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ミハエル・グロモフ | |
|---|---|
ミハイル・グロモフ | |
 2014年のグロモフ | |
| 生まれる | 1943年12月23日 |
| 国籍 | ロシア語とフランス語 |
| 母校 | レニングラード国立大学（博士号） |
| 知られている | 幾何群論 シンプレクティック幾何学 シストリック 幾何学 グロモフ境界グロモフ のコンパクト性定理 （幾何学） グロモフのコンパクト性定理（位相幾何学） 多項式増加群に関するグロモフの定理 グロモフ・ハウスドルフ収束 グロモフ・ルーの定理 グロモフ ・ウィッテン不変量 グロモフ双曲群 グロモフ δ 双曲空間 グロモフノルム グロモフ積 グロモフ位相 複素射影空間に対するグロモフの不等式 グロモフのシストリック不等式 ビショップ・グロモフ不等式 漸近次元 本質 多様体 充填面積予想 充填半径 平均次元 極小体積 非圧縮定理 擬正 則曲線 ランダム 群 ソフィック群 シス トリック自由度 2π 定理 |
| 受賞歴 | オズワルド・ヴェブレン幾何学賞(1981) ウルフ賞(1993) バルザン賞(1999) 京都賞(2002) ネマース数学賞(2004) ボヤイ賞(2005) アーベル賞(2009) |
| 科学者としてのキャリア | |
| フィールド | 数学 |
| 機関 | ニューヨーク大学高級科学研究所 |
| 博士課程の指導教員 | ウラジミール・ロクリン |
| 博士課程の学生 | ドゥニ・オールー・ フランソワ・ラブリー ・ピエール・パンス ミハイル ・カッツ |
ミハイル・レオニドヴィチ・グロモフ（ミハイル・グロモフ、ミハエル・グロモフ、ミーシャ・グロモフとも呼ばれる、ロシア語: Михаи́л Леони́дович Гро́мов 、1943年12月23日生まれ）は、幾何学、解析学、群論の研究で知られるロシア系フランス人の数学者。フランスのフランス高等科学研究所の常任会員であり、ニューヨーク大学の数学教授である。
グロモフは、 2009年に「幾何学への革命的な貢献」により アーベル賞を含む数々の賞を受賞している。
バイオグラフィー
ミハイル・グロモフは1943年12月23日、ソ連のボクシトゴルスクで生まれた。父レオニード・グロモフはロシア系スラブ人で、母レアはユダヤ系だった。2人とも病理学者だった。[1]母は世界チェスチャンピオンのミハイル・ボトヴィニクの従兄弟で、数学者イサーク・モイセエヴィッチ・ラビノヴィッチの従兄弟でもある。[2]グロモフは第二次世界大戦中に生まれ、ソ連軍の医師として働いていた母は、彼を出産するために前線を離れなければならなかった。[3]グロモフが9歳のとき、[4]母はハンス・ラデマッハーとオットー・テプリッツによる『数学の楽しみ』を彼に与えた。この本は彼の好奇心を刺激し、彼に大きな影響を与えた。[3]
グロモフはレニングラード国立大学で数学を学び、1965年に修士号、1969年に博士号を取得し、1973年に博士論文を審査した。彼の論文指導教官はウラジミール・ロフリンであった。[5]
グロモフは1967年に結婚した。1970年、フランスのニースで開催された国際数学者会議で講演するよう招待されたが、ソ連を離れることは許されなかった。それでも、彼の講演は会議の議事録に掲載された。[6]
ソ連の体制に反対していた彼は、14歳の頃から移住を考えていた。1970年代初頭、彼は出版をやめ、それがイスラエルへの移住申請に役立つことを期待した。[4] [7]彼は姓を母親の姓に変更した。[4]彼は、ソ連から脱出できれば、職が手配されているストーニーブルック大学に行くことができるという暗号文を受け取った。1974年にその要請が認められると、彼は直接ニューヨークに移り、ストーニーブルック大学で働いた。[6]
1981年にストーニーブルック大学を離れ、パリ第6大学の教授となり、1982年にパリ高等科学研究所の常任教授となり、現在に至る。同時に、1991年から1996年までメリーランド大学カレッジパーク校で教授を務め、 1996年からはニューヨークのクーラント数学研究所でも教授を務めた。[8] 1992年にフランス国籍を取得した。[9]
仕事
グロモフの幾何学スタイルは、漸近的または大規模な特性を分析する「粗い」または「柔らかい」視点を特徴とすることが多い。[G00]彼はまた、数理生物学、[10]脳の構造と思考プロセス、科学的アイデアの進化の方法にも興味を持っている。 [6]
