ガンマ関数

ガンマ
実軸の一部に沿ったガンマ関数
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$
応用分野	微積分、数学的解析、統計学、物理学

数学において、ガンマ関数（Γ、ギリシャ文字の大文字ガンマで表される）は、階乗関数の複素数への最も一般的な拡張です。ダニエル・ベルヌーイによって導出されたガンマ関数は、非正の整数を除くすべての複素数に対して定義され、すべての正の整数に対して定義されます。ガンマ関数は、実部が正の複素数の 収束する仮積分によって定義できます。${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=n}$$${\displaystyle \ガンマ (n)=(n-1)!\,.}$$

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$ガンマ関数は、この積分関数の解析接続として複素平面上で定義されます。これは、ゼロと負の整数を除いて正則な有理型関数であり、ゼロと負の整数では単純な極を持ちます。

ガンマ関数にはゼロがないので、逆ガンマ関数 は1/Γ( z ) は⁠ は完全な関数です。実際、ガンマ関数は負の指数関数のメリン変換に対応します。

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

階乗関数の他の拡張も存在しますが、ガンマ関数が最も一般的で便利です。これは、確率、統計、解析的数論、組合せ論の分野におけるさまざまな確率分布関数やその他の式の因子として使用されます。

ガンマ関数は、階乗列の点を結ぶ滑らかな曲線を見つける補間問題の解として考えることができます。のすべての正の整数値に対して。階乗の簡単な式x ! = 1 × 2 × ⋯ × xは、 x が正の整数の場合にのみ有効であり、この特性を持つ基本関数はありませんが、ガンマ関数は優れた解です。^[1] ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$

ガンマ関数は滑らかであるだけでなく解析的（非正の整数を除く）であり、いくつかの明示的な方法で定義できます。ただし、これは階乗を拡張する唯一の解析関数ではありません。整数 など、正の整数に対してゼロになる任意の解析関数を追加できます。^[1]このような関数は擬似ガンマ関数と呼ばれ、最も有名なのはアダマール関数です。^[2]${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$${\displaystyle m}$

より厳しい要件は、シフトされた階乗を補間する関数方程式である ：^{[3] [4]}${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ 任意のx>0に対して\qquad f(1)=1.}$$

しかし、および を含む任意の周期関数（など） による乗算が可能であるため、これはまだ一意の解を与えません。 ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$${\displaystyle g(0)=1}$${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$

この曖昧さを解決する一つの方法はボーア・モレルプ定理であり、これは階乗の唯一の補間関数であり、正の実数上で定義され、対数的に凸であることを示しています^[5]、つまり凸です。^[6]${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$${\displaystyle y=\log f(x)}$

この表記はルジャンドルによるものです。^[1]複素数 zの実部が厳密に正 ( ) の場合、積分は絶対収束し、第二種オイラー積分として知られています。 (第一種オイラー積分はベータ関数です。^[1] )部分積分を使用すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Re (z)>0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

それを認識して${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$${\displaystyle t\to \infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

次のように計算できます。 ${\displaystyle \Gamma (1)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

したがって、任意の正の整数nに対して、帰納法によって が成り立つことが示せます。具体的には、基本ケースは であり、帰納法のステップは です。${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$${\displaystyle \ガンマ (1)=1=0!}$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!.}$

この恒等式を使うと（あるいは同じ結果になる解析接続を使うと） 、 0以下の整数を除くすべての複素数zに対して定義される有理型関数への積分定式化を一意に拡張することができる。 ^[1] この拡張版は一般にガンマ関数と呼ばれている。^[1]${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$${\displaystyle \Gamma (z)}$

同等の定義は多数あります。

固定された整数に対して、整数が増加すると、^[7]${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

が整数でない場合、この式は意味がありません。このセクションでは非整数の階乗がまだ定義されていないためです。ただし、非整数のガンマ関数を定義するために、 を任意の複素数 に置き換えてもこの式が成立すると仮定します。${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$ 両辺に を掛けると が得られ ます。この無限積 はオイラー^[8]によるもので、非正の整数を除くすべての複素数に対して収束します。非正の整数はゼロ除算のため収束しません。したがって、上記の仮定により の一意の定義が得られます。 ${\displaystyle (z-1)!}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdot 2\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle z!}$

直感的には、この式は、 が、ある大きな整数 について計算し、 を乗じてを近似し、関係を逆に回使用して の近似値を得た結果に近似していること、さらに、 が無限大に増加するにつれてこの近似値が正確になることを示唆しています。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)^{z}}$${\displaystyle \ガンマ (n+z+1)}$${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle n}$

逆数の無限積は 完全な関数 であり、すべての複素数zに対して収束します。 $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$

