位相多様体

位相幾何学において、位相多様体は、局所的に実n次元ユークリッド空間に似た位相空間である。位相多様体は、数学全体にわたって応用される重要な位相空間のクラスである。定義により、すべての多様体は位相多様体であるため、「位相的」という修飾語は、追加の構造がないことを強調する。例えば、微分可能な多様体は、微分構造を備えた位相多様体である。すべての多様体には、追加された構造を単に「忘れる」ことによって得られる「基礎となる」位相多様体がある。^[¹^]ただし、すべての位相多様体に特定の追加構造を与えることができるわけではない。例えば、E8 多様体は、微分可能な構造を与えることができない位相多様体である。

正式な定義

位相空間Xは、非負整数nが存在し、 Xのすべての点が実 n 空間R ⁿの開部分集合と同相な近傍を持つ場合、局所的にユークリッドであると呼ばれる。^[²^]

位相多様体は局所ユークリッドハウスドルフ空間である。位相多様体には追加の要件を課すことが一般的である。特に、多くの著者は位相多様体をパラコンパクト^{[ 3 ]}または第2可算^[²^]であると定義している。

この記事の残りの部分では、多様体とは位相多様体を意味するものとする。n次元多様体とは、すべての点がR ⁿと同相な近傍を持つような位相多様体を意味するものとする。

例

n次元多様体

実座標空間R ⁿはn次元多様体である。
任意の離散空間は0次元多様体である。
円はコンパクトな1次元多様体である。
トーラスとクラインの壺はコンパクトな2次元多様体（または曲面）です。
n次元球面S ⁿはコンパクトなn次元多様体である。
n 次元トーラスT ⁿ （ n個の円の積）はコンパクトなn次元多様体である。

射影多様体

実数、複素数、または四元数上の射影空間はコンパクト多様体である。
- 実射影空間RP ⁿはn次元多様体である。
- 複素射影空間CP ⁿは2 n次元多様体である。
- 四元数射影空間HP ⁿは 4 n次元多様体である。
射影空間に関連する多様体には、グラスマン多様体、旗多様体、シュティーフェル多様体などがある。

その他の多様体

微分可能多様体は、微分構造を備えた位相多様体のクラスである。
レンズ空間とは、奇数次元球面の商空間である微分可能多様体の一種である。
リー群とは、適合する群構造を備えた微分可能多様体のクラスである。
E8多様体は、微分可能な構造を与えることができない位相多様体である。

物件

局所ユークリッドであるという性質は、局所同相写像によって保持される。すなわち、Xがn次元の局所ユークリッド空間であり、f : Y → Xが局所同相写像であるならば、Yはn次元の局所ユークリッド空間である。特に、局所ユークリッドであることは位相的性質である。

多様体は、ユークリッド空間の多くの局所的な性質を受け継いでいます。特に、局所コンパクト性、局所連結性、第一可算性、局所縮約性、局所距離化可能性を備えています。局所コンパクト・ハウスドルフ空間である多様体は、必然的にチコノフ空間となります。

ハウスドルフ条件を加えることで、多様体のいくつかの性質が等価になることがあります。例として、ハウスドルフ多様体の場合、σコンパクト性と第二可算性の概念が同じであることを示すことができます。実際、ハウスドルフ多様体は局所的にコンパクトなハウスドルフ空間であるため、（完全に）正則です。^{[ 4 ]}このような空間 X が σコンパクトであると仮定します。すると、X はリンデレーフであり、リンデレーフ + 正則はパラコンパクトを意味するため、X は距離化可能です。しかし、距離化可能な空間では、第二可算性とリンデレーフであることは一致するため、X は第二可算です。逆に、X がハウスドルフ第二可算多様体である場合、X は σコンパクトでなければなりません。^{[ 5 ]}

多様体は必ずしも連結である必要はないが、すべての多様体Mは連結多様体の非交和である。これらはMの連結成分であり、多様体は局所的に連結であるため、開集合となる。局所的に経路連結であるということは、多様体が経路連結であるのは、それが連結である場合に限るということである。したがって、経路成分は連結成分と同じである。

ハウスドルフの公理

ハウスドルフ性は局所的な性質ではないため、ユークリッド空間がハウスドルフであっても、局所ユークリッド空間が必ずしもそうであるとは限りません。ただし、すべての局所ユークリッド空間が T _{1 で}あることは事実です。

ハウスドルフ空間ではない局所ユークリッド空間の一例として、2つの原点を持つ直線が挙げられます。この空間は、実数直線の原点を2つの点に置き換えることで作成されます。これらの2点のどちらかの近傍には、0を中心とするある開区間内のすべての非ゼロ数が含まれます。この空間は、2つの原点を分離できないため、ハウスドルフ空間ではありません。

