代数的分数

代数学において、代数的分数とは分子と分母が代数式である分数のことです。代数的分数の例としては、とが挙げられます。代数的分数は算術的分数と同じ法則に従います。 ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

有理分数とは、分子と分母が両方とも多項式である代数分数です。したがって、は有理分数ですが、分子に平方根関数が含まれているからではありません。 ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$

代数的分数では、被除数aは分子、除数b は分母と呼ばれます。分子と分母は代数的分数の 項と呼ばれます。${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

複素分数とは、分子または分母、あるいはその両方に分数が含まれる分数です。単純分数は、分子にも分母にも分数が含まれません。分子と分母に共通する唯一の因数が 1 である場合、その分数は最小分数です。

分数形式ではない式は積分式です。積分式は、分母に 1 を与えることで常に分数形式で表すことができます。混合式は、1 つ以上の積分式と 1 つ以上の分数項の代数和です。

式aとbが多項式である場合、代数的分数は有理代数的分数^[1]または単に有理分数[ ² ] と呼ばれます。^[3]有理分数は有理式とも呼ばれます。有理分数はの場合に真、それ以外の場合は偽と呼ばれます。たとえば、有理分数は真ですが、有理分数と は偽です。任意の偽有理分数は、多項式 (定数の場合もある) と真有理分数の和として表すことができます。偽分数の最初の例では、 ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

ここで、2番目の項は真有理分数です。2つの真有理分数の和も真有理分数です。真有理分数を2つ以上の分数の和として表す逆のプロセスを部分分数に分解するといいます。たとえば、

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

ここで、右側の 2 つの項は部分分数と呼ばれます。

無理分数とは、分数指数の下に変数を含む分数である。^[4]無理分数の例としては、

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

無理分数を有理分数に変換するプロセスは、有理化として知られています。根号が単項式であるすべての無理分数は、根号の指数の最小公倍数を見つけ、その最小公倍数を指数として別の変数に代入することで有理化できます。与えられた例では、最小公倍数は6なので、次のように 代入できます。${\displaystyle x=z^{6}}$

${\displaystyle {\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.}$

• 部分分数分解

• ブリンク、レイモンド W. (1951)。「IV. 分数」。大学代数学。