等角幾何学

数学において、共形幾何学は、空間上の 角度を保存する（共形）変換の集合を研究する分野です。

実際の 2 次元空間では、共形幾何学はまさにリーマン面の幾何学です。2 次元を超える空間では、共形幾何学は、いわゆる「平坦な空間」(ユークリッド空間や球など) の共形変換の研究、またはスケールまで定義される計量のクラスを持つリーマン多様体または擬似リーマン多様体である共形多様体の研究のいずれかを指します。平坦な構造の研究は、メビウス幾何学と呼ばれることもあり、クライン幾何学の一種です。

共形多様体とは、計量テンソルの同値類を備えた擬リーマン多様体であり、その中で2つの計量gとhが同値となるのは、

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

ここで、λ は多様体上で定義された実数値の滑らかな関数であり、共形因子と呼ばれます。このような計量の同値類は、共形計量または共形クラスとして知られています。したがって、共形計量は、「スケールまで」のみ定義された計量と見なすことができます。多くの場合、共形計量は、共形クラス内の計量を選択し、選択した計量に「共形不変」の構成のみを適用することによって処理されます。

共形計量が共形平坦であるとは、それを表す計量が平坦である場合、つまりリーマン曲率テンソルがゼロである場合に該当する。共形類では、各点の開近傍で平坦な計量を見つけることしかできない可能性がある。これらの場合を区別する必要がある場合、後者は局所共形平坦と呼ばれるが、文献では区別がない場合も多い。n球面は、この意味では大域的には共形平坦ではない局所共形平坦多様体であるが、ユークリッド空間、トーラス、またはユークリッド空間の開部分集合で覆われる任意の共形多様体は、この意味で (大域的に) 共形平坦である。局所共形平坦多様体は、メビウス幾何学に局所的に共形であり、つまり、多様体からメビウス幾何学への局所微分同相写像を保存する角度が存在する。2 次元では、すべての共形計量は局所的に共形平坦である。n > 3次元では、共形計量が局所的に共形平坦となるのは、そのワイルテンソルがゼロになる場合のみです。n = 3次元では、コットンテンソルがゼロになる場合のみです。

共形幾何学には、（擬）リーマン幾何学とは異なる特徴がいくつかあります。第一に、（擬）リーマン幾何学では各点に明確に定義された計量がありますが、共形幾何学では計量のクラスしかありません。したがって、接ベクトルの長さは定義できませんが、2 つのベクトル間の角度は定義できます。もう 1 つの特徴は、レヴィ＝チヴィタ接続がないことです。これは、gとλ ² g が共形構造の 2 つの代表である場合、 gとλ ² gのクリストッフェル記号が一致しないためです。λ ² gに関連するものには関数 λ の導関数が含まれますが、gに関連するものには含まれません。

これらの違いにもかかわらず、共形幾何学は依然として扱いやすい。レヴィ・チヴィタ接続と曲率テンソルは、共形構造の特定の代表が選ばれた場合にのみ定義されるが、異なる代表が選ばれた場合には、 λとその導関数を含む特定の変換法則を満たす。特に、（3 より高い次元では）ワイルテンソルはλに依存しないことが判明しており、そのため、それは共形不変量である。さらに、共形多様体上にレヴィ・チヴィタ接続が存在しない場合でも、代わりに共形接続を扱うことができ、これは、関連するメビウス幾何学に基づいてモデル化された一種のカルタン接続として、またはワイル接続として扱うことができる。これにより、共形曲率や共形構造の他の不変量 を定義できる。

メビウス幾何学は、「無限遠に点が追加されたユークリッド空間」、または「無限遠にヌル円錐が追加されたミンコフスキー（または擬ユークリッド）空間」の研究です。つまり、設定はよく知られた空間のコンパクト化であり、幾何学は角度を保存することの意味合いに関係しています。

抽象レベルでは、ユークリッド空間と擬ユークリッド空間は、次元が 2 の場合を除いて、ほぼ同じ方法で扱うことができます。コンパクト化された 2 次元ミンコフスキー平面は、広範な共形対称性を示します。形式的には、その共形変換群は無限次元です。対照的に、コンパクト化されたユークリッド平面の共形変換群は 6 次元のみです。

