式（数学）

初等代数では、式中の変数は、値が変化する可能性のある数を表す文字です。変数を含む式を評価するとは、変数に与えられた数を代入したときの式の値を求めることです。式は、式に含まれる演算をその結果に置き換えたり、同類項をまとめたりすることで簡略化できます。式の評価は、最終的に単一の数になるまで簡略化の手順を繰り返すことによって行われます。 ^{[ 6 ]}

例えば、次の式を見てみましょう。$4x²+8$; x = 3の場合、以下の手順で評価できます。

${\textstyle 4\cdot 3^{2}+8}$（xを3に置き換えてください）

${\displaystyle 4\cdot 9+8}$（平方を計算する）

${\displaystyle 36+8}$（乗算を計算する）

${\displaystyle 44}$（加算を評価する）

項とは、定数、または定数と1つ以上の変数の積のことです。例としては、${\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}$積の定数項は係数と呼ばれます。定数項、または同じ変数が同じべき乗で累乗されている項は同類項と呼ばれます。式に同類項がある場合、同類項をまとめることで式を簡略化できます。係数を足し合わせ、同じ変数はそのまま残します。

${\displaystyle 4x+7x+2x=13x}$

任意の変数は、自由変数または束縛変数のいずれかに分類できます。自由変数の値の特定の組み合わせに対して、式を評価できますが、自由変数の値の組み合わせによっては、式の値が未定義になる場合があります。したがって、式は定数と自由変数に対する演算を表し、その出力は式の結果値です。^{[ 7 ]}

非形式化言語、つまり数理論理学以外のほとんどの数学テキストでは、個々の式について、どの変数が自由変数でどの変数が束縛変数であるかを常に識別できるとは限りません。たとえば、${\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}$文脈によっては、変数${\textstyle i}$無料であり、${\textstyle k}$束縛されているか、あるいはその逆かは別として、両方とも自由であることはできない。どちらの値が自由であると想定されるかは、文脈と意味論によって決まる。^{[ 8 ]}

式は、変数を関数の引数または入力とみなし、結果として得られる式の評価を出力として割り当てることによって、関数を定義したり、関数の合成を表したりするためによく使用されます。 ^{[ 9 ]}例えば、${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$そして${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$各数値にその2乗＋1を 対応付ける関数を定義します。変数を含まない式は定数関数を定義します。このように、自由変数の値のあらゆる組み合わせに対して、2つの式が同じ出力、つまり同じ関数を表す場合、それらは同等であると言われます。^{[ 10 ] [ 11 ]} 2つの式間の同等性は恒等式と呼ばれ、で表されることもあります。${\displaystyle \equiv .}$

例えば、次の表現では${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$変数nは束縛され、変数xは自由です。この式は、より単純な式12 xと同等です。つまり、$$\sum_{n=1}^3(2nx)\equiv 12x.$$x = 3の値は36 であり、これは次のように表すことができます。$$\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

数式の構文は、やや非公式に次のように説明できます。許容される演算子は、正しい場所に正しい数の入力を持つ必要があり（通常は中置記法で記述されます）、これらの入力を構成する部分式はそれ自体が整形式でなければならず、明確な演算順序を持つ必要があります。構文規則に準拠する記号列は整形式と呼ばれ、整形式でない記号列は不整形式と呼ばれ、数式を構成しません。^{[ 12 ]}

例えば、算術では、式1 + 2 × 3は整形式ですが、

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$。

そうではない。

しかし、形式が整っているだけでは、明確に定義されているとはみなされません。例えば算術では、式$\textstyle {\frac {1}{0}}}$は形式は正しいが、定義は正しくない（ゼロ除算を参照）。このような式は未定義と呼ばれる。

意味論とは意味の研究である。形式意味論は、式に意味を付与することに関する学問である。一意の値または意味を定義する式は、明確に定義されていると言われる。そうでない場合、その式は不明確に定義されている、または曖昧であると言われる。^{[ 13 ]}一般に、式の意味は値を指定することだけに限定されない。例えば、式は条件や解くべき方程式を指定することもあれば、特定の規則に従って操作できる独立したオブジェクトとして見なすこともできる。値を指定する式の中には、同時に成り立つと想定される条件を表すものもある。例えば、演算子を含む式などである。${\displaystyle \oplus }$内部直接合計を指定する。

代数学では、式は値を指定するために使用できますが、その値は式に含まれる変数に割り当てられた値に依存する場合があります。この値の決定は、式の記号に付随する意味に依存します。意味の選択は、式の文脈に依存します。同じ構文の式1 + 2 × 3 は、文脈によって示される演算の順序に応じて、異なる値（数学的には 7 ですが、9 にもなります）を持つ可能性があります（演算 § 計算機も参照）。

