ベクトル値微分形式

数学において、多様体M上のベクトル値微分形式は、ベクトル空間 V に値を持つ M 上の微分形式である。より一般的には、 M上のあるベクトル束Eに値を持つ微分形式である。通常の微分形式は、 R値微分形式 と見なすことができます。

ベクトル値微分形式の重要なケースは、リー代数値形式です。(接続形式はそのような形式の一例です。)

M を滑らかな多様体とし、E → MをM上の滑らかなベクトル束とする。束Eの滑らかな切断の空間をΓ( E ) で表す。p次のE値の微分形式は、 Mのコタンジェント束のp番目の外冪Λ ^p ( T ^∗ M )によるEのテンソル積束の滑らかな切断である。このような形式の空間は次のように表される。

${\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).}$

Γは強いモノイド関手なので^[1]、これは次のようにも解釈できる。

${\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

ここで、最後の 2 つのテンソル積は、M上の滑らかなR値関数の環Ω ⁰ ( M )上の加群のテンソル積です (ここの7 番目の例を参照)。慣例により、E値 0 形式はバンドルEの切断にすぎません。つまり、

${\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,}$

同様に、E値微分形式はバンドル射として定義できる。

${\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E}$

これは完全に歪対称です。

V を固定ベクトル空間とする。p次V値の微分形式は、自明バンドルM × Vに値を持つp次微分形式である。このような形式の空間は Ω ^p ( M , V ) と表記される。V = Rのとき、常微分形式の定義が復元される。Vが有限次元の場合、自然準同型が示される。

${\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),}$

ここで、最初のテンソル積はR上のベクトル空間の同型である。^[2]

通常の形式の場合と同様に、滑らかな写像によってベクトル値形式の引き戻しを定義できます。滑らかな写像 φ : M → NによるN上のE値形式の引き戻しは、 M上の(φ* E ) 値形式です。ここで、 φ* E はEのφ による引き戻しバンドルです。

式は通常の場合と同じように与えられる。N上の任意のE値p形式ωに対して、引き戻しφ*ωは次のように与えられる。

${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}$

通常の微分形式と同様に、ベクトル値形式のウェッジ積を定義することができます。E ₁値のp形式とE ₂値のq形式のウェッジ積は、自然に ( E ₁ ⊗ E ₂ ) 値の ( p + q ) 形式になります。

${\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}$

定義は、実数の乗算がテンソル積に置き換えられていることを除いて、通常の形式と同じです。

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

特に、通常の ( R値) p形式とE値q形式のウェッジ積は、自然にE値 ( p + q ) 形式になります ( Eと自明バンドルM × Rのテンソル積は自然にEと同型であるため)。 ω ∈ Ω ^p ( M ) および η ∈ Ω ^q ( M , E ) に対して、通常の可換関係が成り立ちます。

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}$

一般に、2つのE値形式のウェッジ積は別のE値形式ではなく、( E ⊗ E ) 値形式です。ただし、Eが代数バンドル(つまり、単なるベクトル空間ではなく代数のバンドル)である場合は、Eでの乗算と合成してE値形式を得ることができます。Eが可換で結合的な代数のバンドルである場合、この修正されたウェッジ積により、すべてのE値微分形式 の集合は

${\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}$

は次数可換結合代数となる。E のファイバーが可換でない場合、Ω( M , E )は次数可換ではない。

任意のベクトル空間Vに対して、 V値形式の空間上に自然な外微分が存在する。これは、 Vの任意の基底に対して成分ごとに作用する通常の外微分にすぎない。明示的には、 { e _{α } が}Vの基底である場合、 V値p形式の微分ω = ω ^α e _αは次のように与えられる。

${\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}$

V値形式の外微分は、通常の関係によって完全に特徴付けられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

より一般的には、上記の説明はEがM上の任意の平坦ベクトル束（つまり、遷移関数が定数であるベクトル束）であるE値形式に適用されます。外微分は、 Eの任意の局所自明化に対して上記のように定義されます。

