グラム行列

線型代数において、内積空間のベクトルの集合のグラム行列（またはグラミアン行列、グラミアン）は、内積のエルミート行列であり、その要素は内積によって与えられます。^[1]ベクトルが行列の列である場合、グラム行列は、一般にベクトル座標が複素数である場合に であり、ベクトル座標が実数である場合に と簡略化されます。 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\displaystyle G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle }$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\dagger }X}$${\displaystyle X^{\top }X}$

重要な応用は線形独立性を計算することです。ベクトルのセットは、グラム行列式 (グラム行列の 行列式) がゼロでない場合にのみ線形独立です。

ヨルゲン・ペダーセン・グラムにちなんで名付けられました。

通常のユークリッド内積を伴うの有限次元実ベクトルの場合、グラム行列は です。ここで は、列がベクトルである行列で、は行がベクトルであるその転置です。 の複素ベクトルの場合、です。ここで はの共役転置です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle G=V^{\top }V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle V^{\top}}$${\displaystyle v_{k}^{\top}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle G=V^{\ダガー }V}$${\displaystyle V^{\dagger}}$${\displaystyle V}$

区間 上の二乗可積分関数 が与えられた場合、グラム行列は次のようになります。 ${\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$${\displaystyle \left[t_{0},t_{f}\right]}$${\displaystyle G=\left[G_{ij}\right]}$

${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}^{*}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .}$

ここで はの複素共役です。 ${\displaystyle \ell _{i}^{*}(\tau )}$${\displaystyle \ell _{i}(\tau )}$

任意の体上の有限次元ベクトル空間上の任意の双線形形式 に対して、ベクトルの集合に付随するグラム行列を定義できます。双線形形式が対称であれば、行列は対称になります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)}$${\displaystyle B}$

• リーマン幾何学では、埋め込まれた- 次元リーマン多様体とのパラメータ化が与えられれば、埋め込みによって誘導される上の体積形式は、座標接線ベクトルのグラミアンを使用して計算できます。これは、のパラメータ化された表面の古典的な面積分を一般化したものです。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi :U\to M}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].}$$${\displaystyle \phi :U\to S\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y)\in U\subset \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \int _{S}f\ dA=\iint _{U}f(\phi (x,y))\,\left|{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\,{\times }\,{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right|\,dx\,dy.}$$
• ベクトルが中心ランダム変数である場合、グラミアンは共分散行列にほぼ比例し、スケーリングはベクトル内の要素数によって決まります。
• 量子化学では、基底ベクトルの集合のグラム行列は重なり行列です。
• 制御理論（またはより一般的にはシステム理論）では、制御可能性グラミアンと観測可能性グラミアンによって線形システムの特性が決まります。
• グラミアン行列は共分散構造モデルのフィッティングで発生します（例えば、Jamshidian and Bentler、1993、「Applied Psychological Measurement」、第18巻、79～94ページを参照）。
• 有限要素法では、グラム行列は有限次元空間からの関数を近似することによって生じます。グラム行列の要素は、有限次元部分空間の基底関数の内積です。
• 機械学習では、カーネル関数はグラム行列として表現されることが多い。^[2]（カーネルPCAも参照）
• 実数上のグラム行列は対称行列なので、対角化可能であり、その固有値は非負です。グラム行列の対角化は特異値分解です。

グラム行列は、内積が実数値の場合は対称行列です。内積の定義により、一般的な複素数の場合はエルミート行列です。

グラム行列は半正定値行列であり、すべての半正定値行列は、あるベクトルの集合に対するグラミアン行列です。グラミアン行列が半正定値行列であるという事実は、次の簡単な導出からわかります。

${\displaystyle x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.}$

最初の等式は行列の乗算の定義から、2番目と3番目は内積の双線型性から、最後の等式は内積の正定値性から導かれます。これは、ベクトルが線型独立である場合（つまり、すべての に対して）に限り、グラミアン行列が正定値であることも示しています。^[1]${\displaystyle v_{i}}$${\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\neq 0}$${\displaystyle x}$

任意の半正定値行列が与えられた場合、それを次のように分解することができます。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=B^{\dagger }B}$、

ここで はの共役転置です(実数の場合は )。 ${\displaystyle B^{\dagger }}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M=B^{\textsf {T}}B}$

ここで、 はの階数である行列です。このような分解を得るには、コレスキー分解を計算するか、の非負の平方根を取るなど、さまざまな方法があります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

の列は（または実数の場合は k次元ユークリッド空間）のnベクトルとして見ることができる。すると${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}}$

ここでドット積 は 上の通常の内積です。 ${\textstyle a\cdot b=\sum _{\ell =1}^{k}a_{\ell }^{*}b_{\ell }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$

したがって、エルミート行列が 半正定値行列となるのは、それが何らかのベクトルのグラム行列である場合に限ります。このようなベクトルは、 のベクトル実現と呼ばれます。このステートメントの無限次元類似物は、マーサーの定理です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$${\displaystyle M}$