実数の場合、積${\displaystyle a\times b\times c}$曖昧さがないのは${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$;したがって、この表記法は明確に定義されていると言われます。^{[ 13 ]}この性質は乗法の結合法則とも呼ばれ、結果が乗算の順序に依存しないことを保証します。したがって、順序の指定は省略できます。減算演算は非結合的です。それにもかかわらず、次のような慣習があります。${\displaystyle abc}$は略語です${\displaystyle (ab)-c}$したがって、「明確に定義されている」と考えられています。一方、除法は非結合的であり、${\displaystyle a/b/c}$括弧の規則は確立されていないため、この表現はしばしば定義が曖昧であると見なされます。

関数とは異なり、表記の曖昧さは追加の定義（例えば、演算子の優先順位、結合規則）によって克服できます。たとえば、プログラミング言語C-では、減算演算子は左から右に結合しており、 は とa-b-c定義され、代入(a-b)-c演算子は右から左に結合しており、 はと定義されます。^{[ 14 ]}プログラミング言語APLには、右から左に、ただし括弧が先という規則が 1 つだけあります。=a=b=ca=(b=c)

計算とは、 「明確に定義された」算術または非算術のあらゆる種類の計算のことである。 ^{[ 19 ]}数学的命題は「明確に定義された」ものであるべきだという考えは、少なくとも1600年代から数学者によって議論されてきたが、^{[ 20 ]}適切な定義についての合意は得られなかった。^{[ 21 ]} 1930年代には、複数の数学者によって独立して候補となる定義が提案された。^{[ 22 ]}最もよく知られている定義は、数学者のアラン・チューリングによって形式化され、チューリングマシンの初期化パラメータで表現できる命題または計算を、明確に定義された命題または計算と定義した。^{[ 23 ]}チューリングの定義は、「明確に定義された」という性質を、すべての整形式代数命題や、現代のコンピュータプログラミング言語で書かれたすべての命題を含む、非常に大きなクラスの数学的命題に割り当てた。^{[ 24 ]}

この定義は広く受け入れられているものの、この定義の下では明確に定義されていない数学的概念もいくつか存在する。これには停止問題やビジービーバーゲームが含まれる。計算可能なステートメントと「計算不可能な」ステートメントの両方を捉えることができる、より強力な「明確に定義されている」定義が存在するかどうかは未解決の問題である。^{[ a ] [ 25 ]} C++、Python、Javaを含む現代のプログラミング言語で特徴付けられるすべてのステートメントは明確に定義されている。^{[ 24 ]}

計算の一般的な例としては、基本的な算術演算やコンピュータアルゴリズムの実行が挙げられます。計算とは、1つ以上の入力を1つ以上の出力または結果に変換する、意図的な数学的プロセスです。例えば、 7に6を掛けるのは単純なアルゴリズム計算です。数学モデルを用いて数の平方根や立方根を求めるのは、より複雑なアルゴリズム計算です。

多項式は、加算、減算、乗算、非負の整数乗によるべき乗演算のみを含む変数と係数から構成され、項の数は有限です。多項式の評価問題は、実際には頻繁に発生します。計算幾何学では、テイラー多項式を使用して関数の近似を計算するために多項式が使用されます。暗号化とハッシュテーブルでは、 k独立ハッシュを計算するために多項式が使用されます。

前者の場合、多項式は浮動小数点演算を用いて評価されますが、これは厳密ではありません。したがって、評価方法が異なると、一般的にわずかに異なる結果が得られます。後者の場合、多項式は通常有限体で評価されるため、結果は常に正確です。

単変数多項式を評価するには${\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}$最も単純な方法は${\displaystyle n}$計算する乗算${\displaystyle a_{n}x^{n}}$、 使用${\textstyle n-1}$計算する乗算${\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}$などなど合計${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$乗算と${\displaystyle n}$追加。ホーナーの法則などのより良い方法を使用すると、これを次のように簡略化できます。${\displaystyle n}$乗算と${\displaystyle n}$追加事項。前処理が許可されている場合は、さらに節約できる可能性があります。

代数式とは、代数定数、変数、および代数演算（加算、減算、乗算、除算、有理数によるべき乗）から構成される式のことです。^{[ 28 ]}例えば、3x2 − 2xy + cは代数式です。平方根を取ることは 1/2^乗することと同じなので、次の式も代数式です。

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

関連項目：代数方程式と代数閉包

多項式は、スカラー（ある体の要素の数）、変数、および非負の整数乗への加算、乗算、べき乗の演算子を用いて構成される式です。例えば、${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

結合法則、交換法則、分配法則を用いると、すべての多項式は多項式と等価であり、それは不定元を整数乗した積の線形結合で表される式です。例えば、上記の多項式は等価です（同じ多項式をと表記します）。${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