Eが平坦でない場合、 E値形式に作用する外微分という自然な概念は存在しません。必要なのは、 E上の接続の選択です。 E 上の接続は、EのセクションをE値1形式に取る線型微分演算子です。

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}$

Eが接続∇を備えている場合、唯一の共変外微分が存在する。

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)}$

∇を拡張する。共変外微分は線形性によって特徴付けられ、方程式

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta }$

ここで、 ω はE値p形式であり、 η は通常のq形式です。一般に、 d _∇ ² = 0である必要はありません。実際、これは接続 ∇ が平坦である（つまり、曲率がゼロである） 場合にのみ発生します。

E → M をM上の階数kの滑らかなベクトル束とし、 π : F( E ) → M を E の（付随）フレーム束（ M 上の主GL k (  R )束）とします。 Eのπによる引き戻し_は、[ u , v ] → u ( v ) の逆関数を介して F( E ) × ρ R k に正​​準同型です。ここで ρ は標準表現です。したがって、 M 上のE値形式のπによる引き戻しは、 F ( E )上のR _k値^形式を決定します。この引き戻し形式^がGL k ( R ) の F( E ) × R k への_自然な作用に関して右同変^であり、垂直ベクトル（ d π の核内にある F( E ) への接ベクトル）上で消えることを確認するのは難しくありません。 F( E )上のこのようなベクトル値形式は特別な用語を必要とするほど重要であり、 F( E )上の基本形式またはテンソル形式と呼ばれます。

π  : P → Mを（滑らかな）主G束とし、V を固定ベクトル空間とし、ρ  : G → GL( V )という表現 を持つものとする。ρ 型のP上の基本形式またはテンソル形式は、次の意味で 同変かつ水平であるP上のV値形式 ωである。

1. ${\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,}$すべてのg ∈ Gに対して、そして
2. ${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0}$v _iのうち少なくとも 1 つが垂直である場合 (つまり、d π ( v _i ) = 0)。

ここでR _{g は}、あるg ∈ Gに対するGのPへの右作用を​​表します。0 形式の場合、2 番目の条件は空虚に真であることに注意してください。

例: ρ がリー代数上のGの随伴表現である場合、接続形式 ω は最初の条件を満たします (ただし、2 番目の条件は満たしません)。関連する曲率形式Ω は両方の条件を満たします。したがって、Ω は随伴型のテンソル形式です。2 つの接続形式の「差」はテンソル形式です。

Pとρ が上記のように与えられれば、関連するベクトル束 E = P × _ρ Vを構築できる。 P上のテンソルq形式は、 M上のE値q形式と自然に一対一に対応している。上記の主束 F( E )の場合と同様に、 Eに値を持つM上のq形式が与えられれば、 P 上の φ を、例えばuにおいて、 次のようにファイバーごとに定義する。${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}}$

ここで、u は線型同型とみなされる。φ はρ 型のテンソル形式となる。逆に、ρ 型のテンソル形式 φ が与えられた場合、同じ式はM上のE値形式を定義する（Chern–W​​eil 準同型を参照）。特に、ベクトル空間の自然な同型が存在する。 ${\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f}$。

例: E をMの接バンドルとします。このとき、恒等バンドル写像 id _E : E → EはM上のE値 1 形式です。トートロジー 1 形式は、 id _Eに対応するEのフレームバンドル上の一意の 1 形式です。θ で表され、標準型のテンソル形式です。

ここで、 P上に接続があり、 P上の（さまざまな）ベクトル値形式上の外共変微分 Dが存在すると仮定します。上記の対応により、D はE値形式にも作用します。∇ を次のように定義します。

${\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.}$

特にゼロ形式の場合、

${\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)}$。

これはまさにベクトル束E上の接続の共変微分である。^[3]

シーゲルモジュラー形式はシーゲルモジュラー多様体上のベクトル値微分形式として現れる。^[4]

• 小林昭七、野水勝己(1963) 『微分幾何学の基礎』第1巻、Wiley Interscience。