測定の集中

数学において、測度の集中（中央値付近）は、測度論、確率論、組み合わせ論に適用される原理であり、バナッハ空間論などの他の分野にも影響を及ぼします。非公式には、「多くの独立変数にリプシッツ的に依存している（ただし、いずれの独立変数にも過度に依存していない）確率変数は、本質的に定数である」と述べています。 ^{[ 1 ]}

測度集中現象は、1970年代初頭にヴィタリ・ミルマンがバナッハ空間の局所理論に関する研究の中で提唱したもので、ポール・レヴィの研究に遡るアイデアを拡張したものである。^{[ 2 ] [ 3 ]}この現象は、ミルマンとグロモフ、モーリー、ピジエ、シェヒトマン、タラグランド、ルドゥーらの研究でさらに発展した。

させて${\displaystyle (X,d)}$測度を持つ距離空間である${\displaystyle \mu }$ボレルセットで${\displaystyle \mu (X)=1}$。 させて

${\displaystyle \alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\mu (X\smallsetminus A_{\varepsilon })\mid A{\text{ はボレル集合であり、}}\mu (A)\geq 1/2\right\},}$

どこ

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\left\{x\mid d(x,A)<\varepsilon \right\}}$

は${\displaystyle \varepsilon }$-拡張機能（別名）${\displaystyle \varepsilon }$-ハウスドルフ距離の文脈における、集合の肥大化${\displaystyle A}$。

機能${\displaystyle \alpha (\cdot )}$空間の濃度率と呼ばれる${\displaystyle X}$以下の同等の定義は、多くの用途に応用できる。

${\displaystyle \alpha (\varepsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq M+\varepsilon \})\right\},}$

ここで上限はすべての1-リプシッツ関数に関するものである。${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$、中央値（またはレヴィ平均）${\displaystyle M=\operatorname {Med} F}$不等式によって定義される

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

非公式には、その空間は${\displaystyle X}$集中現象を示す場合 ${\displaystyle \alpha (\varepsilon )}$非常に速く崩壊する${\displaystyle \varepsilon }$成長する。より正式には、計量空間の族である。${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$対応する濃度率がレヴィ族と呼ばれる場合$\displaystyle \alpha _{n}}$満足する

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\alpha _{n}(\varepsilon )\to 0{\text{ as }}n\to \infty ,}$

そして通常のレヴィ家の場合

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\alpha _{n}(\varepsilon )\leq C\exp(-cn\varepsilon ^{2})}$

いくつかの定数に対して${\displaystyle c,C>0}$例については下記を参照してください。

最初の例はポール・レヴィに遡ります。球面等周不等式によれば、すべての部分集合の中で${\displaystyle A}$球体の${\displaystyle S^{n}}$規定の球面度で$\displaystyle \sigma _{n}(A)$球冠

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}\mid \operatorname {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

適切な${\displaystyle R}$最小の${\displaystyle \varepsilon }$-拡大${\displaystyle A_{\varepsilon }}$（どんな場合でも）${\displaystyle \varepsilon >0}$)

これを測定セットに適用する$\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$（どこ $\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$) から、次の濃度不等式を導き出すことができる。

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\varepsilon })\geq 1-C\exp(-cn\varepsilon ^{2}),}$

どこ${\displaystyle C,c}$は普遍定数である。したがって${\displaystyle (S^{n})_{n}}$上記の定義を満たす、通常のレヴィ族である。

ヴィタリ・ミルマンはこの事実をバナッハ空間の局所理論におけるいくつかの問題に応用し、特にドヴォレツキーの定理の新しい証明を与えた。

古典統計物理学はすべて、測度の集中現象に基づいています。熱力学的極限におけるアンサンブルの等価性に関する基本的な考え方（「定理」）（ギブス、1902年^{[ 4 ]}およびアインシュタイン、1902～1904年^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}）は、まさに薄膜集中定理です。各力学系について、不変リウヴィル測度（位相体積）を備え、エネルギーEを保存する位相空間を考えます。ミクロカノニカルアンサンブルは、ギブスがエネルギーEとエネルギーE + ΔEの状態の表面間の薄い層で一定密度を持つ位相空間の分布の極限として得た、一定エネルギーEの表面上の不変分布です。カノニカルアンサンブルは、位相空間（位相体積に関して）の確率密度によって与えられます 。  ${\displaystyle \rho =e^{(FE)/(kT)},}$ ここで、量F  = 定数およびT  = 定数は、確率正規化の条件と与えられたエネルギーEの期待値によって定義されます。 

粒子の数が多い場合、正準アンサンブルとミクロ正準アンサンブルのマクロ変数の平均値の差はゼロに近づき、それらのゆらぎが明示的に評価されます。これらの結果は、エネルギー関数Eに関するいくつかの正則条件の下でKhinchin (1943)によって厳密に証明されています。^{[ 8 ]} Eが二乗和である 最も単純な特殊なケースは、Khinchinや Lévy以前、さらには Gibbs や Einstein 以前から詳細に知られていました。これは、理想気体の粒子エネルギーのMaxwell–Boltzmann 分布です。

マイクロカノニカルアンサンブルは、素朴な物理的観点からは非常に自然です。これは、等エネルギー超曲面上の自然な均等分布にすぎません。カノニカルアンサンブルは、重要な特性のために非常に有用です。システムが相互作用しない 2 つのサブシステムで構成されている場合、つまり、エネルギーEが合計である場合、${\displaystyle E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})}$、 どこ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$がサブシステムの状態である場合、サブシステムの平衡状態は独立しており、システムの平衡分布は同じTを持つサ​​ブシステムの平衡分布の積となる。これらのアンサンブルの等価性は、熱力学の力学的基礎の礎石である。 

• ボレル-TIS不等式
• ガウス等周不等式
• マクディアミッドの不平等
• タラグランドの集中不等式
• 漸近等分配特性

• ルドゥー、ミシェル（2001）。測度の集中現象。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-2864-9。
• Giannopoulos, AA; Milman, VD (2000). "確率空間における集中特性" (PDF) . Advances in Mathematics . 156 : 77– 106. doi : 10.1006/aima.2000.1949 .

• フェレンツ、フザール（2017年11月9日）。「ガウス分布はシャボン玉です。 」– 測定の集中がもたらす影響の一つを示すブログ記事