テイラーシリーズ

任意のべき級数 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},}$$ 数があります${\displaystyle R}$収束半径と呼ばれる値で、級数が絶対収束する条件を満たす。${\displaystyle |x-a|<R}$そして分岐する${\displaystyle |x-a|>R}$^{[ 27 ] [ 28 ]}半径はゼロ、有限かつ正の値、または無限大となる。半径はコーシー・アダマールの公式で与えられる 。$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n},}$$ 通常の慣例に従って${\displaystyle R=0}$そして${\displaystyle R=\infty }$極限が存在する場合、比率テストはしばしば $${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$$

したがって、テイラー級数が収束する場合、それは次の点を中心とする開区間で収束する。${\displaystyle a}$実際のケースでは、または、中心が開いたディスクでは${\displaystyle a}$複雑なケースでは、境界点での挙動は変化する可能性があり、級数は一部の境界点、すべての境界点、またはどの境界点でも収束する可能性があります。^{[ 29 ]}

複素解析関数の場合、テイラー級数の収束半径は${\displaystyle a}$からの距離は${\displaystyle a}$関数が正則的に継続できない最も近い点までの距離。多くの一般的な例では、これは複素平面上の最も近い特異点までの距離である。 ^{[ 30 ]}

これは、よく知られているテイラー級数の収束半径が異なる理由を説明しています。${\displaystyle e^{x}}$、${\displaystyle \sin x}$、 そして${\displaystyle \cos x}$これらの関数は整関数であるため、収束半径は無限大です。対照的に、テイラー級数は${\displaystyle \log(1+x)}$で${\displaystyle x=0}$収束半径を持つ${\displaystyle 1}$最も近い特異点は${\displaystyle x=-1}$[ ^{31 ]​}

複素特異点は、実数直線上で滑らかな関数であっても、収束半径を決定する可能性があります。例えば、 $${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ すべての実際の${\displaystyle x}$しかし、テイラーシリーズでは${\displaystyle 0}$収束半径を持つ${\displaystyle 1}$なぜなら、対応する複素関数は${\displaystyle x=i}$そして${\displaystyle x=-i}$[ ^{30 ]​}

収束半径は、低次テイラー多項式による近似の精度と混同してはならない。テイラー多項式は、完全なテイラー級数の収束半径が小さくても、中心付近では関数を正確に近似できる。逆に、収束区間または収束円盤の境界付近では、テイラー級数はゆっくりと収束する可能性がある。収束半径の外側では、テイラー級数は関数を表していない。^{[ 27 ] [ 32 ]}

テイラー級数は、関数が解析的でない点を中心とすることはできません。いくつかの特異点、すなわち極は、ローラン級数で説明できます。${\displaystyle f}$秩序の極を持つ${\displaystyle k}$で${\displaystyle z=a}$その時近く${\displaystyle a}$ローランシリーズは、 $${\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.}$$ 有理型関数とは、孤立した極を除いて解析的な関数であり、各極の近傍では、有限個の負のべき乗項のみを持つローラン級数を持つ関数である。^{[ 33 ]}

より一般的には、環状領域で解析的な関数$${\displaystyle r<|z-a|<R}$$ 収束するローラン級数は次の形式である $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}$$ その環状領域において。^{[ 34 ]}

代数関数には、他の種類の特異点、すなわち分岐点が発生する可能性がある。${\displaystyle f(z)}$は複素変数の代数関数である${\displaystyle z}$そして${\displaystyle z=a}$分岐点である場合、${\displaystyle f(z)}$テイラー級数は必要ない${\displaystyle z=a}$しかし、変数の変更後 $${\displaystyle z-a=t^{e},}$$ どこ${\displaystyle e}$は分岐指数と呼ばれる正の整数であり、関数の分岐は の関数として解析的になる。${\displaystyle t}$結果として生じる分数べき乗の展開は${\displaystyle z-a}$ピュイズーシリーズとして知られている。^{[ 35 ]}

複数の変数を持つスカラー値関数の2次テイラー級数展開は、次のように簡潔に記述できます。 $${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$ ここで、D f ( a )はx = aで評価されたfの勾配であり、D ² f ( a )はヘッセ行列です。

関数の 点( a , b ) = (0, 0)の周りでの 2 次テイラー級数展開を計算するために$${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$$ まず、必要な偏微分をすべて計算します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}},\\f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}},\\f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$$

これらの導関数を原点で評価すると、テイラー係数が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0,&f_{y}(0,0)&=1,\\f_{xx}(0,0)&=0,&f_{yy}(0,0)&=-1,\\f_{xy}(0,0)&=1.\end{aligned}}}$$

これらの値を一般式に代入すると $${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&\qquad {}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$$ 生産する $${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

ln(1 + y )は| y | < 1で解析的である ため、$${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$$

指数関数e ^x (底はe ) はマクローリン級数^{[ 49 ]を持つ。}$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$これはすべてのx に対して収束する。

ベル数の指数生成関数は、指数関数の前身となる関数の指数関数である。 $${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

自然対数（底がe）はマクローリン級数を持つ^{[ 50 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

最後の級数は、ニコラウス・メルカトルが1668年に著した論文『Logarithmotechnia』に掲載されたことから、メルカトル級数として知られています。^{[ 51 ]}これらの級数はどちらも| x | < 1で収束します。さらに、ln(1 − x )の級数はx = −1で収束し、ln(1 + x )の級数はx = 1で収束します。^{[ 50 ]}

幾何級数とその導関数はマクローリン級数を 持つ$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

すべて| x | < 1の場合に収束します。これらは次節で説明する二項級数の特殊な場合です。

二項級数は冪級数である

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

その係数は一般化二項係数である^{[ 52 ]}

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

( n = 0の場合、この積は空積であり、値は1です。)任意の実数または複素数αに対して、 | x | < 1で収束します。

α = −1の場合、これは基本的に前のセクションで述べた無限等比級数です。α = 1/2とα = −1/2の特殊なケース^では、平方根関数とその逆関数が得られます。^{[ 53} ]$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

線形項のみを残すと、これは二項近似に単純化されます。

通常の三角関数とその逆関数は、次のマクローリン級数を持つ。^{[ 54 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

すべての角度はラジアンで表されます。tan xの展開に現れる数B k_はベルヌーイ数です。sec xの展開におけるE _kはオイラー数です。^{[ 55 ]}

双曲線関数は、対応する三角関数の級数と密接に関連したマクローリン級数を持つ。^{[ 56 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

tanh xの級数に現れる数B _kはベルヌーイ数である。^{[ 56 ]}