ランダムグループ

数学において、ランダム グループとは、確率的構成によって得られる特定のグループです。ランダム グループとは、「典型的なグループとはどのようなものか」などの質問に答えるために、ミシャ グロモフによって導入されました。

正確な定義が与えられると、ランダム グループがいくつかの特性を満たす確率は非常に高くなりますが、他の特性を満たす確率は非常に高くなります。たとえば、ランダム グループは非常に高い確率で双曲型グループになります。この意味で、「ほとんどのグループは双曲型である」と言えます。

ランダム グループの定義は、可能なグループの集合に対する確率モデルに依存します。さまざまな確率モデルにより、ランダム グループの異なる (ただし関連した) 概念が生成されます。

任意のグループは、生成元と関係を含むグループの表現によって定義できます。たとえば、アーベルグループは、2 つの生成元と、関係、または同等のを含む表現を持ちます。ランダム グループの主なアイデアは、固定数のグループ 生成元 から始めて、 という形式の関係を課すことです。ここで、各 は、文字とその形式的な逆 を含むランダムな単語です。ランダム グループのモデルを指定することは、 、およびランダム関係が選択される正確な方法を指定することです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab=ba}$${\displaystyle aba^{-1}b^{-1}=1}$${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}}$${\displaystyle r_{1}=1,\,r_{2}=1,\,\ldots ,\,r_{k}=1}$${\displaystyle r_{j}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}^{-1}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r_{j}}$

ランダムな関係が選択されると、結果として得られるランダムなグループは、グループの表現の標準的な方法で定義されます。つまり、 は、生成元 を持つ自由群を、の要素として見られる関係によって生成される正規部分群で割った商です。 ${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{m}}$${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{m}}$${\displaystyle R\subset F_{m}}$${\displaystyle r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}}$${\displaystyle F_{m}}$

${\displaystyle G=F_{m}/\langle r_{1},\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}\rangle .}$

ランダム グループの最も単純なモデルは、少数関係子モデルです。このモデルでは、生成子の数と関係の数は固定されています。通常は非常に大きな値を取る追加のパラメーター(関係の長さ) を固定します。 ${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle \ell}$

次に、モデルは、文字とその形式的な逆文字を含む最大の長さのすべての可能な短縮語の中から、関係をランダムに、均一に、独立に選択することから構成されます。 ${\displaystyle r_{1}\,r_{2},\,\ldots ,\,r_{k}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}^{-1}}$

このモデルは、関係の長さが無限大に近づくときに特に興味深いものです。確率が に近づくと、このモデル内のランダム グループは双曲的になり、他の優れた特性も満たします。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \ell \to \infty }$

ランダム グループのより洗練されたモデルが定義されました。

たとえば、密度モデルでは、関係の数は関係の長さに応じて増加します。この場合、急激な「相転移」現象が発生します。関係の数があるしきい値よりも大きい場合、ランダム グループは「崩壊」します (関係によって、任意の単語が他の単語と等しいことが示されるため)。一方、しきい値を下回ると、結果として得られるランダム グループは無限かつ双曲的になります。

ランダム群の構成を特定の方法でひねって、特定の特性を持つ群を構築することもできます。たとえば、グロモフはこの手法を使用して、バウム-コヌ予想の拡張に対する反例となる新しい群を構築しました。

• ミハイル・グロモフ「双曲群」群論論文集、75-263、Math. Sci. Res. Inst. Publ.、8、Springer、ニューヨーク、1987年。
• ミハイル・グロモフ. 「ランダムグループ内のランダムウォーク」Geom. Funct. Anal.、vol. 13 (2003)、73–146。