がベクトルのグラム行列である場合、ベクトルのシーケンスにの任意の回転または反転(任意の直交変換、つまり0 を保存する任意のユークリッド等長変換) を適用すると、同じグラム行列が生成されます。つまり、任意の直交行列に対して、 のグラム行列も になります。${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Qv_{1},\dots ,Qv_{n}}$${\displaystyle M}$

これは、 の 2 つの実ベクトル実現が異なる唯一の方法です。ベクトルは、直交変換を除いて一意です。言い換えると、 の何らかの剛体変換によってベクトルが に、0 が 0 に変換される場合に限り、内積とが等しくなります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}}$${\displaystyle w_{i}\cdot w_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$

複素数の場合も同様で、直交変換の代わりにユニタリ変換が用いられる。つまり、ベクトルのグラム行列がのベクトルのグラム行列に等しい場合、に対してとなるユニタリ行列（つまり）が存在する。^[3]${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$${\displaystyle v_{i}=Uw_{i}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

• なので、と は必ず可換になります。つまり、実数または複素数のグラム行列は正規行列でもあります。${\displaystyle G=G^{\dagger }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{\dagger }}$${\displaystyle G}$
• 任意の正規直交基底のグラム行列は単位行列です。同様に、実回転行列の行または列のグラム行列は単位行列です。同様に、ユニタリ行列の行または列のグラム行列は単位行列です。
• ベクトルのグラム行列の階数は、これらのベクトルが張る空間の次元に等しい。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$

グラム行列式またはグラミアンは、グラム行列の行列式です。 $${\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\begin{vmatrix}\langle v_{1},v_{1}\rangle &\langle v_{1},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{1},v_{n}\rangle \\\langle v_{2},v_{1}\rangle &\langle v_{2},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{2},v_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle v_{n},v_{1}\rangle &\langle v_{n},v_{2}\rangle &\dots &\langle v_{n},v_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

が のベクトルである場合、それはベクトルによって形成される平行体のn次元体積の 2 乗です。特に、平行体が 0 でないn次元体積を持つ場合、グラム行列式が 0 でない場合、グラム行列が非特異である場合に限り、ベクトルは線形独立です。n > mの場合、行列式と体積は 0 です。n = m の場合、これは、 n次元ベクトルの行列式の絶対値がn次元体積であるという標準定理に帰着します。グラム行列式は、ベクトルによって形成される単体の体積を計算する場合にも役立ちます。その体積はVolume(parallelotope) / n !です。 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

グラム行列式はベクトルの 外積で次のように表現することもできる。

${\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}=\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\|^{2}.}$

ベクトルが、ある基準点に対する点の位置から定義される場合、 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle p_{n+1}}$

$${\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(p_{1}-p_{n+1},p_{2}-p_{n+1},\ldots ,p_{n}-p_{n+1})\,,}$$

グラム行列式は2つのグラム行列式の差として表すことができます。

$${\displaystyle {\bigl |}G(v_{1},\dots ,v_{n}){\bigr |}={\bigl |}G((p_{1},1),\dots ,(p_{n+1},1)){\bigr |}-{\bigl |}G(p_{1},\dots ,p_{n+1}){\bigr |}\,,}$$

ここで、それぞれは、-次元の座標値1が補足された対応する点である。^[要出典] n = mという一般的なケースでは、右辺の2番目の項はゼロになることに注意してください。 ${\displaystyle (p_{j},1)}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle (m+1)}$

グラム行列が で定義される線形独立ベクトルの集合が与えられた場合、正規直交基底を構築することができる。 ${\displaystyle \{v_{i}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{ij}:=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$

${\displaystyle u_{i}:=\sum _{j}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ji}v_{j}.}$

行列表記では、は正規直交基底ベクトルを持ち、行列は指定された列ベクトル で構成されます。 ${\displaystyle U=VG^{-1/2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{u_{i}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{v_{i}\}}$

行列は必ず存在します。実際、はエルミート行列なので、ユニタリ行列と実対角行列と同様に分解できます。さらに、 が正定値の場合にのみ線形独立であり、これは の対角要素が正であることを意味します。したがって、 は によって一意に定義されます。これらの新しいベクトルが正規直交であることを確認できます。 ${\displaystyle G^{-1/2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=UDU^{\dagger }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle D}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G^{-1/2}}$${\displaystyle G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},u_{j}\rangle &=\sum _{i'}\sum _{j'}{\Bigl \langle }{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{i'i}v_{i'},{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}v_{j'}{\Bigr \rangle }\\[10mu]&=\sum _{i'}\sum _{j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{ii'}G_{i'j'}{\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}_{j'j}\\[8mu]&={\bigl (}G^{-1/2}GG^{-1/2}{\bigr )}_{ij}=\delta _{ij}\end{aligned}}}$

ここでは を使用しました。 ${\displaystyle {\bigl (}G^{-1/2}{\bigr )}^{\dagger }=G^{-1/2}}$

• 制御性グラミアン
• 可観測性グラミアン

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (第2版). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54823-6。

• 「グラム行列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• フランク・ジョーンズによる平行四辺形の体積