ワイエルシュトラスによるガンマ関数の定義は、非正整数を除く すべての複素数に対しても有効です 。 ここで はオイラー・マスケロニ定数です。^[1]これはのアダマール積を書き直したものです。この定義は、円周率を含む重要な恒等式に登場します。^[要出典]${\displaystyle z}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$

上で述べた基本的な性質の他に、 ガンマ関数の他の重要な関数方程式は、オイラーの反射公式 と ルジャンドル の複製公式である。$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$ $${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

複製公式は乗法定理の特殊なケースである（ ^[9]式5.5.6を 参照 ）。$${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

限界の定義からわかる、単純だが便利な特性は次のとおりです。 $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

特に、z = a + biの場合、この積は $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

実部が整数または半整数の場合、これは閉じた形式で有限に表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

おそらく、非整数引数におけるガンマ関数の最もよく知られた値は です。 これは、反射または複製の公式で を設定するか、以下に示すベータ関数との関係を で使用するか、ガンマ関数の積分定義で を代入してガウス積分 を得ることによって見つけることができます。一般に、 の非負の整数値に対して、次の式が成り立ちます。 ここで、二重階乗です。計算値については、 「ガンマ関数の特定の値」を参照してください。 $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$${\textstyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle u={\sqrt {z}}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

が有理数である他の個々の値に対する式を探すことによって、という結果を一般化することは魅力的かもしれない。特に、ガウスのディガンマ定理によれば、すべての有理数で密接に関連するディガンマ関数に対してそうすることが可能だからである。しかし、これらの数は、基本関数でそれ自体で表現できることは知られていない。は超越数であり、任意の整数および各分数に対して から代数的に独立であることが証明されている。^[10]一般に、ガンマ関数の値を計算するときは、数値近似で妥協しなければならない。 ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle \Gamma (r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Gamma (r)}$${\displaystyle \Gamma (n+r)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

ガンマ関数の導関数は、 ポリガンマ関数ψ ⁽⁰⁾ ( z )で表されます。 正の整数 mに対して、ガンマ関数の導関数は次のように計算できます。 $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ ここでH(m)はm次の高調波数、γはオイラー・マスケロニ定数です。

ガンマ関数の 番目の導関数は、次のようになります。 (これ は、ガンマ関数の積分形式を について微分し、積分記号 の下での微分法を使用することで導出できます。) ${\displaystyle \Re (z)>0}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$${\displaystyle z}$

はリーマンゼータ関数、は-次のベル多項式である恒等式を用いると 、ガンマ関数のローラン級数展開が得られる^[11]。$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\zeta (n))}$$${\displaystyle \zeta (z)}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

正の実数に制限される場合、ガンマ関数は厳密に対数的に凸な関数です。この特性は、次の 3 つの同等な方法のいずれかで表すことができます。

• 任意の2つの正の実数と、および任意の に対して、${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$$${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• 任意の2つの正の実数とに対して、>${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• 任意の正の実数に対して、${\displaystyle x}$$${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

これらのステートメントの最後のものは、本質的には、 というステートメントと同じです。ここで、は 1 次ポリガンマ関数です。したがって、ガンマ関数の対数凸性を証明するには、 が、正の実数xに対して、正の項のみで構成される 級数表現を持つことを観察するだけで十分です。${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$${\displaystyle \psi ^{(1)}}$${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

対数凸性とジェンセンの不等式を合わせると、任意の正の実数とに対して、 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$$${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

ガンマ関数の比にも上限がある。最もよく知られているのはガウチの不等式で、任意の正の実数xと任意のs∈ (0, 1)に対して、 $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

増加する正の実変数に対するの挙動はスターリングの公式で与えられ、 ここで記号は漸近収束を意味します。つまり、両辺の比は極限 で 1 に収束します。^{[1] の}任意の固定値に対して、 この増加は指数関数的な増加よりも速くなります。 ${\displaystyle \Gamma (x)}$ $${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$${\displaystyle \sim }$${\textstyle x\to +\infty }$${\displaystyle \exp(\beta x)}$${\displaystyle \beta }$

漸近近似のもう一つの有用な限界は次の通りです。 ${\displaystyle x\to +\infty }$$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

誤差項を無限積として表す場合、スターリングの公式を使用してガンマ関数を定義することができる：^[12] $${\displaystyle \Gamma \left(x\right)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }e^{-1}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{{\frac {1}{2}}+x+n}}$$

ガンマ関数の主な定義である第二種オイラー積分は（実軸上で）正の引数に対してのみ有効であるが、負の引数を正の値にシフトすることにより、オイラーの反射公式 または基本的性質 のいずれかを使用して、 解析接続^[13]によって負の引数にその定義域を拡張することが できる。たとえば、 $${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$$${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {1}{-x}}\Gamma (-x+1),}$$${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)=-2\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right).}$$

