非圧縮定理

非圧縮定理はグロモフの非圧縮定理とも呼ばれ、シンプレクティック幾何学で最も重要な定理の1つです。^[1] これは1985年にミハイル・グロモフによって初めて証明されました。^[2]この定理は、ボールの半径がシリンダーの半径以下でない限り、シンプレクティック写像 を介してボールをシリンダーに埋め込むことはできないと述べています。この定理が重要なのは、以前はシンプレクティック写像の背後にある幾何学についてほとんど知られていなかったためです。変換がシンプレクティックであることの簡単な帰結の1つは、体積が保存されることです。^[3]体積保存変換により、任意の半径のボールを他の任意の半径のシリンダーに簡単に埋め込むことができます。ボールをシリンダーに圧縮することを想像するだけです（そのため、非圧縮定理と呼ばれます）。したがって、非圧縮定理によれば、シンプレクティック変換は体積保存型であるものの、変換がシンプレクティック型であることは体積保存型であることよりはるかに制限的であることがわかります。

シンプレクティック空間を考える

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

${\displaystyle B^{2n}(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<r\},}$

${\displaystyle Z^{2n}(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}‹R^{2}\},}$

それぞれシンプレクティック形式を備えている

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

この空間は半径 の球体と呼ばれ、半径 の円筒体と呼ばれます。円筒の軸の選択は、上記の固定されたシンプレクティック形式を前提としているため任意ではありません。円筒の円はそれぞれ のシンプレクティック部分空間内にあります。 ${\displaystyle B^{2n}(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle Z^{2n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

および がシンプレクティック多様体である場合、シンプレクティック埋め込みはとなる滑らかな埋め込みです。 の場合、 が同じ点 に至るシンプレクティック埋め込みが存在します。 ${\displaystyle (M,\eta )}$${\displaystyle (N,\nu )}$ ${\displaystyle \varphi :(M,\eta )\to (N,\nu )}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$${\displaystyle \varphi ^{*}\nu =\eta }$${\displaystyle r\leq R}$${\displaystyle B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$${\displaystyle x\in B^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle x\in Z^{2n}(R)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$

グロモフの非圧縮定理によれば、シンプレクティック埋め込みが存在する場合、 となる。^[3]${\displaystyle \varphi :B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$${\displaystyle r\leq R}$

シンプレクティック容量とは、 ${\displaystyle c:\{{\text{シンプレクティック多様体}}\}\to [0,\infty ]}$

1. （単調性）シンプレクティック埋め込みとが存在する場合、${\displaystyle (M,\omega )\to (N,\eta )}$${\displaystyle \dim M=\dim N}$${\displaystyle c(M,\omega )\leq c(N,\eta )}$
2. （適合性）、${\displaystyle c(M,\lambda \omega )=\lambda c(M,\omega )}$
3. （非自明性）と^[3 ]${\displaystyle c(B^{2n}(1))>0}$${\displaystyle c(Z^{2n}(1))<\infty }$

を満たすシンプレクティック容量の存在

${\displaystyle c(B^{2n}(1))=c(Z^{2n}(1))=\pi }$

はグロモフの非圧縮定理と同等である。このような容量が与えられれば、非圧縮定理を検証することができ、非圧縮定理が与えられれば、グロモフの幅

${\displaystyle w_{G}(M,\omega )=\sup\{\pi r^{2}:{\text{there exists a symplectic embedding }}B^{2n}(r)\to (M,\omega )\}}$

そのような能力である。^[3]

グロモフの非圧縮定理は、イアン・スチュワートがラクダと針の穴の寓話に言及して以来、シンプレクティックラクダの原理としても知られるようになった。^[4]モーリス・A・ド・ゴッソンは次のように述べている。

さて、なぜこの論文のタイトルでシンプレクティックラクダに言及しているのでしょうか。これは、グロモフの定理を次のように言い換えることができるためです。共役座標平面の穴の面積がボールの断面積よりも小さい場合、正準変換を使用して位相空間ボールを変形して 、その穴を通過できるようにする方法は存在しません。${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle p_{j}}$

— モーリス・A・ド・ゴッソン『シンプレクティック・ラクダと不確定性原理：氷山の一角？』^[5]

同様に:

直感的に、位相空間の体積は、特定のシンプレクティック平面に関して、その「シンプレクティック幅」が許す範囲を超えて引き伸ばすことはできません。言い換えれば、針が十分に小さい場合、シンプレクティックラクダを針の穴に押し込むことは不可能です。これは非常に強力な結果であり、システムのハミルトンの性質と密接に結びついており、全体の体積のみを対象とし、形状には何の制限も課さないリウヴィルの定理とはまったく異なる結果です。

— アンドレア・チェンシ、シンプレクティックラクダと不確実性分析^[6]

ド・ゴッソンは、非圧縮定理が、ハイゼンベルクの不確定性関係の一般化であるロバートソン・シュレーディンガー・ハイゼンベルクの不等式と密接に関連していることを示しました。ロバートソン・シュレーディンガー・ハイゼンベルクの不等式は、次のことを述べています。

${\displaystyle \operatorname {var} (Q)\operatorname {var} (P)\geq \operatorname {cov} ^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

QとPは正準座標、varとcovは分散関数と共分散関数である。^[7]

• モーリス・A・デ・ゴッソン：シンプレクティック・エッグ、arXiv:1208.5969v1、2012年8月29日提出 –線形正準変換の場合の定理の変形の証明を含む
• デュサ・マクダフ：シンプレクティック幾何学とは何か？、2009