グループ化のシンボル

数学や関連分野 において、数式を理解するには、括弧（）、角括弧[]、中括弧{}などのグループ化の記号^[1]を理解する必要があります（以下の用語に関する注記を参照）。これらの記号は、グループ化の記号ではない方法でも使用されます。たとえば、式3（x + y）では括弧はグループ化の記号ですが、式（3、5）では括弧は開区間を示している可能性があります。

グループ化の最も一般的な記号は括弧と角括弧で、後者は通常、括弧の繰り返しを避けるために使用されます。たとえば、二項式の積を示すには、括弧が通常使用されます。つまり、 です。ただし、二項式の 1 つ自体に括弧が含まれている場合() の 1 組以上を [] に置き換えることができます。つまり、 です。初等数学以外では、[] は主に他の目的 (たとえば、閉区間や同値類 を示すなど) に使用されるため、グループ化にはほとんど使用されません。 ${\displaystyle (2x+3)(3x+4)}$${\displaystyle (2(a+b)+3)}$${\displaystyle [(2(a+b)+3][3x+4]}$

「括弧」という言葉の使い方は国によって異なります。米国では、この用語は [] を意味し、他の国では「角括弧」として知られています。英国および他の多くの英語圏の国では、「括弧」は () を意味し、米国では「括弧」(単数形は「parenthesis」) として知られています。とはいえ、「括弧」と「角括弧」という特定の用語は一般的にどこでも理解されており、曖昧さを避けるために使用できます。

「中括弧」として知られるグループ化の記号には、2 つの主な用途があります。これらの記号を 2 つ使用する場合 (1 つは左側、もう 1 つはその鏡像)、ほとんどの場合、 、、の3 つの要素を含む集合を示します。ただし、左側のみで使用する場合は、2 つ以上の同時方程式をグループ化します。 ${\displaystyle \{a,b,c\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

グループ化の記号は他にもあります。1つは式の上のバーで、平方根記号のようにバーはグループ化の記号です。たとえば、√p + qは合計の平方根です。バーは、循環小数点のグループ化の記号でもあります。小数点の後に1つ以上の数字が続き、その上にバーが付きます。たとえば、0.123は、循環小数0.123123123...を表します。^[2]

上付き文字は、上付き文字の形式で継続する限りグループ化されていると理解されます。たとえば、x にa + b形式の上付き文字がある場合、その合計が指数になります。たとえば、x ^{2 + 3}の場合、2+3 がグループ化されており、指数は 2 と 3 の合計であると理解されます。

これらの規則はすべての数学者に理解されています。

ほとんどの数学では、加算と乗算の演算は結合的です。

たとえば、加算の結合法則は、 と述べます。これは、結合法則が述べられると括弧は不要になり、通常は省略されることを意味します。より一般的には、任意の数の項の任意の和 は括弧なしで記述でき、任意の数の因数の任意の積 は括弧なしで記述できます。 ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

「演算の階層」は「演算の順序」とも呼ばれ、グループ化の記号を過度に使用せずに済む規則です。最も単純な形式では、数値の片側にプラス記号があり、もう片側に乗算記号がある場合、乗算が最初に実行されます。この概念をグループ化の記号、つまり積の因数を使用して表現すると、次のようになります。例: 2+3×4 = 2 +(3×4)=2+12=14。

グループ化の記号のない式を理解するには、減算を反対数の加算として考え、除算を逆数による乗算として考えると便利です。