非正の場合には、より複雑になります。オイラー積分は に対して収束しませんが、正の複素半平面で定義される関数は、負の半平面への一意の解析接続を持ちます。解析接続を見つける 1 つの方法は、正の引数に対してオイラー積分を使用し、漸化式^[1]を繰り返し適用してドメインを負の数に拡張することです。このとき、が正になるように 選択します。 が整数 のいずれかに等しい場合、分母の積はゼロになります。したがって、ゼロ除算を回避するには、ガンマ関数をそれらの点で未定義にする必要があります。これは、非正の整数で単純な極を持つ有理型関数です。 ^[1]${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle z+n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

複素変数の関数の場合、単極におけるの留数は次のように与えられます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

単極 の場合、漸化式は次のように書き直すことができます。 における分子はで 、分母は です。したがって、これらの点におけるガンマ関数の留数は、次のようになります。^[14]ガンマ関数は実数線上のどこでもゼロではありませんが、z → −∞のときにゼロに任意に近づきます。 となる複素数は実際には存在しないため、逆ガンマ関数はでゼロとなる整関数です。^[1]${\displaystyle z=-n}$$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$${\displaystyle z=-n,}$$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

実数直線上では、ガンマ関数はz _min ≈ +1.46163 21449 68362 34126 ^[15]で極小値を持ち、Γ( z _min ) ≈ +0.88560 31944 10888 70027 の値に達します。^{[16]ガンマ関数はこの最小値のどちら側でも上昇します。} Γ( z − 0.5) = Γ( z + 0.5)の解はz = +1.5であり、共通の値はΓ(1) = Γ(2) = +1です。 Γ( z − 1) = Γ( z + 1)の正の解はz = φ ≈ +1.618、黄金比であり、共通の値はΓ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φです。 ≈ +1.44922 96022 69896 60037。^[17]

ガンマ関数は、非正の整数における極の符号が交互に変わる必要がある。これは、との間の極の数が奇数の場合は順方向回帰の積に奇数の負の因子が含まれ、極の数が偶数の場合は偶数が含まれるためである。^[14] 非正の整数間の実軸に沿ったガンマ関数の局所的極値の値は次のようになる。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle z+n}$

Γ( −0.50408 30082 64455 40925... ^[18] ) = −3.54464 36111 55005 08912...、

Γ( −1.57349 84731 62390 45877... ^[19] ) = 2.30240 72583 39680 13582...、

Γ( −2.61072 08684 44144 65000... ^[20] ) = −0.88813 63584 01241 92009...、

Γ( −3.63529 33664 36901 09783... ^[21] ) = 0.24512 75398 34366 25043...、

Γ( −4.65323 77617 43142 44171... ^[22] ) = −0.05277 96395 87319 40076...など

ガンマ関数を積分として表す公式は、第二種オイラー積分の他にもたくさんある。例えば、zの実部が正のとき、^[23] と^[24]である。ここで、3つの積分は、それぞれ、オイラーの第二積分における、^[25]と^[26]の 代入から導かれる。特に最後の積分は、 半整数引数におけるガンマ関数とガウス積分との関係を明確にする。$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$${\displaystyle t=e^{-x}}$${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=cx^{2}}$${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$$${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

ビネのガンマ関数の第一積分公式は、zの実部が正のとき、次のようになると述べている。^[27] 右辺の積分はラプラス変換として解釈することができる。つまり、 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

ビネの第二積分公式によれば、 zの実部が正のとき、次の式が成り立つ。^[28] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

C をハンケル路、つまりリーマン球面上の点∞ で始まり点 ∞で終わる経路とし、その単位接線ベクトルは経路の始めで−1に収束し、終わりで1に収束し、 0の周りの巻数1を持ち、 [0, ∞)を横切らないものとする。 [0, ∞)に沿って分枝切断を取り、 t が負の実軸上にあるときに を実数として、の枝を固定する。zは整数でないと仮定する。すると、ガンマ関数のハンケルの公式は次のようになる: ^[29] ここで はと解釈される。反射公式から、 zが整数でない 場合は常に有効な、密接に関連した式が得られる 。${\displaystyle \log(-t)}$${\displaystyle \log(-t)}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$${\displaystyle (-t)^{z-1}}$${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

ガンマ関数は2つの連分数の和で表すこともできる：^{[30] [31]} ここで。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

ガンマ関数の対数には次のようなフーリエ級数展開があり 、これは長い間エルンスト・クンマーが1847年に導出したと考えられていた。 ^{[32] [33]しかし、イアロスラフ・ブラグーシンは、}カール・ヨハン・マルムステンが1842年に初めてこの級数を導出したことを発見した。^{[34] [35]}${\displaystyle 0<z<1:}$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$