ナッシュとカイパーの等長埋め込み定理と、モリス・ハーシュとスティーブン・スメールによるはめ込みの結果に動機づけられて、[10]グロモフはさまざまな定式化でh 原理を導入した。ハーシュ＝スメール理論の特殊なケースをモデルにして、彼はマイクロフレキシブル層の一般理論を導入して発展させ、それらが開多様体上で h 原理を満たすことを証明した。[G69]その結果 (他の結果の中でも) 彼は、どんな開多様体上でも正に曲がったリーマン計量と負に曲がったリーマン計量の存在を確立することができた。彼の結果は、正または負の曲率を持つ測地完全リーマン多様体に対するよく知られた位相的制限 (チーガー＝グロモルの魂の定理やカルタン＝アダマールの定理など)とは対照的である。この初期の研究の後、彼はヤコフ・エリアシュバーグと共同で、ナッシュとカイパーの定理やナッシュ・モーザーの暗黙関数定理に基づく研究など、h原理をさらに発展させた。彼の成果は、シンプレクティック幾何学や接触幾何学における正確なラグランジアン浸漬や類似の対象の存在に対する位相条件など、多くの応用がある。[11] [12]彼の有名な著書「偏微分関係」には、これらの問題に関する彼の研究のほとんどが収録されている。[G86]その後、彼はその手法を複素幾何学に適用し、連続写像から正則写像への変形に関するオカ原理の特定の例を証明した。[G89]彼の研究は、1950年代に導入されたオカ・グラウエルト理論の新たな研究のきっかけとなった。[13] [14]
グロモフとヴィタリ・ミルマンは、測度の集中現象の定式化を行った。[GM83]彼らは「レヴィ族」を、漸近的にゼロでない集合の列を計量的に厚くしてほぼすべての点を含むことができる正規化された計量測度空間の列として定義した。これは大数の法則の現象を非常によく模倣しており、実際、大数の法則はレヴィ族の枠組みに組み込むことができる。グロモフとミルマンはレヴィ族の基本理論を展開し、いくつかの例を特定した。最も重要なのは、リッチ曲率の下限またはラプラス・ベルトラミ演算子の最初の固有値が無限大に発散するリーマン多様体の列から得られた例である。彼らはまた、連続関数の任意の列が漸近的にほぼ一定でなければならないというレヴィ族の特徴を強調した。これらの考察は、ミシェル・タラグランなどの他の著者によってさらに進められた。[15]
1964年にジェームズ・イールズとジョセフ・サンプソンが調和写像に関する画期的な論文を発表して以来、調和写像の存在定理と、（ある種の）調和写像は完全に測地線か正則でなければならないとする消失定理の組み合わせから、さまざまな剛性現象が演繹されてきた。[16] [17] [18]グロモフは、このプログラムを距離空間への写像の設定に拡張すると、マルギュリスの超剛性に従って、離散群に関する新しい結果が得られるという洞察を得た。リチャード・シェーンは調和写像理論を距離空間の設定に拡張する解析的作業を行った。これはその後ニコラス・コレヴァールとシェーンによってより体系的に行われ、標準的なソボレフ空間理論のほとんどの拡張が確立された。[19]グロモフとシェーンの方法の応用例として、四元数双曲空間の等長群の格子が算術的であるという事実がある。[GS92]
リーマン幾何学
1978 年、グロモフは、ほぼ平坦な多様体の概念を導入しました。[G78]リーマン幾何学における有名な1/4 球面定理は、完全なリーマン多様体が与えられた正の定数にすべて十分近い断面曲率を持つ場合、 M は球によって有限覆われている必要があると述べています。対照的に、スケーリングにより、すべての閉じたリーマン多様体は、断面曲率が任意にゼロに近いリーマン計量を持つことがわかります。グロモフは、固定直径のリーマン多様体のみを考慮することでスケーリングの可能性が破られる場合、断面曲率が十分ゼロに近いそのようなリーマン計量を許容する閉じた多様体は、ニル多様体によって有限覆われている必要があることを示しまし た。この証明は、ビーベルバッハの定理とマーギュリスの補題の証明を再現することで機能します。グロモフの証明はピーター・ブーザーとヘルマン・ケルヒャーによって注意深く解説された。 [20] [21] [22]