多くの著者は、多項式と多項式表現を区別していません。この場合、多項式表現を線形結合として表したものを、その多項式の標準形、正規形、または展開形と呼びます。

形式式は、標準式と同じ生成規則によって生成される一種の記号列ですが、式の意味に関係なく使用されます。このように、2 つの形式式は、構文的に等しい場合、つまりまったく同じ式である場合にのみ等しいとみなされます。^{[ 29 ] [ 30 ]}例えば、形式式「2」と「1+1」は等しくありません。

形式言語を用いることで、整形式表現の概念を形式化することができる。

1930年代に、関数とその評価を形式化するために、アロンゾ・チャーチとスティーブン・クリーネによってラムダ式という新しいタイプの式が導入されました。 ^{[ 31 ] [ b ]}ラムダ演算子（ラムダ抽象化と関数適用）は、数理論理学やプログラミング言語理論で使用される形式体系であるラムダ計算の基礎を形成します。

2 つのラムダ式の等価性は決定不能です(ただし、統一 (コンピュータ科学)を参照)。これは、算術演算、対数、指数を使用して整数から構築される実数を表す式についても同様です (リチャードソンの定理)。

RBINSにあるイシャンゴの骨。2の平方根を近似したバビロニアの粘土板。モスクワ数学パピルスの問題14 。

最も初期の書かれた数学は、木や石に刻まれた、各マークが1単位を表すタリーマークから始まったと考えられています。初期の計数の例としては、ナイル川の近くで発見され、 2万年以上前のものとされるイシャンゴ骨があり、これは6か月の太陰暦を示していると考えられています。^{[ 32 ]}古代エジプトは、象形文字を使用して象徴体系を発達させ、10のべき乗に記号を割り当て、足の動きに似た加算と減算の記号を使用しました。^{[ 33 ] [ 34 ]}リンド数学パピルス（紀元前2000～1800年頃）などの文書に記録されたこの体系は、他の地中海文化に影響を与えました。メソポタミアでは、同様の体系が発展し、紀元前3000年頃にシュメール人が始めた楔形文字で書かれた粘土板に、 60進法（六十進法）の形式で数字が書かれました。この60進法は、今日でも時間や角度の測定に用いられている。

数学の「シンコペーション」段階では、よく使われる演算や量に記号的な略語が導入され、純粋な幾何学的推論からの転換が示されました。古代ギリシャの数学は、主に幾何学的な性質を持ち、エジプトの数字体系（特にアッティカ数字）^{[ 35 ]}に依拠しており、代数記号にはほとんど関心がありませんでした。しかし、アレクサンドリアのディオファントス[ ^{36 ]が登場すると状況は一変します}。彼は『算術』の中でシンコペーション代数の形式を開拓し、式の記号的操作を導入しました^{[ 37 ]} 。彼の記法は未知数とべき乗を記号的に表していましたが、等号や不等号などの関係や指数を表す現代の記号はありませんでした^{[ 38 ]}。未知数は${\displaystyle \zeta }$[ ^{39 ]の}二乗${\displaystyle \zeta }$だった${\displaystyle \Delta ^{v}}$; 立方体は${\displaystyle K^{v}}$4乗は${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$5 乗は${\displaystyle \Delta K^{v}}$; そして${\displaystyle \pitchfork }$ meant to subtract everything on the right from the left.^[40] So for example, what would be written in modern notation as: $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$ Would be written in Diophantus's syncopated notation as:

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

In the 7th century, Brahmagupta used different colours to represent the unknowns in algebraic equations in the Brāhmasphuṭasiddhānta. Greek and other ancient mathematical advances, were often trapped in cycles of bursts of creativity, followed by long periods of stagnation, but this began to change as knowledge spread in the early modern period.

The transition to fully symbolic algebra began with Ibn al-Banna' al-Marrakushi (1256–1321) and Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī, (1412–1482) who introduced symbols for operations using Arabic characters.^[41][42][43] The plus sign (+) appeared around 1351 with Nicole Oresme,^[44] likely derived from the Latin et (meaning "and"), while the minus sign (−) was first used in 1489 by Johannes Widmann.^[45]Luca Pacioli included these symbols in his works, though much was based on earlier contributions by Piero della Francesca. The radical symbol (√) for square root was introduced by Christoph Rudolff in the 1500s, and parentheses for precedence by Niccolò Tartaglia in 1556. François Viète’s New Algebra (1591) formalized modern symbolic manipulation. The multiplication sign (×) was first used by William Oughtred and the division sign (÷) by Johann Rahn.

ルネ・デカルトは『幾何学』 （1637年）で代数記号をさらに発展させ、変数にアルファベットの末尾の文字（x、y、z）を使用する方法と、代数と幾何学を結びつけるデカルト座標系を導入した。^{[ 46 ]}アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは17世紀後半にそれぞれ独立して微積分を開発し、ライプニッツの記法が標準となった。