双線形形式

V上のすべての双線形形式B は_、 Vからその双対空間V ^∗への線形写像のペアを定義します。B 1、B ₂ : V → V ^{∗ を}次のように定義します。

これはしばしば次のように表記されます。

ここでドット（ ⋅ ）は、結果として得られる線形汎関数の引数を配置するスロットを示します（カリー化を参照）。

有限次元ベクトル空間Vにおいて、B ₁またはB ₂のいずれかが同型写像であれば、両方とも同型写像となり、双線形形式Bは非退化であると言われます。より具体的には、有限次元ベクトル空間において、非退化とは、すべての非ゼロ要素が他の要素と非自明なペアを形成することを意味します。

${\displaystyle B(x,y)=0}$すべての人々のために${\displaystyle y\in V}$これはx = 0を意味し、

${\displaystyle B(x,y)=0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in V}$これはy = 0を意味します。

可換環上の加群に対応する概念は、双線形形式がV → V ^{∗ が}同型写像である場合、それはユニモジュラーです。可換環上の有限生成加群が与えられた場合、ペアリングは単射（したがって上記の意味で「非退化」）であっても、ユニモジュラーではない場合があります。たとえば、整数上では、ペアリングB ( x , y ) = 2 xyは非退化ですが、ユニモジュラーではありません。これは、 V = ZからV ^∗ = Zへの誘導写像が 2 倍である

Vが有限次元の場合、 Vをその二重双対V ^{**と同一視することができる。すると}_、B2_は線形写像B1の転置であることが示される（Vが無限次元の場合、 B2はV _**におけるVの像に制限された_B1の転置である）。Bが与えられた場合、^Bの転置は、次式で与えられる双線形形式として定義できる。

形式の左根号と右根号は、それぞれ B 1 と B 2 の核です。[ 2 ]これら_は、左と^右で全_空間に直交するベクトルです。^{[ 3 ]}

Vが有限次元の場合、 B ₁のランクはB ₂のランクと等しくなります。この数がdim( V )に等しい場合、B ₁とB ₂はVからV ^∗への線形同型写像です。この場合、Bは非退化です。ランク零性定理によれば、これは左根基と右根基が自明であるという条件と同等です。有限次元空間の場合、これはしばしば非退化の定義として用いられます。

任意の線形写像A  : V → V ^∗が与えられた場合、次の方法でV上の双線形形式Bを得ることができます。

この形式が非退化となるのは、 Aが同型写像である場合に限る。

Vが有限次元の場合、 Vのある基底に関して、双線形形式は、対応する行列の行列式がゼロである場合に限り退化します。同様に、非退化形式とは、対応する行列の行列式がゼロでない形式 (行列が非特異である形式) です。これらの記述は、選択された基底に依存しません。可換環上の加群の場合、ユニモジュラー形式とは、対応する行列の行列式が単位行列(例えば 1) である形式です。したがって、この用語が成り立ちます。行列式がゼロでないが単位行列ではない形式は、非退化ではあるがユニモジュラーではないことに注意してください。例えば、整数上のB ( x , y ) = 2 xy などです。

双線形形式を次のように定義する。

• Vのすべてのv、 wに対してB ( v、w ) = B ( w、v )が成り立つ場合、対称です。
• Vのすべてのvに対してB ( v , v ) = 0 の場合、交互に実行されます。
• 歪対称またはVのすべてのv、 wに対してB ( v、 w ) = − B ( w、 v )の場合、反対称です。

  命題

  交互に現れる形状はすべて歪対称である。

  証拠

  これは、 B ( v + w , v + w )を展開することで確認できます。

Kの特性が2でない場合、その逆もまた真である。すなわち、すべての歪対称形式は交代形式である。しかし、 char( K ) = 2の場合、歪対称形式は対称形式と同じであり、交代形式ではない対称/歪対称形式が存在する。

双線形形式は、その座標行列（任意の基底に関して）が対称（または歪対称）である場合に限り、対称（または歪対称）である。双線形形式は、その座標行列が歪対称であり、かつ対角成分がすべてゼロである場合に限り、交代的である（これは、 char( K ) ≠ 2の場合の歪対称性から導かれる）。

双線形形式は、写像B ₁、B ₂ : V → V ^∗が等しい場合に限り対称であり、それらが互いに負である場合に限り歪対称である。char( K ) ≠ 2の場合、双線形形式は次のように対称部分と歪対称部分に分解できる。 $${\displaystyle B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),}$$ ここで、^t BはBの転置行列である（上記で定義）。

