パウリグループ

物理学と数学において、1量子ビット上のパウリ群は 、 2×2単位行列とすべてのパウリ行列からなる16要素の行列群である。${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle X=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad Y=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad Z=\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$、

これらの行列と因子の積を以下に示す。 ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

${\displaystyle G_{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{\pm I,\pm iI,\pm X,\pm iX,\pm Y,\pm iY,\pm Z,\pm iZ\}\equiv \langle X,Y,Z\rangle }$。

パウリ群はパウリ行列によって生成され、パウリ行列と同様にヴォルフガング・パウリにちなんで名付けられています。

量子ビット上のパウリ群は、テンソル積ヒルベルト空間内の各量子ビットに上記の演算子を適用することによって生成される群である。つまり、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes n}}$

$${\displaystyle G_{n}=\langle W_{1}\otimes \cdots \otimes W_{n}:W_{i}\in \{X,Y,Z\}\rangle 。}$$

の順序は、任意のテンソル位置にあるスカラーまたは因子を他の任意の位置に移動できる ためです。${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle 4\cdot 4^{n}}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

抽象群としては、位数4の巡回群と位数8の二面体群の中心積である^。[1]${\displaystyle G_{1}\cong C_{4}\circ D_{4}}$

パウリ群は、3 次元ユークリッド空間におけるガンマ群の表現です。ガンマ群と同型ではありません。ガンマ群にはそのような関係はありませんが、パウリ群のカイラル要素はガンマ群と同型であるため、パウリ群はそれほど自由ではありません。 ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=iI}$

• Nielsen, Michael A. ; Chuang, Isaac L. (2000).量子計算と量子情報.ケンブリッジ;ニューヨーク:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.

2. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9807006