漸近次元

計量幾何学において、計量空間の漸近次元はルベーグ被覆次元の大規模な類似物である。漸近次元の概念は、ミハイル・グロモフが1993年のモノグラフ「無限群の漸近不変量」^[1]で、幾何学群論の文脈において、有限生成群の準等長不変量として導入した。Guoliang Yuが示したように、有限漸近次元を持つ有限ホモトピー型の有限生成群は、ノビコフ予想^[2]を満たす。漸近次元は、幾何学解析や指数理論 で重要な応用がある。

を距離空間、を整数とします。任意の に対して の一様有界被覆が存在し、 のすべての閉球が からの最大数個の部分集合で交差する場合、 であるといえます。ここで「一様有界」とは を意味します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq n}$${\displaystyle R\geq 1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \sup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {diam} (U)<\infty }$

次に、少なくとも 1 つのそのようなものが存在する場合、漸近次元 を となる最小の整数として定義し、そうでない場合は と定義します。 ${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X):=\infty }$

また、任意の および任意の に対して、最大で( とは独立に) の直径の集合によるの被覆が存在し、のすべての閉球が からの最大で の部分集合で交差する場合、距離空間の族は を一様満たすとも言われます。 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq n}$ ${\displaystyle R\geq 1}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle D(R)<\infty }$${\displaystyle i}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$

• が有界直径の距離空間である場合、 となります。${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {R} )=\operatorname {asdim} (\mathbb {Z} )=1}$。
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {R} ^{n})=n}$。
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {H} ^{n})=n}$。

• が距離空間の部分空間である場合、 となります。${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)}$
• 任意の距離空間とに対してが成り立ちます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X\times Y)\leq \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)}$
• もしそうなら。${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {asdim} (A),\operatorname {asdim} (B)\}}$
• が粗い埋め込み（例えば、準等長埋め込み）である場合、 となります。${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)}$
• およびがほぼ同値な距離空間（例えば、準等長距離空間）である場合、 となります。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)=\operatorname {asdim} (Y)}$
• が本物の木であれば.${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq 1}$
• を測地距離空間から距離空間へのリプシッツ写像とする。任意のに対して集合族が不等式を一様に満たすと仮定する。次に^[3]を参照。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \{f^{-1}(B_{r}(y))\}_{y\in Y}}$${\displaystyle \operatorname {asdim} \leq n}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq \operatorname {asdim} (Y)+n.}$
• が距離空間である場合、ヒルベルト空間への粗い（一様）埋め込みが許容される。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)<\infty }$${\displaystyle X}$
• が有界幾何学の距離空間である場合、局所有限単体木の積への粗い埋め込みが許容される。 ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)\leq n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n+1}$

漸近次元は、Guoliang Yuの 1998 年の論文 ^{[2]以降、幾何}群論で特に注目を集めました 。この論文では、 が有限ホモトピー型（つまり、有限 CW 複体のホモトピー型の分類空間を持つ）の有限生成群で、 である場合にNovikov 予想を満たすことが証明されました。その後示されたように、^[6]有限漸近次元を持つ有限生成群は位相的に従順であり、つまり、 ^[7]で導入されたGuoliang Yuの性質 Aを満たし、群の簡約 C* 代数の正確さと同等です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$${\displaystyle G}$

• が語双曲群であれば となる。^[8]${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$
• が有限漸近次元を持つ部分群に関して相対的に双曲的である場合、となる。^[9]${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {asdim} (\mathbb {Z} ^{n})=n}$。
• が有限生成である場合、 となります。${\displaystyle H\leq G}$${\displaystyle H,G}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (H)\leq \operatorname {asdim} (G)}$
• トムソン群 Fについては、が任意の大きさの に対してと同型な部分群を含むことがわかります。${\displaystyle asdim(F)=\infty }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle n}$
• が基礎グラフと有限生成頂点群を持つ群の有限グラフの基本群である場合、 ^[10]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)\leq 1+\max _{v\in VY}\operatorname {asdim} (A_{v}).}$$

• 有向有限型曲面の写像類群は有限漸近次元を持つ。^[11]
• を連結リー群とし、を有限生成離散部分群とする。このとき。^[12]${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \leq G}$${\displaystyle asdim(\Gamma )<\infty }$
• が有限漸近次元を持つかどうかは知られていない。^[13]${\displaystyle Out(F_{n})}$${\displaystyle n>2}$