1840 年にヨーゼフ・ルートヴィヒ・ラーベは 、特に、$${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$${\displaystyle a=0}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$$

後者は、上記の乗算公式の対数を取ることで導出でき、これは被積分関数のリーマン和の表現を与えます。 の極限を取ると、式が得られます。 ${\displaystyle a\to \infty }$

ガウスによって導入された別の表記法は、ガンマ関数のシフトバージョンである -関数 です。 つまり、すべての非負の整数 に対して となります。 ${\displaystyle \Pi }$$${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$${\displaystyle \Pi (n)=n!}$${\displaystyle n}$

π 関数を使用すると、反射式は次のようになります。 正規化されたsinc 関数を使用すると、乗法定理は次のようになります。 $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$$${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

シフトされた逆ガンマ関数は、 完全関数と呼ばれることもあります。 ${\textstyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$

半径r ₁ , …, r _nのn楕円体の体積は次のように表される。 $${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

• ガンマ関数を定義する最初の積分では、積分の限界は固定されています。上側の不完全ガンマ関数は、積分の下限を可変にすることで得られます。同様の下側の不完全ガンマ関数もあります。$${\displaystyle \Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$$
• ガンマ関数はオイラーのベータ関数と次の式で関係している。$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• ガンマ関数の対数微分はディガンマ関数と呼ばれ、高次の微分はポリガンマ関数と呼ばれます。
• 有限体または有限環上のガンマ関数の類似物は、指数和の一種であるガウス和です。
• 逆ガンマ関数は完全な関数であり、特定のトピックとして研究されてきました。
• ガンマ関数は、リーマンゼータ関数との重要な関係にも現れます。また、 の場合にのみ有効な次の式にも現れます。${\displaystyle \zeta (z)}$$${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$$${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$${\displaystyle \Re (z)>1}$
  ガンマ関数の対数は、レルヒによる次の式を満たします。ここで、はフルヴィッツのゼータ関数、はリーマンのゼータ関数、プライム ( ′ ) は最初の変数における微分を表します。$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$${\displaystyle \zeta _{H}}$${\displaystyle \zeta }$
• ガンマ関数は引き伸ばされた指数関数と関連している。例えば、その関数のモーメントは$${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

小数点以下20桁まで含めると、ガンマ関数の特定の値は次のようになる。 (これらの数値はOEIS に掲載されている。^{[36] [37] [38] [39] [40 ] [41]}ここで示す値は四捨五入ではなく切り捨てである。) 複素数値ガンマ関数は非正整数に対しては定義されていないが、これらの場合にはリーマン球面上で値を∞として定義できる。逆ガンマ関数はこれらの値(および複素平面全体) で明確に定義され、解析的である。$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

ガンマ関数と階乗関数は、中程度の大きさの引数に対して非常に急速に増大するため、多くのコンピューティング環境には、ガンマ関数の自然対数を返す関数が含まれており、プログラミング環境やスプレッドシートでは、この関数のlgamma名前が付けられていることが多い。この関数は増大がはるかに遅く、組み合わせ計算では、非常に大きな値の乗算や除算の代わりに、対数値の加算や減算を行うことができます。この関数は、次のように定義されることが多い^[42]。lngammagammaln $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=-\gamma z-\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

この関数の導関数であるディガンマ関数もよく見られる。技術的および物理的応用の文脈では、例えば波の伝播では、関数方程式 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\operatorname {log\Gamma } (z+1)-\log z}$$

は、隣接するストリップから zの幅 1 のストリップ内の関数値を決定できるため、よく使用されます。特に、大きな実部を持つzの良好な近似から始めて、目的のzまで段階的に下げることができます 。カール・フリードリヒ・ガウスの指示に従って、ロックテシェル (1922) は、 logΓ( z )に対して、大きなRe( z )の近似を提案しました。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

これは、より小さなRe( z )を用いて、 zのlogΓ( z )を正確に近似するのに使用できる(PEBöhmer, 1939)。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z-m)=\operatorname {log\Gamma } (z)-\sum _{k=1}^{m}\log(z-k).}$$

スターリング近似に基づく logΓ( z )とΓ( z )の漸近展開からのより多くの項を使用することで、より正確な近似を得ることができます。$${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

定数| arg( z ) | < πで| z | → ∞となる。( OEISのシーケンス A001163 および A001164 を参照。)

より「自然な」表現では: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=z\log z-z-{\tfrac {1}{2}}\log z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

定数| arg( z ) | < πで| z | → ∞となる。( OEISのシーケンス A046968 および A046969 を参照。)