コンパクト性と可算性の公理

多様体は、パラコンパクトである場合に限り、距離化可能である。長い線は、距離化可能でもパラコンパクトでもない、通常のハウスドルフ1 次元位相多様体の例である。距離化可能性は位相空間にとって望ましい性質であるため、多様体の定義にパラコンパクト性を加えるのが一般的である。いずれにせよ、非パラコンパクト多様体は一般に病的であるとみなされる。パラコンパクト多様体は、距離空間のすべての位相的性質を持つ。特に、それらは完全に通常のハウスドルフ空間である。

Manifolds are also commonly required to be second-countable. This is precisely the condition required to ensure that the manifold embeds in some finite-dimensional Euclidean space. For any manifold the properties of being second-countable, Lindelöf, and σ-compact are all equivalent.

Every second-countable manifold is paracompact, but not vice versa. However, the converse is nearly true: a paracompact manifold is second-countable if and only if it has a countable number of connected components. In particular, a connected manifold is paracompact if and only if it is second-countable. Every second-countable manifold is separable and paracompact. Moreover, if a manifold is separable and paracompact then it is also second-countable.

Every compact manifold is second-countable and paracompact.

Dimensionality

By invariance of domain, a non-empty n-manifold cannot be an m-manifold for n ≠ m.^[6] The dimension of a non-empty n-manifold is n. Being an n-manifold is a topological property, meaning that any topological space homeomorphic to an n-manifold is also an n-manifold.^[7]

Coordinate charts

By definition, every point of a locally Euclidean space has a neighborhood homeomorphic to an open subset of $\mathbb {R} ^{n}$ . Such neighborhoods are called Euclidean neighborhoods. It follows from invariance of domain that Euclidean neighborhoods are always open sets. One can always find Euclidean neighborhoods that are homeomorphic to "nice" open sets in $\mathbb {R} ^{n}$ . Indeed, a space M is locally Euclidean if and only if either of the following equivalent conditions holds:

every point of M has a neighborhood homeomorphic to an open ball in $\mathbb {R} ^{n}$ .
every point of M has a neighborhood homeomorphic to $\mathbb {R} ^{n}$ itself.

A Euclidean neighborhood homeomorphic to an open ball in $\mathbb {R} ^{n}$ is called a Euclidean ball. Euclidean balls form a basis for the topology of a locally Euclidean space.

For any Euclidean neighborhood U, a homeomorphism $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$ は、 U上の座標図 と呼ばれます(ただし、「図」という言葉は、このような地図の定義域または値域を指す場合によく使われます)。空間Mが局所的にユークリッド空間であるのは、それがユークリッド近傍で覆われる場合に限ります。Mを覆うユークリッド近傍の集合と、それらの座標図を合わせて、M上のアトラスと呼びます (この用語は、球状の地球儀を平面地図や図表のアトラスで記述できるという地図学のアナロジーに由来します)。

2つのグラフが与えられた場合 $\phi$ そして $\psi$ 重複する領域UとVには遷移関数が存在する

\psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)

このような写像は、開部分集合間の同相写像である。 $\mathbb {R} ^{n}$ つまり、座標チャートは同相写像まで重なりが一致する。異なるタイプの多様体は、許容される遷移写像の種類に制限を設けることによって定義できる。たとえば、微分可能な多様体の場合、遷移写像は滑らかでなければならない。

多様体の分類

離散空間（0多様体）

0多様体は単なる離散空間である。離散空間が第二可算であるのは、それが可算である場合に限る。^{[ 7 ]}

曲線（1次元多様体）

空でないパラコンパクト連結1多様体はすべて、Rまたは円のいずれかと同相である。^{[ 7 ]}

曲面（2次元多様体）

空でないコンパクト連結2次元多様体（または曲面）はすべて、球面、連結トーラスの和、または連結射影平面の和と同相である。^{[ 8 ]}

ボリューム（3次元多様体）

3次元多様体の分類は、2003年にグリゴリー・ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想から生じる。より具体的には、ペレルマンの結果は、2つの3次元多様体が互いに同相であるかどうかを判定するアルゴリズムを提供する。^[⁹^]

一般n次元多様体

nが3より大きい場合のn多様体の完全な分類は不可能であることが知られています。これは、アルゴリズム的に決定不可能であることが知られている群論の単語問題と少なくとも同程度に困難です。^[¹⁰^]

実際、与えられた多様体が単連結であるかどうかを判定するアルゴリズムは存在しない。ただし、次元が 5 以上の単連結多様体の分類は存在する。^[¹¹^]^[¹²^]

境界を持つ多様体

もう少し一般的な概念が役立つ場合もある。境界を持つ位相多様体とは、すべての点がユークリッド半空間の開部分集合と同相な近傍を持つハウスドルフ空間である（ nは固定）。

\mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.