双線形形式Bは、対称または交代である場合に限り反射的である。^{[ 4 ]} 反射性がない場合、左直交性と右直交性を区別する必要がある。反射的空間では、左根基と右根基が一致し、双線形形式の核または根基と呼ばれる。これは、他のすべてのベクトルと直交するすべてのベクトルの部分空間である。行列表現xを持つベクトルvは、行列表現Aを持つ双線形形式の根基に含まれるのは、 Ax = 0 ⇔ x ^T A = 0の場合のみである。根基は常にVの部分空間である。根基が自明なのは、行列Aが非特異である場合のみであり、したがって双線形形式が非退化である場合のみである。

Wを部分空間とする。直交補空間を定義する^{[ 5 ]}$${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{すべての }}\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

有限次元空間上の非退化形式の場合、写像V/W → W ^{⊥ は}全単射であり、 W ^⊥の次元はdim( V ) − dim( W )です。

定義:ノルムベクトル空間( V , ‖⋅‖)上の双線形形式は、すべてのu , v ∈ Vに対して、定数Cが存在し、 が成り立つ場合に有界である。 $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

定義:ノルムベクトル空間( V , ‖⋅‖)上の双線形形式は、すべてのu ∈ Vに対して、 定数c > 0が存在し、$${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.}$$

同じ基底体上の2つのベクトル空間からその基底体への双線形写像に関する理論の多くは既に確立されている。

ここでは、 VからW ^∗への、およびWからV ^∗への誘導線形写像がまだ存在します。これらの写像が同型になる場合があります。有限次元を仮定すると、一方が同型であれば、もう一方も同型でなければなりません。このような場合、B は完全ペアリングであると言われます。

有限次元では、これはペアリングが非退化であること（空間の次元が必然的に同じであること）と同等です。モジュール（ベクトル空間ではなく）の場合、非退化形式がユニモジュラー形式よりも弱いのと同様に、非退化ペアリングは完全ペアリングよりも弱い概念です。ペアリングは完全ペアリングでなくても非退化である可能性があります。たとえば、( x , y ) ↦ 2 xyによるZ × Z → Zは非退化ですが、マップZ → Z ^∗で 2 倍を誘導します。

双線形形式の定義は用語によって様々である。例えば、F. Reese Harveyは「8種類の内積」について論じている^{[ 6 ]} 。彼は、非ゼロ要素が+1または-1のみである対角行列A _ijを用いてそれらを定義している。これらの「内積」の中にはシンプレクティック形式とセスキリニア形式またはエルミート形式がある。一般的な体Kではなく、実数R、複素数C、四元数Hを用いた例が具体的に示されている。双線形形式 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$$これは真の対称ケース と呼ばれ、 R ( p , q )と表記される。ここでp + q = nである。次に彼は、従来の用語との関連性を明確にする。^{[ 7 ]}

実際の対称ケースの中には非常に重要なものがあります。正定値の場合R ( n , 0)はユークリッド空間と呼ばれ、マイナスが 1 つの場合R ( n −1, 1)はローレンツ空間と呼ばれます。n = 4 の場合、ローレンツ空間はミンコフスキー空間またはミンコフスキー時空とも呼ばれます。特殊な場合R ( p , p )は分割ケースと呼ばれます。

環Rと右R加群Mおよびその双対加群M ^∗が与えられたとき、写像B  : M ^∗ × M → Rは、次の条件を満たす場合に双線形形式と呼ばれる。

すべてのu、v ∈ M ^∗、すべてのx、y ∈ Mおよびすべてのα、β ∈ Rに対して。

写像⟨⋅,⋅⟩  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ u ( x )は自然ペアリングとして知られており、M ^∗ × M上の標準双線形形式とも呼ばれる。^{[ 8 ]}

線形写像S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ S ( u )は双線形形式B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ S ( u ), x ⟩を誘導し、線形写像T  : M → M  : x ↦ T ( x )は双線形形式B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ u , T ( x )⟩を誘導します。

逆に、双線形形式B  : M ^∗ × M → Rは、R線形写像S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ ( x ↦ B ( u , x ))およびT ′  : M → M ^∗∗  : x ↦ ( u ↦ B ( u , x ))を誘導する。ここで、M ^∗∗はMの二重双対を表す。