無限の表現

数学において、無限式とは、いくつかの演算子が無限個の引数を取る式、または演算子のネストが無限の深さまで続く式である。^{[1]無限式の一般的な概念は、（}すべての集合の集合 のように）不明確に定義されたり、自己矛盾した構成につながる可能性があるが、明確に定義された無限式の例はいくつかある。

明確に定義された無限表現の例としては^{[2]がある。}

• 無限和、例えば

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \,}$

• 無限積、例えば

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }b_{n}=b_{0}\times b_{1}\times b_{2}\times \cdots }$

• 無限にネストされた根号、例えば

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

• 無限電力塔[ ^3]など

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

• 無限連分数、例えば

${\displaystyle c_{0}+{\underset {n=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{c_{n}}}=c_{0}+{\cfrac {1}{c_{1}+{\cfrac {1}{c_{2}+{\cfrac {1}{c_{3}+{\cfrac {1}{c_{4}+\ddots }}}}}}}},}$

ここで左辺はガウスのケッテンブルッフ記法を使用している。^[4]

無限論理では、無限連言と無限選言を使用できます。

明確に定義された無限式の場合でも、無限式の値はあいまいであったり、明確に定義されていない場合があります。たとえば、数列に値を割り当てるために使用できる合計規則は複数あり、数列が絶対収束しない場合は、同じ数列が異なる合計規則に従って異なる値を持つことがあります。

• 反復二項演算
• 無限の言葉
• 小数展開
• べき乗シリーズ
• 解析関数の無限合成
• オメガ言語