充填半径

リーマン幾何学において、リーマン多様体Xの充填半径はXの計量不変量である。これは元々 1983 年にミハイル・グロモフによって導入され、彼はこれを用いて本質多様体に対するシストリック不等式を証明し、レーヴナーのトーラス不等式と実射影平面に対するプーの不等式を大幅に一般化し、現代的な形のシストリック幾何学を創り出した。

平面上の単純なループCの充填半径は、 C の内側に収まる円の最大半径R  > 0 として定義される。  

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})=R.}$

グロモフが示したように、この概念を非常に実りある方法で一般化できるような、ある種の二重の視点が存在する。すなわち、我々は${\displaystyle \varepsilon }$-ループCの近傍、表記は

${\displaystyle U_{\varepsilon }C\subset \mathbb {R} ^{2}.}$

として${\displaystyle \varepsilon >0}$増加する、${\displaystyle \varepsilon }$-近所${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$ループの内部をどんどん飲み込んでいく。最後に飲み込まれる点は、最大の内接円の中心である。したがって、上記の定義を次のように再定式化することができる。 ${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$の最小値である${\displaystyle \varepsilon >0}$ループCが一点に収縮する${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$。

例えばユークリッド空間Eに埋め込まれたコンパクト多様体Xが与えられた場合、近傍のサイズを最小化することによって、埋め込みに対する充填半径を定義することができる。${\displaystyle U_{\varepsilon }X\subset E}$ここで、Xはより低次元のもの、例えば低次元多面体にホモトピー変換できる。技術的には、ホモロジー定義を用いる方が都合が良い。

係数環をAで表す${\displaystyle \mathbb {Z} }$または${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Xが向き付け可能かどうかによって異なる。すると、コンパクトなn次元多様体Xの基本クラス[X]は、ホモロジー群の生成元となる。${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$、そして私たちは

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X\subset E)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$

どこ${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$これは包含準同型写像です。

Xがリーマン計量gを備えている状況で絶対充填半径を定義するために、グロモフは次のように進めます。クラトフスキー埋め込みを利用します。Xをバナッハ空間に埋め込みます。${\displaystyle L^{\infty }(X)}$X上の有界ボレル関数の上限ノルムを備えた${\displaystyle \|\cdot \|}$つまり、点をマッピングする${\displaystyle x\in X}$機能へ${\displaystyle f_{x}\in L^{\infty }(X)}$式で定義される${\displaystyle f_{x}(y)=d(x,y)}$ すべての人々のために${\displaystyle y\in X}$ここで、dは距離関数であり、メトリックによって定義される。三角不等式により、${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$したがって、埋め込みは、内部距離と周囲距離が一致するという厳密な意味で、強く等長である。周囲空間がヒルベルト空間である場合、Xがリーマン円であっても、このような強く等長な埋め込みは不可能である（対向する点間の距離は πでなければならず、2ではない！）。次に、${\displaystyle E=L^{\infty }(X)}$上記の式において、

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\mathrm {FillRad} \left(X\subset L^{\infty }(X)\right).}$

• 充填半径は最大で直径の3分の1である（Katz、1983）。
• 定曲率計量を持つ実射影空間の充填半径は、そのリーマン直径の3分の1である（Katz、1983）。言い換えれば、これらの場合、充填半径は収縮期の6分の1である。
• 長さ2πのリーマン円、すなわち誘導リーマン距離関数を持つ単位円の充填半径はπ/3、つまりその長さの6分の1に等しい。これは、上述の直径の上限と、収縮期に関するグロモフの下限（グロモフ、1983）を組み合わせることによって導かれる。
• 本質的多様体Mの収縮部は、充填半径の最大 6 倍である (Gromov、1983) を参照。
  • この不等式は、上記の実射影空間によって等号が成立するという境界条件が満たされるという意味で最適である。
• コンパクト多様体の単射半径は充填半径の下限を与える。すなわち、

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{2(\dim M+2)}}.}$

• 充填領域予想
• 本質的多様体に対するグロモフの収縮期不等式

• Gromov, M.: リーマン多様体の充填、Journal of Differential Geometry 18 (1983)、1–147。
• Katz, M.: 2点均質空間の充填半径。Journal of Differential Geometry 18、第3号（1983）、505–511。
• カッツ、ミハイル・G. (2007)、シストリック幾何学とトポロジー、数学調査とモノグラフ、第137巻 、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4177-8OCLC 77716978​