ポアンカレの補題

ポアンカレの補題は、ファイバーに沿った積分によって証明できる。^{[ 10 ] [ 11 ]}（この方法は、微積分における積分による原始関数の構成を単純に一般化したものである。）

開集合に対して補題を証明する。${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$星形または円錐形の${\displaystyle [0,1]}$; つまり、もし${\displaystyle x}$は${\displaystyle U}$、 それから${\displaystyle tx}$は${\displaystyle U}$のために${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$このケースは特に開球の場合をカバーしており、開球は一般性を失うことなく原点を中心としていると仮定できる。

コツは、微分形式を考慮することです${\displaystyle U\times [0,1]\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$（私たちは${\displaystyle t}$座標については${\displaystyle [0,1]}$まず、演算子を定義します。$\displaystyle \pi _{*}}$（ファイバー積分と呼ばれる）k形式の場合${\displaystyle U\times [0,1]}$による

${\displaystyle \pi _{*}\left(\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}f_{i}dt\wedge dx^{i}+\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}g_{j}dx^{j}\right)=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k-1}}\left(\int _{0}^{1}f_{i}(\cdot ,t)\,dt\right)\,dx^{i}}$

どこ$\displaystyle dx^{i}=dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k-1}}}$、${\displaystyle f_{i}=f_{i_{1},\dots ,i_{k-1}}}$同様に$\displaystyle dx^{j}}$そして${\displaystyle g_{j}}$さて、${\displaystyle \alpha =f\,dt\wedge dx^{i}}$、 以来$\displaystyle d\alpha =-\sum _{l}{\frac {\partial f}{\partial x_{l}}}dt\wedge dx_{l}\wedge dx^{i}}$積分記号の下での微分を用いると、次のようになる。

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$

どこ$\alpha_0, \alpha_1$制限を示す${\displaystyle \alpha }$超平面へ${\displaystyle t=0,t=1}$そしてそれらはゼロです${\displaystyle dt}$そこではゼロです。${\displaystyle \alpha =g\,dx^{j}}$すると、同様の計算で次の結果が得られる。

${\displaystyle \pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d(\pi _{*}\alpha )}$。

したがって、上記の式は任意の${\displaystyle k}$-形状${\displaystyle \alpha }$の上${\displaystyle U\times [0,1]}$（この式は、相対ストークスの公式と呼ばれることもある式の特殊な場合である。）

最後に${\displaystyle h(x,t)=tx}$そして設定する${\displaystyle J=\pi _{*}\circ h^{*}}$。次に、表記法を用いて${\displaystyle h_{t}=h(\cdot ,t)}$すると、次のようになります。任意の${\displaystyle k}$-形状${\displaystyle \omega }$の上${\displaystyle U}$、

${\displaystyle h_{1}^{*}\omega -h_{0}^{*}\omega =Jd\omega +dJ\omega ,}$

ホモトピー公式として知られる公式。演算子${\displaystyle J}$これはホモトピー演算子（連鎖ホモトピーとも呼ばれる）と呼ばれます。さて、${\displaystyle \omega }$閉鎖されています、${\displaystyle Jd\omega =0}$。 一方で、${\displaystyle h_{1}^{*}\omega =\omega }$そして${\displaystyle h_{0}^{*}\omega =0}$後者は、ある点において非ゼロの高次形式が存在しないためです。したがって、

${\displaystyle \omega =dJ\omega ,}$

これはポアンカレの補題を証明する。

実際、同じ証明は、多様体の任意の可縮開部分集合Uに対するポアンカレの補題を示している。実際、そのようなUが与えられた場合、ホモトピーは次のようになる。${\displaystyle h_{t}}$と${\displaystyle h_{1}=}$アイデンティティと${\displaystyle h_{0}(U)=}$点。そのような近似値${\displaystyle h_{t}}$、、我々は${\displaystyle h_{t}}$実際、スムーズです。ファイバー統合$\displaystyle \pi _{*}}$また、${\displaystyle \pi :U\times [0,1]\to U}$したがって、同じ議論が成り立つ。

カルタンのリー微分に関する魔法の公式は、ポアンカレの補題の簡潔な証明を与えるために使用できる。この公式は、ベクトル場に沿ったリー微分が${\displaystyle \xi }$次のように与えられます: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle L_{\xi }=d\,i(\xi )+i(\xi )d}$