1979年、リチャード・ショーンとシン・トン・ヤウは、リーマン計量で正のスカラー曲率を持つ滑らかな多様体のクラスが位相的に豊かであることを示した。特に、彼らはこのクラスが連結和と余次元が少なくとも3の手術の演算の下で閉じていることを示した。 [23]彼らの証明では、特にグリーン関数に関する偏微分方程式の初等的手法が使用された。グロモフとブレイン・ローソンは、初等幾何学的構成を利用して、ショーンとヤウの結果の別の証明を与えた。[GL80b]彼らはまた、スティーブン・スメールのh-コボルディズム定理などの純粋に位相的な結果を適用して、次元が5、6、または7の閉じた単連結な滑らかな多様体はすべて、リーマン計量で正のスカラー曲率を持つという事実などの結論を導く方法を示した。彼らはさらに、ホモトピー理論の条件によって区別される新しいクラスの拡大可能多様体を導入した。[GL80a]彼らは、正のスカラー曲率のリーマン計量はそのような多様体上には存在できないことを示した。特別な帰結として、トーラスは正のスカラー曲率のリーマン計量をサポートできないが、これは低次元で以前にショーンとヤウによって解決された主要な予想であった。[24]
1981年、グロモフは、非負の断面曲率のリーマン計量を許容する多様体に対して、ベッティ数に基づく位相的制限を特定した。[G81a]彼の研究の主なアイデアは、カーステン・グローブと塩浜勝弘のリーマン距離関数のモース理論と、トポノフ比較定理から得られる距離関数の制御、および測地球の体積に関するビショップ-グロモフ不等式を組み合わせることであった。 [25]この結果、測地球による多様体の位相的に制御された被覆が得られ、スペクトル列の議論を適用して、基になる多様体の位相を制御することができる。断面曲率の下限の位相はまだ完全には理解されておらず、グロモフの研究は主要な成果にとどまっている。ホッジ理論の応用として、ピーター・リーとヤウは勾配推定を適用して、グロモフよりも弱いが多様体に凸境界を持たせることができる同様のベッティ数推定値を見つけることができた。[26]
ジェフ・チーガーのリーマン多様体に対する基本的なコンパクト性理論では、極限空間上の座標を構築する重要なステップは、閉多様体に対する単射半径の推定である。[27]チーガー、グロモフ、マイケル・テイラーはチーガーの推定を局所化し、ビショップ−グロモフの体積比較を使用して、曲率境界と測地球の体積によって絶対的に単射半径を制御する方法を示した。 [CGT82]彼らの推定は、座標の構築が重要な問題である多くの場所で使用されている。[28] [29] [30]この特によく知られた例は、体積を制御するリッチフローに対するグリゴリー・ペレルマンの「非崩壊定理」が、リチャード・ハミルトンのコンパクト性理論の応用を可能にするのに十分であることを示すことである。[31] [32] [33] Cheeger、Gromov、Taylorは、熱核のガウス制御を証明するために注入半径推定を適用したが、これらの推定値は後にLiとYauによって勾配推定の応用として改良された。[26]
グロモフはシストリック幾何学に基礎的な貢献をした。シストリック幾何学は、多様体 M のサイズ不変量 (体積や直径など) とその位相的に自明でない部分多様体 (非収縮曲線など) との関係を研究する。1983 年の論文「リーマン多様体の充填」[G83]で、グロモフは、リーマン計量を持つすべての本質的多様体に、長さが最大 の閉じた非収縮測地線が含まれることを証明した。[34]
グロモフ−ハウスドルフ収束と幾何群論
1981 年、グロモフはグロモフ・ハウスドルフ距離を導入しました。これは、すべての距離空間の集合に距離空間の構造を与えます。[G81b]より一般的には、各空間の点の選択に応じて、2 つの距離空間間のグロモフ・ハウスドルフ距離を定義できます。これは、すべての距離空間の空間上の距離を与えるものではありませんが、尖った距離空間の列の極限への「グロモフ・ハウスドルフ収束」を定義するのに十分です。グロモフはこの設定で重要なコンパクト性定理を定式化し、尖った「適切な」距離空間の列が収束する部分列を持つ必要があるという条件を与えました。これは後に、グロモフと他の人によって、より柔軟な超極限の概念に再定式化されました。[G93]
グロモフのコンパクト性定理は、幾何学的群論の分野に大きな影響を与えた。彼は、この定理を、計量のよく選ばれた再スケーリングの極限をとることによって、多項式成長群の語計量の漸近幾何学を理解するために応用した。語計量の等長変換の極限を追跡することによって、彼は極限計量空間が予期しない連続性を持つこと、特にその等長変換群がリー群であることを示すことができた。[G81b]その結果、彼は、1960年代に提起された、そのような群は事実上冪零であると主張するミルナー・ウルフ予想を解決することができた。超極限を使用すると、より一般的な計量空間について同様の漸近構造を研究することができる。[G93]このトピックに関する重要な発展は、ブルース・クライナー、ベルンハルト・レープ、ピエール・パンスなどによってもたらされた。[35] [36]