最後の展開における z ^{1− k}のk > 1の項の係数は単に、 B _kがベルヌーイ数 である。 $${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

ガンマ関数には、1900年にシャルル・エルミートによって導出されたスターリング級数も存在する。 ^[43] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

ボーア・モレルプ定理は、階乗関数を正の実数に拡張したすべての関数の中で、ガンマ関数だけが対数凸、つまりその自然対数が正の実軸上で凸であることを述べています。別の特徴付けは、ヴィーラント定理によって与えられます。

ガンマ関数は、次の式を同時に満たす唯一の関数である。

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$、
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$非正整数を除くすべての複素数に対して、${\displaystyle z}$
3. 整数nに対して、すべての複素数に対して。^[1]${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$${\displaystyle z}$

ある意味では、対数ガンマ関数はより自然な形式です。関数のいくつかの固有の属性がより明確になります。顕著な例は、1 付近の logΓのテイラー級数です。ζ ( k ) はkにおけるリーマンゼータ関数を表します。 $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

したがって、次の特性を使用すると、 対数ガンマ関数の積分表現は次のようになります。 または、z = 1を設定してγの積分を取得すると、γ項をその積分に置き換えて上記の式に組み込むと、次のようになります。 $${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

有理数zに対するガンマ関数の対数に対する特別な公式も存在します。例えば、およびが整数で、の場合、^[44]この公式は、積分関数が非常に急速に減少するため、数値計算に使用されることがあります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k<n}$${\displaystyle k\neq n/2\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}}$$

この積分は Barnes G関数^{[45] [46]} を用いて表すことができる（証明については Barnes G関数を参照）。 ここでRe( z )>−1である。 $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx}$$$${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\operatorname {log\Gamma } (z)-\log G(z+1)}$$

これはフルヴィッツゼータ関数で表すこともできる：^{[47] [48]} $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

となると 、これもラーベの公式 の結果である。O.エスピノサとV.モルは、の平方積分に対する同様の公式を導出した：^[49] ここで、はである。 ${\displaystyle z=1}$$${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {1}{2}}\log(2\pi ),}$$${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

DH Baileyと共著者^[50]は、Tornheim-Wittenゼータ関数とその導関数を用いての 評価を行った 。$${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\log ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$${\displaystyle n=1,2}$

さらに、^[51] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

ガンマ関数の複素数値は、スターリング近似またはランチョス近似を使用して近似できます。 これは、 | z | が無限大に近づく につれて、近似値と真の値の比が極限で 1 に近づくという意味で正確です。 $${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

ガンマ関数は、オイラー積分に 部分積分を適用することで、固定精度で計算できます。任意の正の数xに対して、ガンマ関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Re( z )∈[1,2]かつ のとき、最後の積分の絶対値は より小さくなります。 を十分に大きい を選択すると、この最後の式は任意の値 に対してより小さくすることができます。したがって、ガンマ関数は上記の級数を使用してビットの精度で評価できます。 ${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2^{-N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

EA Karatsubaは、任意の代数引数（有理数を含む）に対するオイラーガンマ関数の高速計算アルゴリズムを構築した。^{[52] [53] [54]}

⁠の整数倍の引数の場合1/24⁠、ガンマ関数は算術幾何平均反復法を使って素早く評価することもできる（ガンマ関数の特定の値を参照）。 ^[55]

正規分布などの他の多くの関数とは異なり、ガンマ関数に対して簡単に実装できる高速で正確な実装は簡単には見つかりません。したがって、潜在的な解決策を調査す​​る価値があります。速度が精度よりも重要な場合は、Online Wiley Libraryなどのインターネット検索で、公開されている の表を簡単に見つけることができます。このような表は線形補間で使用できます。3次補間を使用すると、計算オーバーヘッドが増えますが、より高い精度が得られます。表は通常、1から2までの引数値に対して公開されているため、プロパティを使用して、すべての実数値とを範囲 に迅速かつ簡単に変換し、1から2までの表の値のみを使用する必要があります。^[56]${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$${\displaystyle z<1}$${\displaystyle z>2}$${\displaystyle 1\leq z\leq 2}$${\displaystyle z}$

補間テーブルが望ましくない場合は、上記の Lanczos 近似が、一般的に使用される小さな z 値に対して 1 ～ 2 桁の精度でうまく機能します。Lanczos 近似の精度が十分でない場合は、ガンマ関数の Stirling の式を使用できます。

ある著者はガンマ関数を「おそらく最も一般的な特殊関数、あるいは最も「特殊」でない関数である。他の超越関数は、多くの専門的な数学的話題を避けることで、それらのいくつかを避けることができると考えられるため、「特殊」と呼ばれている。一方、ガンマ関数Γ( z )は避けるのが最も難しい」と述べている。^[57]

