グロモフ・ウィッテン不変量

数学、特にシンプレクティック位相幾何学と代数幾何学において、グロモフ–ウィッテン( GW )不変量は、特定の状況において、与えられたシンプレクティック多様体において規定の条件を満たす擬正則曲線を数える有理数である。GW 不変量は、適切な空間におけるホモロジーまたはコホモロジークラスとして、あるいは量子コホモロジーの変形カップ積としてパッケージ化されることがある。これらの不変量は、以前は区別できなかったシンプレクティック多様体を区別するために使用されてきた。これらはまた、閉じたIIA 型弦理論において重要な役割を果たしている。これらは、ミハイル・グロモフとエドワード・ウィッテンにちなんで名付けられている。

グロモフ-ウィッテン不変量の厳密な数学的定義は長くて難しいため、安定マップの記事で別途扱います。この記事では、不変量の意味、計算方法、重要性について、より直感的な説明を試みます。

次の点を考慮してください。

• ${\displaystyle X}$:次元の閉じた シンプレクティック多様体、${\displaystyle 2k}$
• ${\displaystyle A}$ : の2次元ホモロジークラス、${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle g}$ : 負でない整数、
• ${\displaystyle n}$ : 負でない整数。

ここで、4 組に関連付けられたグロモフ–ウィッテン不変量を定義します。を、マークされた点を持つ種数の曲線の Deligne–Mumford モジュライ空間とし、のクラスへの安定写像のモジュライ空間を表します。これは、 上の選択されたほぼ複素構造で、そのシンプレクティック形式と互換性があります。 の元は次の形式です。 ${\displaystyle (X,A,g,n)}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$

${\displaystyle (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)}$、

ここで は（必ずしも安定ではない）点がマークされた曲線であり、擬正則である。モジュライ空間は実次元を持つ。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle f:C\to X}$

${\displaystyle d:=2c_{1}^{X}(A)+(2k-6)(1-g)+2n.}$

させて

${\displaystyle \mathrm {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

曲線の 安定化を表す。

${\displaystyle Y:={\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}\times X^{n},}$

実次元を持つ。評価マップがある ${\displaystyle 6g-6+2(k+1)n}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\ldots ,x_{n},f)=\left(\operatorname {st} (C,x_{1},\ldots ,x_{n}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}}$

評価写像は、の基本類を の -次元有理ホモロジー類に写し、 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbb {Q} ).}$

ある意味では、このホモロジー類は、データ、、に対するのグロモフ・ウィッテン不変量です。これは、シンプレクティック多様体 のシンプレクティック同位体類の不変量です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

グロモフ・ウィッテン不変量を幾何学的に解釈するには、を のホモロジー類とし、の余次元の和が に等しい のホモロジー類とします。これらは、キュネス公式によりのホモロジー類を誘導します。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdots \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbb {Q} ),}$

ここで、 はの有理ホモロジーにおける交差積を表します。これは有理数であり、指定されたクラスに対するグロモフ・ウィッテン不変量です。この数は、マークされた点が を表すサイクルにマップされる擬正則曲線（クラス、種数、定義域がドリーニュ・マンフォード空間の -部分にある）の数の「仮想」カウントを与えます。 ${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

簡単に言えば、GW 不変量は、の選択された部分多様体と交差する曲線がいくつあるかを数えます。ただし、カウントの「仮想」性質により、カウントが自然数であることを期待するかもしれませんが、自然数である必要はありません。安定マップの空間はオービフォールドであり、その等方性の点は不変量に非整数値を与えることができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

この構成には、ホモロジーの代わりにコホモロジーを使用したり、積分を交差の代わりに使用したり、ドリーニュ・マンフォード空間から引き戻された チャーン類も積分したりするなど、さまざまなバリエーションがあります。

グロモフ・ウィッテン不変量は、一般に計算が難しい。これらは、演算子の線形化Dが射影的であるような一般的なほぼ複素構造 Jに対して定義されるが、実際には特定の選択されたJに関して計算されなければならない。非一般的な対称性や積分可能性などの特別な特性を持つJ を選択するのが最も便利である。実際、計算は、代数幾何学の手法を使用して ケーラー多様体上で実行されることが多い。 ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}}$

しかし、特殊なJ は非全射なD を誘導し、その結果、予想よりも大きい擬正則曲線のモジュライ空間を誘導する可能性があります。大まかに言えば、この効果を修正するには、Dの余核から障害バンドルと呼ばれるベクトルバンドルを形成し、次に GW 不変量を障害バンドルのオイラー類の積分として実現します。このアイデアを正確にするには、倉西構造を使用した重要な技術的議論が必要です。

主な計算手法は局所化です。これは、Xがトーリックの場合、つまり、X が複素トーラス、または少なくとも局所的にトーリックである場合に適用されます。次に、マイケル・アティヤとラウル・ボットのアティヤ・ボット不動点定理を使用して、GW 不変量の計算を、作用の不動点軌跡上の積分に簡約、つまり局所化することができます。

