多項式剰余定理

代数学において、多項式剰余定理あるいは小ベズーの定理（エティエンヌ・ベズーにちなんで名付けられた）^[1]は、多項式のユークリッド除算の応用である。これは、任意の数に対して、任意の多項式は の次数より小さい次数の多項式の の和および による積であるということを述べている。特に、はによるユークリッド除算の剰余であり、は の約数であるための条件は、次の場合のみである^{[2] 。これは}因数定理として知られる性質である。 ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(r)}$${\displaystyle xr}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f(r)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle xr,}$${\displaystyle xr}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(r)=0,}$

とします。 を で割ると、商と余り が得られます。したがって、 です。 ${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (x-3)}$${\displaystyle x^{2}-9x-27}$${\displaystyle -123}$${\displaystyle f(3)=-123}$

代数的操作を用いて 任意の2次多項式に対して多項式剰余定理が成り立つことを証明する。${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(r)&=ax^{2}+bx+c-(ar^{2}+br+c)\\&=a(x^{2}-r^{2})+b(xr)\\&=a(xr)(x+r)+b(xr)\\&=(xr)(ax+ar+b)\end{aligned}}}$$

つまり、 これはまさにユークリッドの除算の公式です。 $${\displaystyle f(x)=(xr)(ax+ar+b)+f(r),}$$

この証明の一般化については、以下の「直接証明」で説明します。

多項式剰余定理はユークリッドの除法の定理から導かれ、2つの多項式f ( x ) (被除数)とg ( x ) (除数)が与えられたとき 、商Q ( x )と剰余R ( x )が存在し、かつ一意であることを主張する。

${\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+R(x)\quad {\text{かつ}}\quad R(x)=0\ {\text{または}}\deg(R)<\deg(g).}$

rが定数である除数が の場合、 R ( x ) = 0またはその次数が0になります。どちらの場合も、 R ( x ) はxに依存しない定数です。つまり、 ${\displaystyle g(x)=xr,}$

${\displaystyle f(x)=Q(x)(xr)+R.}$

この式を 設定すると、次のようになります。${\displaystyle x=r}$

${\displaystyle f(r)=R.}$

ユークリッドの除算の存在定理を使わない 構成的証明は、次の恒等式を用いる。

${\displaystyle x^{k}-r^{k}=(xr)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1}).}$

がこの等式の右辺の大きな因子を表す 場合、${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

1つは

${\displaystyle f(x)-f(r)=(xr)(a_{n}S_{n}+\cdots +a_{2}S_{2}+a_{1}),}$

（以来）。 ${\displaystyle S_{1}=1}$

この方程式の両辺を 加えると、この特定のケースにおける多項式剰余定理とユークリッド除算の定理の存在部分が同時に得られます。${\displaystyle f(r)}$

多項式剰余定理は剰余を計算することで評価するために使用できます。多項式長除算は関数自体を評価するよりも困難ですが、合成除算は計算上簡単です。したがって、合成除算と多項式剰余定理を使用すると、関数をより「安価に」評価できます。 ${\displaystyle f(r)}$${\displaystyle R}$

因数定理は剰余定理の別の応用である。剰余がゼロの場合、線型除数は因数である。因数定理を繰り返し適用することで、多項式を因数分解することができる。^[3]