分岐定理

数学において、分岐定理はリーマン面に関する定理です。直感的には、すべての非定数正則関数は局所的に多項式であると述べています。

とをリーマン面とし、を非定数正則写像とする。点を固定し、 とする。すると、と上にチャートが存在 し、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle b:=f(a)\in Y}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \psi _{1}:U_{1}\to V_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \psi _{2}:U_{2}\to V_{2}}$${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle \psi _{1}(a)=\psi _{2}(b)=0}$; そして
• ${\displaystyle \psi _{2}\circ f\circ \psi _{1}^{-1}:V_{1}\to V_{2}}$は${\displaystyle z\mapsto z^{k}.}$

この定理からいくつかの定義が生まれます。

• におけるの重複度を と呼びます。著者によってはこれを と表記する人もいます。${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \nu (f,a)}$
• の場合、その点はの分岐点と呼ばれます。${\displaystyle k>1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$
• に分岐点がない場合、それは非分岐射と呼ばれます。非分岐射も参照してください。${\displaystyle f}$

• アルフォース、ラース（1953）、複素解析（第3版）、マグロウヒル（1979年出版）、ISBN 0-07-000657-1。