別のアプローチは、シンプレクティック手術を使用して、X を、GW 不変量がより簡単に計算される 1 つ以上の他の空間に関連付けることです。もちろん、まず手術下で不変量がどのように動作するかを理解する必要があります。このようなアプリケーションでは、より複雑な相対 GW 不変量がよく使用されます。これは、実数余次元 2 のXのシンプレクティック部分多様体に沿って、指定された接線条件を持つ曲線を数えます。

GW不変量は、シンプレクティック圏におけるドナルドソン不変量やザイバーグ・ウィッテン不変量、代数圏におけるドナルドソン・トーマス理論など、幾何学における他の多くの概念と密接に関連している。コンパクトなシンプレクティック4次元多様体の場合、クリフォード・タウブスは、GW不変量の変種（タウブスのグロモフ不変量を参照）がザイバーグ・ウィッテン不変量と同値であることを示した。代数3次元多様体の場合、それらは整数値のドナルドソン・トーマス不変量と同じ情報を含むと推測されている。物理的な考慮により、ゴパクマー・ヴァファ不変量も生じ、これは典型的には有理なグロモフ・ウィッテン理論に基礎となる整数カウントを与えることを意図している。ゴパクマー・ヴァファ不変量には現在厳密な数学的定義がなく、これがこの分野の大きな問題の1つとなっている。

滑らかな射影多様体のグロモフ-ウィッテン不変量は、代数幾何学の範囲内で完全に定義できます。平面曲線と等質空間の有理曲線の古典的な列挙幾何学は、どちらも GW 不変量によって表現されます。しかし、古典的な列挙カウントに対する GW 不変量の主な利点は、対象の複素構造の変形に対して不変であることです。GW 不変量は、シンプレクティック多様体または射影多様体のコホモロジー環の積構造の変形も提供します。これらは、通常のコホモロジーの変形である多様体Xの量子コホモロジー環を構成するように構成できます。変形された積の結合性は、本質的に、不変量を定義するために使用される安定マップのモジュライ空間の自己相似性の結果です。

量子コホモロジー環は、そのパンツ積を持つ シンプレクティック・フレアー・ホモロジーと同型であることが知られています。

重力不変量は、一般相対性理論と量子力学を統一しようとする物理学の一分野である弦理論において興味深いものです。この理論では、素粒子から始まって宇宙のあらゆるものは小さな弦でできています。弦が時空を移動すると、弦の世界面と呼ばれる表面を描きます。残念ながら、そのようなパラメーター化された表面のモジュライ空間は、少なくとも事前には無限次元です。この空間上の適切な尺度は知られておらず、そのため理論の 経路積分には厳密な定義がありません。

閉じた A モデルとして知られる変形では状況は改善されます。ここでは、シンプレクティック多様体を構成する 6 つの時空次元があり、世界面は必然的に擬正則曲線によってパラメータ化され、そのモジュライ空間は有限次元のみであることがわかります。これらのモジュライ空間上の積分としての GW 不変量は、理論の経路積分です。特に、種数gでの A モデルの自由エネルギーは、種数g のGW 不変量の生成関数です。

• 余接複素数– 変形理論用
• シューベルト計算

• McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004)。J-ホロモルフィック曲線とシンプレクティック位相幾何学。アメリカ数学会コロキウム出版物。ISBN 0-8218-3485-1。グロモフ・ウィッテン不変量とシンプレクティック多様体の量子コホモロジーの解析的な概要。技術的に非常に完成度が高い。
• Piunikhin, Sergey、Salamon, Dietmar、Schwarz, Matthias (1996)。「シンプレクティック・フローア・ドナルドソン理論と量子コホモロジー」。Thomas, CB (編) 著『接触とシンプレクティック幾何学』。ケンブリッジ大学出版局。171～200 ページ。ISBN 0-521-57086-7。

• 種数 1 の安定写像のモジュライ空間、仮想クラス、交差理論の演習 - Andrea Tirelli
• コック、ヨアキム、ヴァインゼンチャー、イスラエル (2007)。量子コホモロジーへの招待：有理平面曲線に対するコンツェビッチの公式。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 978-0-8176-4456-7。モジュライ空間の形式的な概念についての歴史と演習を交えた優れた入門書で、スキーム言語の基礎を使用して射影空間の場合を広範囲に扱います。
• Vakil, Ravi (2006). 「曲線のモジュライ空間とグロモフ・ウィッテン理論」.代数幾何学と弦理論における列挙不変量. 第 1947 巻. Springer. pp. 143–198. arXiv : math/0602347 . Bibcode :2006math......2347V. doi :10.1007/978-3-540-79814-9_4.
• 安定写像と量子コホモロジーに関するノート

• 混合特性スキームのグロモフ・ウィッテン理論