平面上のミンコフスキー二次形式q ( x , y ) = 2 xyの共形群はアーベルリー群である。

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

リー代数 cso (1,1)はすべて実対角2×2行列からなる。

ここで、メトリックを備えた ミンコフスキー平面を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

1パラメータの共形変換群は、 Xに沿ったgのリー微分がgに比例するという性質を持つベクトル場Xを生み出す。記号的に言えば、

  あるλに対してL _X g = λg となる。

特に、上記のリー代数cso (1, 1)の記述を用いると、これは次のことを意味する。

1. L _x   dx = a ( x ) dx
2. L _x   dy = b ( y ) dy

実数値関数aとbはそれぞれxとyに依存します。

逆に、そのような実数値関数のペアが与えられた場合、 1. および 2. を満たすベクトル場X が存在する。したがって、共形構造の無限小対称性のリー代数、つまりウィット代数は無限次元である。

ミンコフスキー平面の共形コンパクト化は、2つの円S ¹ × S ¹の直積である。普遍被覆上では、無限小対称性の積分に障害はないので、共形変換の群は無限次元リー群である。

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

^ここでDiff( S1 )は円の微分同相群である。 ^[1]

共形群CSO(1, 1)とそのリー代数は、2次元共形場理論において現在注目されている。

二次形式の共形対称群

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

は、複素数の乗法群である群GL ₁ ( C ) = C ^{×です。そのリー代数は}gl ₁ ( C ) = Cです。

計量関数を備えた （ユークリッド）複素平面を考える

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

無限小共形対称性は

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

ここで、f はコーシー・リーマン方程式を満たすので、その定義域上で正則です。(ウィット代数を参照してください。)

したがって、領域の等角等長写像は正則自己写像から構成される。特に、等角コンパクト化（リーマン球面）上では、等角変換はメビウス変換によって与えられる。

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

ここで、ad − bcはゼロ以外です。

2 次元では、空間の共形自己同型群は非常に大きくなる場合 (ローレンツ シグネチャの場合) や、変化する場合があります (ユークリッド シグネチャの場合)。2 次元の場合が高次元の場合と比べて比較的剛性が低いのは、構造の微小自己同型の漸近展開が比較的制約を受けないという解析的事実によるものです。ローレンツ シグネチャでは、自由度は実数値関数のペアにあります。ユークリッドでは、自由度は単一の正則関数にあります。

高次元の場合、無限小対称性の漸近展開はせいぜい2次多項式である。^[2] 特に、それらは有限次元リー代数を形成する。多様体の点ごとの無限小共形対称性は、多様体が特定のモデルの共形平坦空間である場合に正確に積分することができる（普遍被覆と離散群商を取るまで）。 ^[3]

共形幾何学の一般理論は、ユークリッドシグネチャと擬ユークリッドシグネチャの場合で多少の違いはあるものの、類似している。^[4] いずれの場合でも、共形平坦幾何学のモデル空間を導入する方法はいくつかある。文脈から特に明らかでない限り、この記事ではユークリッド共形幾何学の場合を扱い、それが擬ユークリッドの状況に も準用すれば適用されることを理解している。

共形幾何学の逆モデルは、球面上の反転によって生成されるユークリッド空間 E ⁿ上の局所変換の群から構成されます。リウヴィルの定理により、角度を保存する任意の局所（共形）変換はこの形式になります。^{[5]この観点から、平坦共形空間の変換特性は}、逆幾何学 の変換特性と同じです。

射影モデルは、共形球面を射影空間内の特定の2次曲面と同一視する。qをR ^{n +2}上のローレンツ2次形式とし、次のように定義される。

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

射影空間P ( R ^{n +2} ) において、S をq = 0の軌跡とします。すると、S は共形幾何学の射影 (またはメビウス) モデルになります。S上の共形変換は、二次曲面を不変にする P ( R ^{n +2} )の射影線型変換です。

関連する構成では、二次曲面S はミンコフスキー空間R ^{n +1,1}のヌル円錐の無限遠天球として考えられ、これは上記の 二次形式qを備えている。ヌル円錐は次のように定義される。

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

これは射影二次曲面S上のアフィン円錐です。N ^{+ を}ヌル円錐の未来部分（原点を削除したもの）とします。すると、トートロジー射影R ^{n +1,1} \ {0} → P ( R ^{n +2} )は射影N ⁺ → Sに制限されます。これにより、N ^{+ は}S上の線束の構造を持ちます。S上の等角変換は、R ^{n +1,1}の直交ローレンツ変換によって誘導されます。これは、これらが未来ヌル円錐を保存する同次線型変換であるためです。

直感的には、球面の共形平坦幾何学は、球面のリーマン幾何学よりも剛性が低い。球面の共形対称性は、そのすべての超球面における反転によって生成される。一方、球面のリーマン等長変換は、測地線超球面における反転によって生成される（カルタン・デュドネの定理を参照）。ユークリッド球面は、標準的な方法で共形球面にマッピングできるが、その逆はできない。

