前シンプレクティック形式

数理物理学、特に幾何力学において、プレシンプレクティック形式とは、微分可能多様体上の幾何学的構造のことである。これはシンプレクティック形式の一般化である。

微分可能な多様体が与えられたとき、その上のシンプレクティック形式は、閉じていて非退化な微分2形式である。プレシンプレクティック形式は、非退化の要件を緩和する。代わりに、閉じていて、多様体上のすべての点で一定のランクを持つことだけが求められる。 ^{[ 1 ]}シンプレクティック形式は、非退化のおかげで、必然的に基礎となる多様体の次元に等しいランクを持つため、一定のランクを持つことに注意してください。^{[ 2 ]}

定義は標準化されていません。最近、HajdukとWalczakは、奇数次元の多様体上の最大ランクの閉じた微分2形式として前シンプレクティック形式を定義しました。^{[ 3 ]}これは次のように動機付けられます。偶数次元の多様体上には必ずシンプレクティック形式が存在するため、奇数次元の多様体にはシンプレクティック形式は存在しません。しかし、シンプレクティック形式は非退化性により、基となる多様体の次元に等しいランクを持つことが必須であり、これは多様体上で可能な最大ランクであるため、少なくとも可能な限り高いランクに到達しようと試みることはできます。

前シンプレクティック形式は、その下に明らかなシンプレクティック幾何学が存在しない物理システムを研究するために使用されてきました。例としては、特異なラグランジアンを持つ力学系、制約のあるハミルトン系、および制御理論などがあります。^{[ 4 ]}