必須マニホールド

幾何学において、本質的多様体とは、閉多様体の特殊なタイプである。この概念は、ミハイル・グロモフによって初めて明示的に導入された。^[1]

閉多様体 Mは、その基本類[ M ]がその基本群πのホモロジー、より正確には対応するアイレンバーグ・マクレーン空間K ( π ,1)のホモロジーにおいて、自然準同型を介して 非零元を定義するとき、本質的と呼ばれる。

${\displaystyle H_{n}(M)\to H_{n}(K(\pi ,1)),}$

ここでn はMの次元です。ここで、多様体が有向性を持つ場合は基本類は整数係数のホモロジーでとられ、そうでない場合は 2 を法とする係数でとられます。

• 2 次元球面S ²を除いて、すべての閉じた面 (つまり 2 次元多様体) は本質的です。
• 実射影空間RP ^nは、包含関係が

  ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{\infty }}$

はホモロジーにおいて単射であり、

${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }=K(\mathbb {Z} _{2},1)}$

は、位数2の有限巡回群のアイレンバーグ・マクレーン空間です。

• すべてのコンパクトな非球面多様体は本質的である（非球面であるということは多様体自体がすでにK ( π , 1) であることを意味するため）
  • 特に、すべてのコンパクト双曲多様体は必須です。
• すべてのレンズスペースは必須です。

• 本質的多様体の連結和は本質的である。
• 本質的多様体への非ゼロ次写像を許容する任意の多様体は、それ自体が本質的である。

• 本質的多様体に対するグロモフのシストリック不等式
• 収縮期幾何学