ユークリッド単位球面はR ^{n +1}における軌跡である。

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

これをミンコフスキー空間R ^{n +1,1}に写像するには、

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

この変換による球の像はミンコフスキー空間では零であり、したがって円錐N ^{+上にあることが容易に分かる。その結果、線束}N ⁺ → Sの断面が決定される。

しかし、そこには恣意的な選択があった。κ ( x ) がx = ( z , x ₀ , ..., x _n )の任意の正関数である場合、割り当て

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

はN ⁺への写像も与えます。関数κ は等角スケールの任意の選択です。

球面上の代表的なリーマン計量は、標準球面計量に比例する計量である。これにより、球面は共形多様体として実現される。標準球面計量は、R ^{n +1上のユークリッド計量の制限である。}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

球体に

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

gの共形表現はλ ² gの形の計量であり、ここでλ は球面上の正関数である。gの共形類は[ g ] と表記され、このような表現すべての集合である。

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

前の節のように、ユークリッド球面をN ⁺に埋め込むと、 S上の共形スケールが決定されます。逆に言えば、S上の任意の共形スケールは、このような埋め込みによって与えられます。したがって、直線束N ⁺ → S は、 S上の共形スケールの束と同一視されます。この束の切断を与えることは、共形クラス [ g ]の計量を指定することと同じです。

代表計量を実現する別の方法は、R ^{n +1, 1}上の特別な座標系を使用することです。ユークリッドn球面S が立​​体座標系を持っていると仮定します。これは、次のR ⁿ → S ⊂ R ^{n +1}のマップで構成されます。

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

これらの立体座標系では、ミンコフスキー空間のヌルコーンN ⁺上の座標系を与えることができる。上記の埋め込みを使用すると、ヌルコーンの代表的な計量断面は

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

N ^{+ の}拡大に対応する新しい変数t を導入し、ヌルコーンを次のように座標化する。

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

最後に、ρをN ⁺の次の定義関数とします。

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

R ^{n +1,1}上のt、ρ、y座標では、ミンコフスキー計量は次の形になります。

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

ここで、g _{ij は}球面上の計量です。

これらの用語では、バンドルN ⁺のセクションは、ヌルコーンρ = 0に沿ったy ⁱの関数として変数t = t ( y ⁱ )の値の指定で構成されます。これにより、 S上の共形計量の次の表現が得られます。

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

まず、ユークリッド署名の平坦共形幾何学の場合を考えます。n次元モデルは、( n + 2)次元ローレンツ空間R ^{n +1,1}の天球です。ここで、モデルはクライン幾何学、すなわち、 ( n + 2 )次元ローレンツ空間R ^{n +1,1}に作用する同次空間G / Hであり、Hは光円錐内の固定されたヌル光線の等方性群です。したがって、共形平坦モデルは反転幾何学の空間です。計量署名( p、q )の擬ユークリッドの場合、モデル平坦幾何学は同様に同次空間O( p + 1、q + 1)/ Hとして定義されます。ここで、Hは再びヌル線の安定子として取られます。ユークリッドと擬ユークリッドのモデル空間は両方ともコンパクトであることに注意してください。

平坦モデル空間に含まれる群と代数を記述するには、R ^{p +1, q +1}に次の形式を固定します。

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

ここで、Jはシグネチャ( p , q )の2次形式である。すると、G = O( p +1, q +1)は、 Q  : ^tMQM = Qを安定させる( n +2)×( n +2)行列から構成される。リー代数はカルタン分解を許容する。

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

あるいは、この分解はR ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗で定義された自然なリー代数構造と一致する。

最後の座標ベクトルを指すヌル光線の安定子はボレル部分代数によって与えられる。

h = g ₀ ⊕ g _{1 です}。

• 共形幾何代数
• 共形重力
• 共形キリング方程式
• エアランゲンプログラム
• メビウス平面

• 小林昭七 (1970)。微分幾何学における変換群（初版）。シュプリンガー。ISBN 3-540-05848-6。
• スロバキア、ヤン (1993)。共形多様体上の不変演算子。ウィーン大学研究講義ノート (論文)。
• シュロモ・スターンバーグ（1983年）。微分幾何学講義。ニューヨーク：チェルシー。ISBN 0-8284-0316-3。

ウィキメディア・コモンズには、等角幾何学に関連するメディアがあります。

• GV Bushmanova (2001) [1994]、「共形幾何学」、数学百科事典、EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm