や慣習がいくつかあります。

混乱の原因は、この表記法では内積演算が（ブラ）ベクトルの表記法と区別されていないことです。（デュアル空間）ブラベクトルが他のブラベクトルの線形結合として構築されている場合（たとえば、何らかの基底で表現する場合）、表記法によってあいまいさが生じ、数学的な詳細が隠されます。ブラケット表記法は、、内積などのベクトルに太字を使用することに似ています。基底 の次のデュアル空間ブラベクトルを考えます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$$${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

複素数が内積の内側にあるか外側にあるかは慣例によって決定する必要があり、慣例ごとに結果が異なります。 ${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$ $${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

ラベルと定数に同じ記号を使用するのは一般的です。たとえば、記号 は演算子、その固有ベクトル、および関連する固有値の名前として同時に使用されます。演算子のハットが省略されることがあり、 などの表記が見られます。^[8]${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

という用法がよく見られます。ここで、ダガー ( ) はエルミート共役に対応します。しかし、これは技術的な意味では正しくありません。ケット は複素ヒルベルト空間 のベクトルを表し、ブラ はのベクトル上の線型関数だからです。言い換えると、は単なるベクトルですが、 はベクトルと内積の組み合わせです。 ${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$

これは、スケーリング ベクトルの表記を高速化するために行われます。たとえば、ベクトルがでスケーリングされている場合、 と表記されます。 は単に状態のラベルであり、操作を実行できる数学的オブジェクトではないため、これはあいまいになる可能性があります。この使用法は、ラベルの一部が設計されたスロットの外側に移動されるテンソル積としてベクトルを表記する場合に一般的です(例: ) 。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$

線形演算子は、ケットを入力してケットを出力するマップです。(「線形」と呼ばれるためには、特定のプロパティを持っている必要があります。) 言い換えると、が線形演算子であり、がケットベクトルである場合、は別のケットベクトルです。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

次元ヒルベルト空間では、空間に基底を課し、その座標で列ベクトルとして表すことができます。 に同じ基底を使用すると、複素行列で表されます。これで、ケットベクトルは行列の乗算によって計算できます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

線形演算子は量子力学の理論ではいたるところに存在します。たとえば、観測可能な物理量はエネルギーや運動量などの自己随伴演算子によって表されますが、変換プロセスは回転や時間の経過などのユニタリ線形演算子によって表されます。

演算子は、右辺からブラに作用するものとみなすこともできます。具体的には、A が線形演算子で、⟨ φ | がブラである場合、⟨ φ | Aは規則によって定義された別のブラです (つまり、関数の合成)。この式は、一般的に次のように記述されます (cf.エネルギーの内積)。 $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$$${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

N次元ヒルベルト空間では、 ⟨ φ | は1 × N 行ベクトルとして表すことができ、A (前のセクションと同様に) はN × N行列です。この場合、ブラ⟨ φ | A は通常の行列の乗算によって計算できます。

同じ状態ベクトルがブラ側とケット側の両方に現れる場合、 この式は、状態| ψ ⟩の物理システムについて、演算子Aによって表される観測量の期待値、つまり平均値または平均値を与えます。 $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$

ヒルベルト空間H上の線型作用素を定義する便利な方法は、外積によって与えられる。⟨ ϕ | がブラであり、| ψ ⟩ がケットである場合、外積は、次の規則 を持つ 階数1 の作用素 を表す。$${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$$${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

有限次元ベクトル空間の場合、外積は単純な行列の乗算として理解できます。 外積は、線形演算子の場合に予想されるように、 N × N行列です。$${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$

外積の用途の 1 つは、射影演算子を構築することです。ノルム 1 のケット| ψ ⟩が与えられた場合、 | ψ ⟩によって張られる部分空間への直交射影は、 これはヒルベルト空間に作用する観測量の代数における べき等性です 。$${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$

ケットとブラが互いに変換できるのと同様に（| ψ ⟩ を⟨ ψ |にする）、 A | ψ ⟩に対応する双対空間からの要素は⟨ ψ | A ^†であり、ここでA ^{† は}演算子Aのエルミート共役（または随伴）を表します。言い換えると、 $${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

AがN × N行列として表現される場合、A ^†はその共役転置です。

ブラケット記法は、線形代数式の形式的な操作を容易にするために設計されました。この操作を可能にする特性のいくつかをここに示します。以下では、c ₁とc _{2 は}任意の複素数、c * はcの複素共役、AとB は任意の線形演算子を表し、これらの特性はブラケットとケットの任意の選択に対して当てはまります。

• ブラジャーは線形関数なので、$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• 双対空間における線形関数の加法とスカラー乗法の定義により、^[9] $${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

複素数、ブラス、ケット、内積、外積、線形演算子（加算は除く）を含む式をブラケット記法で記述した場合、括弧内のグループ化は重要ではありません（つまり、結合法則が成り立ちます）。例:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

などなど。右側の式（括弧なし）は、左側の等式により、明確に記述できます。結合法則は、物理学における反線形時間反転演算子などの非線形演算子を含む式には当てはまらないことに注意 してください。

ブラケット表記法を使用すると、式のエルミート共役（ダガーとも呼ばれ、†と表記される）を計算するのが特に簡単になります。正式な規則は次のとおりです。

• ブラのエルミート共役は対応するケットであり、逆もまた同様です。
• 複素数のエルミート共役はその複素共役です。
• あらゆるもの（線型作用素、ブラス、ケット、数）のエルミート共役のエルミート共役は、それ自体である。つまり、$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• 複素数、ブラス、ケット、内積、外積、線形演算子の任意の組み合わせがブラ・ケット表記法で記述されている場合、その成分の順序を逆にし、それぞれのエルミート共役を取ることで、そのエルミート共役を計算できます。

これらの規則は、そのような表現のエルミート共役を正式に記述するのに十分です。次に例をいくつか示します。

• ケッツ：$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• 内積: ⟨ φ | ψ ⟩はスカラーなので、エルミート共役は複素共役、つまり$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• マトリックス要素:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• 外側の製品:$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$

2つのヒルベルト空間VとW は、テンソル積によって第3の空間V ⊗ W を形成することがあります。量子力学では、これは複合システムを記述するために使用されます。システムがそれぞれVとWで記述される2つのサブシステムで構成されている場合、システム全体のヒルベルト空間は2つの空間のテンソル積です。(サブシステムが実際には同一の粒子である場合は例外です。その場合、状況は少し複雑になります。)

| ψ ⟩がVのケットであり、| φ ⟩がWのケットである場合、2つのケットのテンソル積はV ⊗ Wのケットです。これはさまざまな表記法で表されます。

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

この製品の応用については、 量子もつれとEPR パラドックスを参照してください。

ヒルベルト空間Hに対して、内積⟨·,·⟩からのノルムに関する完全な正規直交系（基底） を考えます。 $${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$$

基本的な関数解析から、任意のケットはヒルベルト空間上の内積 ⟨·|·⟩ でと表すこともできること が分かっています。${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$$

（複素）スカラーを持つケットの可換性から、 は 各ベクトルをそれ自身に送信する 恒等演算子 でなければならないことがわかります。$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I} }$$

これは、値に影響を与えることなく任意の式に挿入できます。たとえば 、最後の行では、煩雑さを避けるためにアインシュタインの合計規則が使用されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$$

量子力学では、2つの任意の（状態）ケットの内積⟨ ψ | φ ⟩に関する情報がほとんどまたはまったく存在しないことがよくあります。ただし、特定の（正規直交化された）基底に関するそれらのベクトルの展開係数⟨ ψ | e _i ⟩ = ⟨ e _i | ψ ⟩ *および⟨ e _i | φ ⟩については何かを言うことができます。この場合、単位演算子を括弧内に1回以上挿入すると特に便利です。

詳細については、アイデンティティの解決^[10] を参照してください。$${\displaystyle {\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,}$$$${\displaystyle |p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

⟨ x ′ | x ⟩ = δ ( x − x ′ )なので、平面波は次のように表される。$${\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.}$$

ディラックは著書（1958）のCh. III.20で、標準ケットを定義している。これは、正規化を除けば、運動量表現における並進不変の運動量固有状態、すなわちである。したがって、対応する波動関数は定数 であり、 また${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$${\displaystyle {\hat {p}}|\varpi \rangle =0}$${\displaystyle \langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1}$$${\displaystyle |x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},}$$$${\displaystyle |p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .}$$

通常、演算子のすべての行列要素が利用可能な場合、この解決は完全な演算子を再構成するのに役立つ。 $${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$$$${\displaystyle \int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.}$$

物理学者がブラケット表記法を使用する際に考慮する対象は、ヒルベルト空間（完全な内積空間）です。

をヒルベルト空間とし、h ∈ HをH内のベクトルとします。物理学者が| h ⟩で表すのはベクトルそのものです。つまり、 ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$$${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}.}$$

H * をHの双対空間とする。これはH上の線型関数の空間である。埋め込み は で定義され、任意のh ∈ Hに対して線型関数は任意のg ∈ Hに対して関数方程式を満たす。φ _hとg をそれぞれ⟨ h |と| g ⟩と同一視すると表記上の混乱が生じる。これは文字どおりの記号置換によるものである。 とし、g = G = | g ⟩とする。これは次のようになる。 ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}}$${\displaystyle \Phi (h)=\varphi _{h}}$${\displaystyle \varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle }$${\displaystyle \varphi _{h}=H=\langle h\mid }$$${\displaystyle \varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$$

括弧は無視され、二重バーは削除されます。

さらに、数学者は通常、双対実体を物理学者のように最初の場所に書くのではなく、2番目の場所に書き、複素共役数を表すためにアスタリスクではなく上線（物理学者は平均とディラックのスピノル随伴のために取っておく）を使用する。つまり、スカラー積について数学者は通常 と書くが 、物理学者は同じ量について と書く。 $${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,}$$$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.}$$

• 角運動量図（量子力学）
• nスリット干渉方程式
• 量子状態
• 内積空間

• ディラック、PAM (1939)。「量子力学の新しい表記法」。ケンブリッジ哲学協会数学紀要。35 (3): 416– 418。Bibcode : 1939PCPS ...35..416D。doi :10.1017 / S0305004100021162。S2CID 121466183  。また、彼の標準テキストである『量子力学の原理』第4版、クラレンドン・プレス（1958年）、ISBN 978-0198520115も参照のこと。 
• グラスマン、H. (1862)。拡張理論。数学史資料。2000年ロイド・C・カンネンバーグ訳。アメリカ数学会、ロンドン数学会。
• カジョリ、フロリアン（1929）。数学表記法の歴史第2巻。オープンコート出版。p.134。ISBN 978-0-486-67766-8。
• シャンカール、R. (1994)。量子力学の原理（第2版）。ISBN 0-306-44790-8。
• ファインマン、リチャード P.、レイトン、ロバート B.、サンズ、マシュー (1965)。『ファインマン物理学講義』第 3 巻。マサチューセッツ州レディング: アディソンウェスレー。ISBN 0-201-02118-8。
• 桜井, JJ; ナポリターノ, J (2021).現代量子力学（第3版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-108-42241-3。

• Richard Fitzpatrick、「量子力学: 大学院レベルのコース」、テキサス大学オースティン校。内容:
  • 1. ケット空間
  • 2. ブラジャーのスペース
  • 3. オペレーター
  • 4. 外積
  • 5. 固有値と固有ベクトル
• ロバート・リトルジョン、「量子力学の数学的形式主義」に関する講義ノート（ブラケット記法を含む）。カリフォルニア大学バークレー校。
• Gieres, F. (2000). 「量子力学における数学的驚きとディラックの形式主義」. Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893– 1931. arXiv : quant-ph/9907069 . Bibcode :2000RPPh...63.1893G. doi :10.1088/0034-4885/63/12/201. S2CID  10854218.