ヴィルティンガー不等式 (2 形式)

ヴィルティンガーにちなんで名付けられたその他の不等式については、ヴィルティンガーの不等式を参照してください。

数学において、ヴィルヘルム・ヴィルティンガーにちなんで名付けられたヴィルティンガー不等式は、複素線型代数における基本的な結果であり、エルミート内積のシンプレクティック形式と体積形式を関連付ける。ケーラー多様体のケーラー形式の正規化された外冪が較正であることを示すなど、複素幾何学において重要な結果をもたらす。

正定値内積g、シンプレクティック形式ω、およびほぼ複素構造Jを持つ実ベクトル空間を考えます。任意のベクトルuとvに対して、 ω ( u , v ) = g ( J ( u ), v )で結ばれています。すると、任意の正規直交ベクトルv ₁ , ..., v _{2 k}に対して、

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ 回}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.}$

等式が存在するのは、 v ₁ , ..., v _{2 k}の範囲がJの演算によって閉じている場合のみである。^[1]

形式のコマスの言語では、Wirtingerの定理は（等式がいつ達成されるかについては明確ではないが）形式ω∧⋅⋅⋅∧ωのコマスがk !に等しいと表現することもできる。^[1]

k = 1 の特別な場合では、Wirtingerの不等式はCauchy-Schwarzの不等式の特別な場合である。

${\displaystyle \omega (v_{1},v_{2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\ |v_{2}\|_{g}=1.}$

コーシー・シュワルツの不等式の等式ケースによれば、等式はJ ( v ₁ )とv _{2が同一線上にある場合にのみ発生し、これは}v ₁、v ₂の範囲がJ の下で閉じていることと同等です。

v ₁ , ..., v _{2 k}を固定し、T をそれらの範囲とします。すると、 Tの正規直交基底e ₁ , ..., e _{2 k}と双対基底w ₁ , ..., w _{2 k}が存在し、

${\displaystyle \iota ^{\ast }\omega =\sum _{j=1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{ 2j},}$

ここでι はTからVへの包含写像を表す。^[2]これは

${\displaystyle \underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^{\ast }\omega } _{k{\text{ 回}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},}$

それはつまり

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ 回}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,}$

ここで、不等式は、前に確立されたk = 1 の場合から導かれます。等式が成り立つ場合、k = 1 の等式の場合によれば、各iについてω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = ±1となるはずです。これは、ω ( e _{2 i − 1} , e _{2 i} ) = 1またはω ( e _{2 i} , e _{2 i − 1} ) = 1のいずれかに相当し、どちらの場合も ( k = 1 の場合から) e _{2 i − 1} , e _{2 i}の範囲がJの下で閉じていることを意味し、したがってe ₁、...、e _{2 k}の範囲がJの下で閉じていることを意味します。

最後に、量の依存性

${\displaystyle (\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ 回}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})}$

v ₁、...、v _{2 k}に関する問題は、量v ₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ v _{2 k}についてのみ問題となり、 v ₁、...、v _{2 k}に関する正規直交性条件から、このウェッジ積は符号を除いて明確に決定されます。 これは、e ₁、...、e _{2 k}に関する上記の作業と、 v ₁、...、v _{2 k}に関する目的の記述を関連付けます。

エルミート計量を持つ複素多様体が与えられたとき、Wirtingerの定理は、任意の2 k次元埋め込み部分多様体Mに対して、

${\displaystyle \operatorname {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},}$

ここでω は計量のケーラー形式である。さらに、等式はM が複素部分多様体である場合にのみ達成される。^{[3]エルミート計量が}ケーラー条件を満たす特別な場合、これは次のことを意味する⁠1/きっ！⁠ ω ^kは基礎となるリーマン計量の較正であり、対応する較正された部分多様体は複素次元kの複素部分多様体である。 ^[4]これは特に、ケーラー多様体のすべての複素部分多様体は極小部分多様体であり、そのホモロジー類のすべての部分多様体の中で体積が最小であることを示している。

ヴィルティンガー不等式を用いると、これらの事実はケーラー多様体における電流のより複雑な文脈にまで拡張される。 ^[5]

• 複素射影空間におけるグロモフの不等式
• 収縮期幾何学

• フェデラー、ハーバート（1969年）。幾何測度理論。 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 153. ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク: Springer-Verlag。土井：10.1007/978-3-642-62010-2。ISBN 978-3-540-60656-7. MR  0257325. Zbl  0176.00801.
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1978）。代数幾何学の原理。純粋および応用数学。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-32792-1. MR  0507725. Zbl  0408.14001.
• Harvey, Reese ; Lawson, H. Blaine Jr. (1982). 「Calibrated Geometries」. Acta Mathematica . 148 : 47–157. doi : 10.1007/BF02392726 . MR  0666108. Zbl  0584.53021.
• McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2017).シンプレクティックトポロジー入門. Oxford Graduate Texts in Mathematics (1995年初版第3版). オックスフォード:オックスフォード大学出版局. doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879490-5MR 3674984.  Zbl 1380.53003  .
• ウィルティンガー、W. (1936)。 「Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf Analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Maßbestimmung」。数学と物理学のモナトシェフ。44 : 343–365。土井：10.1007/BF01699328。MR  1550581。Zbl 0015.07602  。