ガンマ関数は量子物理学、天体物理学、流体力学など多様な分野で応用されています。^[58]ガンマ関数に基づいて定式化されたガンマ分布は、統計学において、地震の発生間隔など、さまざまなプロセスをモデル化するために使用されます。[ 59 ^]

このような状況でガンマ関数が有用である主な理由は、 時間や空間で指数関数的に減少する過程を記述するタイプの表現が広く普及していることである。そのような表現の積分は、基本的な解が存在しない場合にガンマ関数で解くことができることがある。例えば、fがべき乗関数でgが線形関数である場合、変数を単純に変更するだけで、評価は次のようになる。 ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

積分が正の実数直線全体に沿って実行されるという事実は、ガンマ関数が無期限に続く時間依存プロセスの累積を記述していることを意味している可能性があり、またはその値は無限空間内の分布の合計である可能性があります。

もちろん、有限過程の累積を記述するために0 と∞以外の積分極限を取ることがしばしば有用であり、その場合、通常のガンマ関数はもはや解ではなくなり、その解は不完全ガンマ関数と呼ばれる。(正の実数直線全体にわたって積分することによって得られる通常のガンマ関数は、対比のために完全ガンマ関数と呼ばれることもある。)

指数関数的に減少する関数の重要なカテゴリは、誤差関数 などのガウス関数 とその積分です。これらの関数とガンマ関数の間には多くの相互関係があり、特に、を評価することによって得られる係数は、誤差関数および正規分布の正規化係数に見られる係数と「同じ」です。 $${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

これまで説明した積分は超越関数を含んでいますが、ガンマ関数は純粋に代数的な関数の積分からも生じます。特に、代数方程式によって定義される曲線である楕円とレムニスケートの弧の長さは、特殊な場合にはガンマ関数で評価できる楕円積分によって与えられます。ガンマ関数は、 n次元の超球の「体積」と「面積」を計算するためにも使用できます。

ガンマ関数の階乗積を一般化する能力は、数学の多くの分野、例えば組合せ論、さらには確率論やべき級数の計算などの分野への応用に直ちにつながります。連続する整数の積を含む多くの式は、階乗の組み合わせとして表すことができます。最も重要な例は、おそらく二項係数です。たとえば、| z | < 1である任意の複素数zとnに対して、 n が負でない整数である 場合の二項係数に非常によく似た式を書くことができます 。$${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$$${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

二項係数の例は、ガンマ関数を負の数に拡張した場合の特性が自然である理由を示しています。二項係数は、n個の要素のセットからk個の要素を選択する方法の数を示します。 k > nの場合、もちろん方法はありません。k > nの場合、( n − k )! は負の整数の階乗であり、階乗のガンマ関数の定義を使用すると無限大になります。つまり、無限大で割ると、期待値は 0 になります。

階乗をガンマ関数に置き換えることで、このような式を複素数に拡張することができます。一般に、この方法は、各因数がインデックス変数の有理関数である積であれば、有理関数を線形式に因数分解することで適用できます。PとQがそれぞれ根p ₁、…、p _mとq ₁、…、 q _nを持つ次数mとnの単項多項式である場合、$${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

ガンマ関数を数値的に計算する方法があれば、そのような積の数値を計算するのは非常に簡単です。右辺のガンマ関数の数は多項式の次数のみに依存するため、b − a が5 に等しいか 10 ⁵に等しいかは問題ではありません。適切な制限を取ることで、左辺の積にゼロや極が含まれている場合でも方程式が成立するようにすることができます。

極限をとることで、無限数の因数を持つ特定の有理積もガンマ関数で評価できます。ワイエルシュトラスの因数分解定理により、解析関数は無限積として表すことができ、これらはガンマ関数の有限積または商として表されることもあります。すでに 1 つの顕著な例を見ました。反射式は、基本的に正弦関数を 2 つのガンマ関数の積として表します。この式から始めて、指数関数だけでなく、すべての三角関数と双曲関数をガンマ関数で表すことができます。

超幾何関数とその特殊なケースを含むさらに多くの関数は、メリン・バーンズ積分と呼ばれるガンマ関数の積と商の複素積分によって表すことができます。

ガンマ関数の応用として、リーマンゼータ関数の研究があります。リーマンゼータ関数の基本的な性質は、その関数方程式です。 $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

とりわけ、これはゼータ関数の複素平面上の有理型関数への解析接続の明示的な形式を提供し、ゼータ関数が実数直線上に無限に多くのいわゆる「自明な」零点を持つことを即座に証明する。Borweinらはこの公式を「数学における最も美しい発見の1つ」と呼んでいる。^[60]この称号のもう1つの候補は、 $${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