すべての位相多様体は境界を持つ位相多様体であるが、その逆は成り立たない。^{[ 7 ]}

建設

他の多様体から多様体を作成する方法はいくつか存在する。

製品マニホールド

Mがm多様体でNがn多様体である場合、積位相が与えられたときのデカルト積M × Nは ( m + n ) 多様体である。^[¹³^]

互いに素な和集合

可算個のn次元多様体の非交和はn次元多様体である（構成要素はすべて同じ次元でなければならない）。^[⁷^]

連結和

2 つのn次元多様体の連結和は、各多様体から開球を取り除き、結果として得られる境界を持つ多様体の非交和の商を、取り除かれた球の境界球間の同相写像に関して取ることによって定義されます。これにより、別のn次元多様体が得られます。^[⁷^]

部分多様体

n次元多様体の任意の開部分集合は、部分空間位相を持つn次元多様体である。^[¹³^]

脚注

↑ Rajendra Bhatia (2011年6月6日).国際数学者会議議事録：ハイデラバード、2010年8月19日～27日. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9。
1 2 John M. Lee (2006年4月6日). Introduction to Topological Manifolds . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6。
↑ティエリー・オーバン (2001).微分幾何学入門. アメリカ数学会. pp. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7。
↑トポスペースのサブウィキ、局所的にコンパクトなハウスドルフ空間は完全に正則であることを意味する
↑ Stack Exchange、ハウスドルフ局所コンパクトかつ第2可算集合はシグマコンパクト
↑ Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology . European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7。
1 2 3 4 5 6 John Lee (2010年12月25日). Introduction to Topological Manifolds . Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7。
↑ Jean Gallier; Dianna Xu (2013年2月5日).コンパクト曲面の分類定理の手引き. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3。
↑ 3次元多様体の幾何化。欧州数学会。2010年。ISBN 978-3-03719-082-1。
↑ Lawrence Conlon (2013年4月17日). Differentiable Manifolds: A First Course . Springer Science & Business Media. pp. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0。
↑ Žubr AV (1988) 単連結位相6多様体の分類。Viro OY、Vershik AM (編) 位相幾何学と幾何学 ― ローリンセミナー。数学講義ノート、第1346巻。Springer、ベルリン、ハイデルベルク
↑ Barden, D.「単連結5次元多様体」Annals of Mathematics、第82巻、第3号、1965年、365-385頁。JSTOR、www.jstor.org/stable/1970702。
1 2ジェフリー・リー、ジェフリー・マーク・リー (2009)。多様体と微分幾何学。アメリカ数学会。pp. 7–。ISBN 978-0-8218-4815-9。

参考文献

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カービー、ロビオン・C.、シーベンマン、ローレンス・C. (1977).位相多様体の基礎論：平滑化と三角分割(PDF) . プリンストン：プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08191-3。
Lee, John M. (2000).位相多様体入門. 大学院数学テキスト202.ニューヨーク: Springer. ISBN 0-387-98759-2。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある数学的多様体に関するメディア

[Bhatia2011-1] Rajendra Bhatia (2011年6月6日).国際数学者会議議事録：ハイデラバード、2010年8月19日～27日. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9。

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[4] トポスペースのサブウィキ、局所的にコンパクトなハウスドルフ空間は完全に正則であることを意味する

[5] Stack Exchange、ハウスドルフ局所コンパクトかつ第2可算集合はシグマコンパクト

[Dieck2008-6] Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology . European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7。

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[9] 3次元多様体の幾何化。欧州数学会。2010年。ISBN 978-3-03719-082-1。

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[11] Žubr AV (1988) 単連結位相6多様体の分類。Viro OY、Vershik AM (編) 位相幾何学と幾何学 ― ローリンセミナー。数学講義ノート、第1346巻。Springer、ベルリン、ハイデルベルク

[12] Barden, D.「単連結5次元多様体」Annals of Mathematics、第82巻、第3号、1965年、365-385頁。JSTOR、www.jstor.org/stable/1970702。

[LeeLee2009-13] 1 2ジェフリー・リー、ジェフリー・マーク・リー (2009)。多様体と微分幾何学。アメリカ数学会。pp. 7–。ISBN 978-0-8218-4815-9。

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