もう一つの帰結はグロモフのコンパクト性定理であり、リッチ曲率≥ cかつ直径≤ Dであるコンパクトリーマン多様体の集合はグロモフ・ハウスドルフ計量において相対的にコンパクトであることを述べている。[G81b]このような多様体の列の可能な極限点は、曲率 ≥ cのアレクサンドロフ空間であり、これは1992 年にブラーゴ、グロモフ、ペレルマンによって詳細に研究された計量空間のクラスである。 [BGP92]
グロモフはエリヤフ・リップスとともに双曲群の概念を導入した。[G87]
シンプレクティック幾何学
グロモフの擬正則曲線の理論は、現代のシンプレクティック幾何学の研究の基礎の1つです。[G85]擬正則曲線を最初に検討したわけではありませんが、彼はカレン・ウーレンベックのヤン・ミルズ接続に関する以前の研究や、ウーレンベックとジョナサン・サックの調和写像に関する研究と並行する「泡立ち」現象を発見しました。[37] [38]サックス、ウーレンベック、グロモフの研究以来、そのような泡立ち現象は他の多くの幾何学的文脈で発見されています。泡立ちをエンコードする対応するコンパクト性定理により、グロモフは擬正則曲線の存在に関する解析的に深い結論を数多く得ることができました。グロモフの特に有名な結果は、存在理論と極小曲面の単調性公式の結果として到達した「非圧縮定理」であり、これはシンプレクティック幾何学の顕著な質的特徴を提供した。エドワード・ウィッテンのアイデアに従って、グロモフの研究は、弦理論、代数幾何学、シンプレクティック幾何学に及ぶ広く研究されているトピックであるグロモフ-ウィッテン理論の基礎でもある。[39] [40] [41]別の観点から見ると、グロモフの研究はアンドレアス・フローアの研究の多くにも影響を与えた。[42]
ヤコフ・エリアシュバーグとグロモフは、シンプレクティック凸性の概念の基礎理論のいくつかを開発した。[EG91]彼らは凸性のさまざまな具体的な概念を導入したが、それらはすべて、シンプレクティック形式を縮約する1パラメータ微分同相写像の族の存在に関係している。彼らは、凸性が、特定のシンプレクティック同相写像を構築する問題に対してh-原理が成立するための適切な文脈であることを示した。彼らはまた、接触幾何学において類似の概念を導入した。凸接触構造の存在は、後にエマニュエル・ジルーによって研究された。[43]
賞と栄誉
賞品
- モスクワ数学協会賞（1971年）
- オズワルド・ヴェブレン幾何学賞( AMS ) (1981)
- パリ科学アカデミーエリー カルタン賞(1984)
- パリ労働安全保障賞 (1989)
- ウルフ数学賞（1993年）
- ルロイ・P・スティール研究への先駆的貢献賞 ( AMS ) (1997)
- ロバチェフスキー賞（1997年）
- バルザン数学賞（1999年）
- 京都賞数学科学部門 (2002)
- ネマース数学賞（2004年）[44]
- 2005年ボヤイ賞
- 2009年アーベル賞「幾何学への革命的貢献」[45]
栄誉
- 国際数学者会議招待講演者：1970年（ニース）、1978年（ヘルシンキ）、1983年（ワルシャワ）、1986年（バークレー）
- 米国科学アカデミー（1989年）、アメリカ芸術科学アカデミー（1989年）、ノルウェー科学文学アカデミー、王立協会（2011年）、[46]ウクライナ国立科学アカデミー（ 2023年）の外国人会員。[47]
- フランス科学アカデミー会員（1997年）[48]
- 2007年ポール・トゥラン記念講演を行った。[49]
参照
出版物
書籍
主要記事
注記
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参考文献
- マルセル・バーガー、「幾何学者との出会い、パート I」、AMS Notices、第 47 巻、第 2 号
- マルセル・バーガー、「幾何学者との出会い、第 2 部」、AMS Notices、第 47 巻、第 3 号
外部リンク
ウィキメディア・コモンズのミハイル・レオニドヴィチ・グロモフに関連するメディア
- Institut des Hautes Études Scientifiques の個人ページ
- NYUの個人ページ
- 数学系譜プロジェクトのミハイル・グロモフ
- アナトリー・ヴェルシク「グロモフの幾何学」