どちらの公式も、ベルンハルト・リーマンが1859 年に発表した画期的な論文「与えられた絶対値より小さい素数の個数について」で導き出したもので、数学的解析のツールを使用して素数を研究する数学の分野である解析的数論の発展における画期的な出来事の 1 つです。

ガンマ関数は、歴史上最も著名な数学者の何人かの関心を集めてきました。1963年にショーヴネ賞を受賞したフィリップ J. デイビスの論文に記録されているガンマ関数の歴史は、18 世紀以降の数学の主要な発展の多くを反映しています。デイビスの言葉を借りれば、「各世代はガンマ関数について何か興味深いことを発見してきました。おそらく次の世代もそうするでしょう。」^[1]

階乗を非整数引数に拡張する問題は、 1720年代にダニエル・ベルヌーイとクリスチャン・ゴールドバッハによって初めて検討されたようです。特に、1729年10月6日のベルヌーイからゴールドバッハへの手紙の中で、ベルヌーイは、負の整数以外 の実数値x に対して明確に定義された積表現^{[61]を導入しました。} $${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

レオンハルト・オイラーは後に2つの異なる定義を与えた。最初のものは彼の積分ではなく、負の整数以外の すべての複素数nに対して明確に定義された無限積であり、 彼は1729年10月13日の手紙でゴールドバッハにそのことを伝えた。彼は1730年1月8日に再びゴールドバッハに手紙を書き、 複素数nの実部が厳密に−1より大きい場合（つまり、）に有効な積分表現を発見したことを発表した。変数変換t = −ln sにより、これはよく知られたオイラー積分になる。オイラーは、 1729年11月28日にサンクトペテルブルクアカデミーに提出した論文「超越数列、つまり一般項を代数的に与えることができないものについて」でその結果を発表しました。^[62]オイラーはさらに、反射公式を含むガンマ関数の重要な機能特性のいくつかを発見しました。 $${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$$${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\log s)^{n}\,ds\,,}$$${\displaystyle \Re (n)>-1}$

オイラーと同時代のジェームズ・スターリングも階乗の連続的な表現を見つけようとし、現在スターリングの公式として知られるものを考案しました。スターリングの公式は非整数についてもn !の良好な推定値を与えますが、正確な値を与えるものではありません。この誤りを修正する彼の公式の拡張は、スターリング自身とジャック・フィリップ・マリー・ビネによって与えられました。

カール・フリードリヒ・ガウスはオイラーの積を と書き直し 、この公式を使ってガンマ関数の新しい性質を発見した。オイラーは複素変数理論の先駆者であったが、複素数の階乗についてはガウスが初めて考慮したようには見えなかった。^{[63]ガウスはガンマ関数の}乗法定理も証明し、ガンマ関数と楕円積分の関係を調査した。 $${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

カール・ワイエルシュトラスは、さらに別の積表現から始めて、 複素解析におけるガンマ関数の役割を確立しました。 ここで、γはオイラー・マスケローニ定数です。ワイエルシュトラスはもともと、この積を⁠の積として書きました。$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$1/Γ⁠、その場合、関数の極ではなく零点に作用します。この結果に触発されて、彼はワイエルシュトラスの因数分解定理として知られるものを証明しました。これは、任意の関数全体が複素平面上の零点の積として表されるというものであり、代数の基本定理の一般化です。

ガンマ関数という名前と記号Γ は、1811 年頃にアドリアン マリー ルジャンドルによって導入されました。ルジャンドルは、オイラーの積分定義を現代的な形に書き直しました。記号はギリシャ語の大文字のガンマですが、関数名を「ガンマ関数」と書くべきか「ガンマ関数」と書くべきかについての標準は認められていません (単に「Γ関数」と書く著者もいます)。ガウスによる代替の「π 関数」表記Π( z ) = z !は、古い文献で時々見られますが、ルジャンドルの表記は現代の著作では主流です。

なぜ「通常の階乗」とガンマ関数を別々の記号で区別するのか、特にガンマ関数を単に「 Γ( n ) = n ! 」ではなくΓ( n + 1) = n !に正規化する必要があるのか​​、という疑問は当然生じる。指数x ⁿの表記が整数から複素数x ^zにそのまま一般化されていることを考えてみよう。ルジャンドルが正規化を行った動機は不明であり、扱いにくいと批判する者もいる（たとえば、20世紀の数学者コルネリウス・ランチョスはこれを「合理性を欠く」と呼び、代わりにz ! を使用した）。^[64]ルジャンドルの正規化はいくつかの式を単純化するが、他の式を複雑にする。現代的な観点から見ると、ガンマ関数のルジャンドル正規化は、リー群R ⁺上のハール測度に関して、加法特性e ^{− x}と乗法特性x ^zの積分である。したがって、この正規化により、ガンマ関数がガウス和の連続的な類似物であることがより明確になる。^[65] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