どこ${\displaystyle i(\xi )}$内部製品を表します。${\displaystyle i(\xi )\omega =\omega (\xi ,\cdot )}$。

させて${\displaystyle f_{t}:U\to U}$ある開集合Uに対して滑らかな写像の滑らかな族となる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そのため${\displaystyle f_{t}}$は、ある閉区間I内のtに対して定義され、${\displaystyle f_{t}}$は、 Iの内部におけるtの微分同相写像である。${\displaystyle \xi _{t}(x)}$曲線の接線ベクトルを表す${\displaystyle f_{t}(x)}$; つまり、${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}(x)=\xi _{t}(f_{t}(x))}$. Iの内部の固定されたtに対して、${\displaystyle g_{s}=f_{t+s}\circ f_{t}^{-1}}$。 それから${\displaystyle g_{0}=\operatorname {id} ,\,{\frac {d}{ds}}g_{s}|_{s=0}=\xi _{t}}$したがって、リー微分の定義により、

${\displaystyle (L_{\xi _{t}}\omega )(f_{t}(x))={\frac {d}{ds}}g_{s}^{*}\omega (f_{t}(x))|_{s=0}={\frac {d}{ds}}f_{t+s}^{*}\omega (x)|_{s=0}={\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega (x)}$。

つまり、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{t}^{*}\omega =f_{t}^{*}L_{\xi _{t}}\omega .}$

仮定する${\displaystyle I=[0,1]}$。次に、上記の両辺を積分し、カルタンの公式と積分記号内の微分を用いると、次の式が得られます。${\displaystyle 0<t_{0}<t_{1}<1}$、

${\displaystyle f_{t_{1}}^{*}\omega -f_{t_{0}}^{*}\omega =d\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt+\int _{t_{0}}^{t_{1}}f_{t}^{*}i(\xi _{t})d\omega \,dt}$

ここで、積分とは、各係数を微分形式で積分することを意味する。${\displaystyle t_{0},t_{1}\to 0,1}$すると、次のようになります。

${\displaystyle f_{1}^{*}\omega -f_{0}^{*}\omega =dJ\omega +Jd\omega }$

表記法を用いて${\displaystyle J\omega =\int _{0}^{1}f_{t}^{*}i(\xi _{t})\omega \,dt.}$

さて、${\displaystyle U}$中心が開いたボール${\displaystyle x_{0}}$そうすれば、${\displaystyle f_{t}(x)=t(x-x_{0})+x_{0}}$すると、上記の式は次のようになります。

${\displaystyle \omega =dJ\omega +Jd\omega }$、

これは、ポアンカレの補題を証明する。${\displaystyle \omega }$閉店しました。

2次元では、ポアンカレの補題は閉じた1形式と2形式に対して次のように直接証明できます。^{[ 13 ]}

ω = p dx + q dyが( a , b ) × ( c , d )上の閉じた 1 形式である場合、p _y = q _xとなります。ω = dfの場合、p = f x_およびq = f y_となります。

${\displaystyle g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}$

したがって、g _x = pとなります。すると、h = f − g はh _x = 0およびh _y = q − g _yを満たさなければなりません。ここで右辺はxに依存しません。なぜなら、 xに関する偏微分は次のようになるからです。${\displaystyle q_{x}-p_{y}=0}$。 以来${\displaystyle q-\partial g/\partial y}$これはxとは無関係であり、 yのみの関数です。この関数を求めるには、任意のxの値、具体的には境界で評価すればよいのです。${\displaystyle x=a}$:

${\displaystyle h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}$

そしてそれゆえに

${\displaystyle f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}$

同様に、Ω = r dx ∧ dyの場合、 Ω = d ( a dx + b dy )となり、 b _x − a _y = rとなります。したがって、解はa = 0で与えられ、

${\displaystyle b(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}$

ホモトピー論法を用いないポアンカレの補題の帰納的証明も可能である。${\displaystyle X_{m}:=I^{m}}$、 どこ${\displaystyle I=(-1,1)}$はm次元の開いた座標立方体とする。各について${\displaystyle n\leq m}$投影${\displaystyle \pi _{m,n}:X_{m}\rightarrow X_{n}}$点の最後の mn 座標を削除するのはファイブレーションであり、したがってプルバックマップ${\displaystyle \pi _{m,n}^{\ast }:\Omega ^{\bullet }(X_{n})\rightarrow \Omega ^{\bullet }(X_{m})}$は単射である。したがって、上で定義された任意の微分k形式を考えることができる。${\displaystyle X_{n}}$また定義される予定${\displaystyle X_{m}}$追加の表記なし。逆に、k形式${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X_{m})}$（必然的に一意な）k形式に降下する${\displaystyle X_{n}}$標準座標に関するその表現が

