擬似正則曲線

数学、特に位相幾何学において、擬正則曲線（擬正則曲線、 J正則曲線とも）は、リーマン面からほぼ複素多様体への滑らかな写像であり、コーシー・リーマン方程式を満たす。1985 年にミハイル・グロモフによって導入された擬正則曲線は、それ以来シンプレクティック多様体の研究に革命をもたらした。特に、擬正則曲線はグロモフ・ウィッテン不変量やフレアーホモロジーにつながり、弦理論で重要な役割を果たしている。

をほぼ複素構造を持つほぼ複素多様体とする。を複素構造を持つ滑らかなリーマン面（複素曲線とも呼ばれる）とする。の擬正則曲線は、コーシー・リーマン方程式を満たす 写像である。${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:C\to X}$

${\displaystyle {\bar {\partial}}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

なので、この条件は ${\displaystyle J^{2}=-1}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

これは単に微分が複素線型であること、つまり各接空間を写像すること を意味する。${\displaystyle df}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

技術的な理由から、何らかの不同次項を導入し、摂動コーシー・リーマン方程式を満たす写像を研究すること が望ましい場合が多い。${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .}$

この方程式を満たす擬正則曲線は、より具体的には-正則曲線と呼ばれる。摂動はハミルトニアンによって生成されると想定されることがあるが（特にフレアー理論では）、一般にはそうである必要はない。 ${\displaystyle (j,J,\nu )}$${\displaystyle \nu}$

擬正則曲線は、その定義により、常にパラメータ化されます。応用においては、パラメータ化されていない曲線、つまり の埋め込み (またははめ込み) 2 部分多様体に本当に関心がある場合が多いため、関連する構造を保存する領域の再パラメータ化によって をモッド化します。たとえば、グロモフ–ウィッテン不変量の場合、固定された種数の閉領域のみを考慮し、上にマークされた点(またはパンクチャ)を導入します。パンクチャされたオイラー特性が負になるとすぐに、マークされた点を保存する の正則再パラメータ化は有限個だけ存在します。領域曲線は、曲線 の Deligne–Mumford モジュライ空間の要素です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2-2g-n}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

古典的なケースは、とが両方とも単純に複素数平面である場合に発生します。実座標では ${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

そして

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},}$

ここで、これらの行列を2つの異なる順序で掛け合わせると、次の式がすぐにわかる。 ${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

上に書いた式は古典的なコーシー・リーマン方程式と同等である。

${\displaystyle {\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}}$

擬正則曲線は、ほぼ複素多様体に対して定義できますが、特にシンプレクティック形式と相互作用するときに興味深いものになります。ほぼ複素構造が-tameであるための必要条件は次の通りです。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

非ゼロの接線ベクトルすべてに対して成り立つ。従順さは、式 ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

は上のリーマン計量を定義します。グロモフは、与えられた に対して、 -tameの空間は空でなく、収縮可能であることを示しまし た。グロモフはこの理論を使用して、球の円筒へのシンプレクティック埋め込みに関する 非圧縮定理を証明しました。${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle J}$

グロモフは、擬正則曲線の特定のモジュライ空間（追加の指定された条件を満たす）がコンパクトであることを示し、有限エネルギーのみが想定されている場合に擬正則曲線が退化する方法を説明しました。（有限エネルギー条件は、J が-tame または-compatible であるシンプレクティック多様体内の固定ホモロジー類を持つ曲線に対して最も顕著に当てはまります）。このグロモフのコンパクト性定理は、現在では安定写像を使用して大幅に一般化されており、シンプレクティック多様体内の擬正則曲線を数えるグロモフ-ウィッテン不変量の定義を可能にしています。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

擬正則曲線のコンパクトモジュライ空間は、フロアーホモロジーの構築にも使用されます。フロアーホモロジーは、アンドレアス・フロアー（およびより一般的には後代の著者）が、ハミルトン流の不動点の数に関するウラジミール・アルノルトの有名な予想を証明するために使用しました。

タイプ II 弦理論では、弦がカラビ・ヤウ3 次元多様体の経路に沿って移動するときに弦が描く面を考えます。量子力学の経路積分の定式化に従って、そのような面すべての空間上の特定の積分を計算します。そのような空間は無限次元であるため、これらの経路積分は一般に数学的に明確に定義されていません。ただし、A ツイストの下では、面が擬似正則曲線によってパラメータ化されていると推測できるため、経路積分は擬似正則曲線のモジュライ空間 (またはむしろ安定マップ) 上の積分に簡約され、これは有限次元です。たとえば、閉じたタイプ IIA 弦理論では、これらの積分はまさにグロモフ・ウィッテン不変量です。

• 正則曲線

• Dusa McDuffとDietmar Salamon、「J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology」、アメリカ数学会コロキウム出版、2004 年。ISBN 0-8218-3485-1 。
• ミハイル・レオニドヴィッチ・グロモフ、「シンプレクティック多様体における擬似正則曲線」Inventiones Mathematicae vol. 82、1985年、307-347ページ。
• ドナルドソン、サイモン K. (2005年10 月)。「擬似正則曲線とは何か?」(PDF)。アメリカ数学会の通知。52 (9): 1026–1027。2008年 1 月 17 日に閲覧。