ガンマ関数には多数の定義が与えられていることに多少問題がある。それらは同じ関数を記述しているにもかかわらず、その等価性を証明するのは簡単ではない。スターリングは彼の拡張された公式がオイラーのガンマ関数に正確に対応することを証明しなかった。証明は1900年にシャルル・エルミートによって初めて与えられた。 ^[66]各公式に特化した証明を見つける代わりに、ガンマ関数を識別する一般的な方法があることが望ましい。

同等性を証明する 1 つの方法は、ガンマ関数を特徴付ける微分方程式を見つけることです。応用数学のほとんどの特殊関数は、微分方程式の解として現れ、その解は一意です。しかし、ガンマ関数は単純な微分方程式を満たさないようです。オットー ヘルダーは1887 年に、ガンマ関数が少なくとも代数微分方程式を満たさないことを証明しました。これは、そのような方程式の解がガンマ関数の漸化式を満たすことができず、ガンマ関数が超越的超越関数になることを示しました。この結果はヘルダーの定理として知られています。

ガンマ関数の明確かつ一般的に適用可能な特徴付けは、1922 年まで示されていませんでした。その後、ハラルド ボーアとヨハネス モレルプが、ボーア - モレルプ定理として知られる定理を証明しました。これは、ガンマ関数は、正のzに対して正かつ対数的に凸であり、1 での値が 1 である (関数の対数が凸である場合、その関数は対数的に凸である) 階乗再帰関係の唯一の解であるという定理です。別の特徴付けは、ヴィーラント定理によって与えられます。

ボーア・モレルプ定理は、ガンマ関数を定義するために使用されるさまざまな式のいずれに対しても、対数凸性を証明するのが比較的簡単なので便利です。さらに、ガンマ関数を特定の式で定義する代わりに、ボーア・モレルプ定理の条件を定義として選択し、ガンマ関数の研究の出発点として、条件を満たす任意の式を選択できます。このアプローチは、ブルバキグループによって使用されました。

ボーウェインとコーレスはガンマ関数に関する3世紀にわたる研究をレビューする。^[67]

ガンマ関数は、現代のコンピュータ（プログラム可能なポケット電卓さえも）を使えば、数学的に単純な関数とほぼ同じくらい簡単に計算できるが、もちろん昔からそうだったわけではない。20世紀半ばまで、数学者は手作りの表に頼っていた。ガンマ関数の場合、1813年にガウスが計算した表や、1825年にルジャンドルが計算した表が有名である。^[68]

ガンマ関数の複素数値の表と手書きのグラフは、1909年にドイツで最初に出版されたヤーンケとエムデ [de]による「関数表、数式、曲線」に掲載されている。マイケル・ベリーによると、「複素平面におけるガンマ関数の極を示す3次元グラフがJ&Eに掲載され、ほぼ象徴的な地位を獲得した。」^[69]

1930年代まで、ガンマ関数の実数値以外の実用的なニーズはほとんどありませんでしたが、その年に複素ガンマ関数の応用が理論物理学で発見されました。1950年代に電子計算機が表の作成に利用できるようになると、需要を満たすために複素ガンマ関数の詳細な表がいくつか出版されました。その中には、米国国立標準技術局の12桁の精度の表も含まれていました。^[1]

ガンマ関数とその対数の倍精度浮動小数点実装は、TK Solver、Matlab、GNU Octave、GNU Scientific Libraryなど、ほとんどの科学計算ソフトウェアと特殊関数ライブラリで利用できるようになりました。ガンマ関数はC標準ライブラリ（math.h）にも追加されました。任意精度実装は、MathematicaやMapleなど、ほとんどのコンピュータ代数システムで利用できます。PARI /GP、MPFR、MPFUNには、無料の任意精度実装が含まれています。Windows CalculatorやGNOME Calculatorなどの一部のソフトウェア計算機では、入力xが整数値以外の場合、階乗関数はΓ( x + 1)を返します。 ^{[70] [71]}

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• NIST 数学関数デジタルライブラリ:ガンマ関数
• Pascal Sebah と Xavier Gourdon。ガンマ関数入門。PostScript および HTML 形式。
• std::tgamma の C++ リファレンス
• ガンマ関数に関する問題の例は、Exampleproblems.com で見つかります。
• 「ガンマ関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Wolfram ガンマ関数評価器 (任意精度)
• 「ガンマ」。Wolfram関数サイト。
• MathPages の n 球の体積とガンマ関数