球面定理

リーマン幾何学において、球面定理（1/4 挟み球面定理とも呼ばれる）は、特定の曲率境界を持つ計量を許容する多様体の位相を強く制限します。定理の正確な記述は次のとおりです。M が、断面曲率が区間内の値を取る完全な単連結 n 次元リーマン多様体である場合、Mはn球面に同相です。（正確には、各点におけるすべての接 2 平面の断面曲率が 内になければならないことを意味します。）結果を別の方法で記述すると、M が球面 に同相でない場合、1/4 挟み曲率を持つ計量をMに置くことは不可能である、となります。 ${\displaystyle (1,4]}$${\displaystyle (1,4]}$

断面曲率が閉区間内の値を取ることが許される場合、結論は偽であることに注意してください。標準的な反例は、フビニ・スタディ計量を持つ複素射影空間です。この計量の断面曲率は、端点を含めて 1 から 4 の間の値を取ります。他の反例は、階数 1 の対称空間の中に見つかるかもしれません。 ${\displaystyle [1,4]}$

球面定理の最初の証明では、M がn球面と必ず微分同相であるとは結論付けられていませんでした。この複雑さは、高次元の球面が微分同相ではない滑らかな構造を許容するためです。(詳細については、エキゾチック球面に関する記事を参照してください。) しかし、2007 年にSimon BrendleとRichard Schoen はリッチフローを利用して、上記の仮説では、M が標準的な滑らかな構造を持つn球面と必ず微分同相であることを証明しました。さらに、Brendle と Schoen の証明では、グローバルピンチングではなく、点ごとの弱い仮定のみを使用しています。この結果は、微分可能球面定理として知られています。

ハインツ・ホップは、断面曲率がピンチされた単連結多様体は球面であると予想した。 ^[1] 1951年、ハリー・ラウフは、[3/4,1]の曲率を持つ単連結多様体は球面と同相であることを示した。^[2] 1960年、マルセル・ベルガーとヴィルヘルム・クリンゲンベルクはともに、最適なピンチ定数を持つ球面定理の位相バージョンを証明した。^{[3] [4]} ベルガーは、2003年に最初に出版された著書「リーマン幾何学のパノラマ的視点」で、この定理の歴史について論じている。 ^[5]

• ブレンドル、サイモン (2010)。リッチフローと球面定理。数学大学院研究。第 111 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。doi :10.1090 / gsm/111。ISBN 978-0-8218-4938-5. MR  2583938。
• Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). 「1/4 に狭められた曲率を持つ多様体は空間形式である」. Journal of the American Mathematical Society . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode :2009JAMS...22..287B. doi :10.1090/s0894-0347-08-00613-9. MR  2449060.
• Brendle , Simon; Schoen , Richard ( 2011 ). 「曲率、球面定理、およびリッチフロー」。アメリカ数学会報。48 (1): 1–32。arXiv : 1001.2278。doi :10.1090/s0273-0979-2010-01312-4。MR 2738904  。