指数多項式

数学において、指数多項式は、変数と指数関数の多項式の形をとる、体、環、またはアーベル群上の関数です。

指数多項式は一般に変数xとある種の指数関数E ( x ) の両方を持ちます。複素数にはすでに標準指数関数、つまりx をe ^xにマップする関数があります。この設定では、指数多項式という用語は、P ( x , e ^x ) という形式の多項式を意味するためによく使用されます。ここで、P  ∈  C [ x , y ] は2変数の多項式です。^{[1] [2]}

ここでのCについては特に特別なことは何もありません。指数多項式は、指数関数が上記のe ^xに代わる任意の指数体または指数環上の多項式を指すこともあります。^[3] 同様に、変数が1つである理由はなく、n変数の指数多項式はP ( x ₁ , ..., x _n , e ^{x ₁} , ..., e ^{x _n} )という形式になります。ここで、 Pは2 n変数 の多項式です。

体K上の形式指数多項式については次のように進める。^[4] WをKの有限生成 Z部分加群とし 、次の形式の有限和を考える。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,}$

ここで、f _{i は}K [ X ]の多項式であり、exp( w _i  X )はexp( u + v ) = exp( u ) exp( v )を満たすW内のw _iでインデックス付けされた形式的な記号です。

「指数多項式」という用語が見られるより一般的な枠組みは、アーベル群上の指数関数の枠組みである。指数体上の指数関数の定義と同様に、位相アーベル群 G が与えられたとき、Gから 複素数の加法群への準同型は加法関数と呼ばれ、非ゼロ複素数の乗法群への準同型は指数関数、または単に指数関数と呼ばれる。加法関数と指数の積は指数単項式と呼ばれ、これらの線形結合はG上の指数多項式である。^{[5] [6]}

リットの定理は、一意因数分解と因数定理の類似物が指数多項式環に対して成立することを述べている。^[4]

RおよびC上の指数多項式は超越数論によく登場し、指数関数を含む証明の補助関数として登場します。また、指数多項式はモデル理論と解析幾何学をつなぐ役割も果たします。指数多様体を、指数多項式の有限集合が消えるR ⁿ内の点の集合と定義すると、微分幾何学における Khovanskiǐ の定理やモデル理論におけるWilkie の定理などの結果から、これらの多様体は、高次元指数多様体の射影による像の包含を許容する限り、さまざまな集合論的操作の下で安定であるという意味で、行儀が良いことがわかります。実際、前述の 2 つの定理は、すべての指数多様体の集合がR上でo 極小構造を形成することを意味しています。

指数多項式は、線形遅延微分方程式に関連する特性方程式にも現れます。

• 準多項式