${\textstyle \omega =\sum _{0\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq n}\omega _{i_{1}...i_{k}}(x^{1},\dots ,x^{n})dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$、

言い換えれば、その係数は変数の関数である。${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$後者の変数のみの微分が関係する。

微分k形式の場合${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X_{m})}$、その共次数を整数mkとする。帰納法は、形式の共次数に対して行われる。座標領域で作業しているため、座標に関する偏微分と積分は、形式の係数に正準座標に関して適用することにより、形式自体に適用できる。

まず最初に${\displaystyle \omega \in \Omega ^{m}(X_{m})}$つまり、共次数は0です。次のように書くことができます。$${\displaystyle \omega =dx^{m}\wedge \omega _{0},\quad \omega _{0}=f(x^{1},\dots ,x^{m})dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{m-1}}$$したがって、定義すると${\displaystyle \theta \in \Omega ^{m-1}(X_{m})}$による${\displaystyle \theta =\int _{0}^{x_{m}}\omega _{0}(x^{1},\dots ,x^{m-1},s)\,ds}$、 我々は持っています$${\displaystyle d\theta =dx^{m}\wedge \partial _{m}\theta =dx^{m}\wedge \omega _{0}=\omega }$$したがって、${\displaystyle \theta }$はプリミティブです${\displaystyle \omega }$。

さあ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X_{m})}$、 どこ${\displaystyle 0<k<m}$つまり${\displaystyle \omega }$の共次数はmkであり、閉じた形式の共次数がmk未満であれば、その形式は完全形式であると仮定します。${\displaystyle \omega }$分解すると次のようになる$${\displaystyle \omega =dx^{m}\wedge \omega _{0}+\omega _{1}}$$どちらでもない${\displaystyle \omega _{0}}$または${\displaystyle \omega _{1}}$の要素を含む${\displaystyle dx^{m}}$。 定義する${\displaystyle \lambda$ :=\int _{0}^{x_{m}}\omega _{0}(x^{1},\dots ,x^{m-1},s)\,ds} の 場合、${\displaystyle d\lambda =dx^{m}\wedge \omega _{0}+\lambda _{1}}$、 どこ${\displaystyle \lambda _{1}}$の要素は含まれていません${\displaystyle dx^{m}}$したがって、定義する${\displaystyle \omega ^{\prime }:=\omega -d\lambda =\omega _{1}-\lambda _{1}}$このフォームも閉じられていますが、${\displaystyle dx^{m}}$このフォームは閉鎖されているため、$${\displaystyle 0=d\omega ^{\prime }=dx^{m}\wedge \partial _{m}\omega ^{\prime }+\omega ^{\prime \prime }}$$最後の項には因数が含まれていない${\displaystyle dx^{m}}$座標微分が線形独立であるため、この方程式は以下を意味する。$${\displaystyle \omega ^{\prime }=\sum _{1\leq i_{1}<\dots <i_{k}\leq m-1}\omega _{i_{1}...i_{k}}(x^{1},\dots ,x^{m-1})dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$$つまり、その形式${\displaystyle \omega ^{\prime }}$変数に関する微分形式${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{m-1}}$それだけ、したがってそれは要素に降りる${\displaystyle \Omega ^{k}(X_{m-1})}$、したがってその共次数はmk-1である。帰納法の仮説が適用されるので、${\displaystyle \omega ^{\prime }=d\theta ^{\prime }}$一部の人にとって${\displaystyle \theta ^{\prime }\in \Omega ^{k-1}(X_{m-1})\subseteq \Omega ^{k-1}(X_{m})}$、 したがって$${\displaystyle \omega =d\theta ,\quad \theta =\theta ^{\prime }+\lambda }$$座標キューブの証明を締めくくる。任意の多様体において、すべての点には座標キューブと微分同相な近傍が存在する。証明はまた、多様体上の任意の閉じたk形式 (${\displaystyle 0<k\leq m=\dim M}$)は局所的に正確です。