属 g 表面

数学において、種数g面( gトーラスまたはg穴付きトーラスとも呼ばれる) は、 g個の異なるトーラスの連結和によって形成される面です。つまり、 g 個の異なるトーラスのそれぞれから円板の内部が除去され、 g個の円板の境界が識別され (互いに接着され)、 gトーラスが形成されます。このような面の種数はgです。

種数gの曲面は2 次元 多様体です。曲面の分類定理によれば、すべてのコンパクト 連結2 次元多様体は、球面、トーラスの連結和、または実射影平面の連結和のいずれかに同相です。

連結された有向曲面の種数は、結果として得られる多様体が不連続にならないように、交差しない単純な閉じた曲線に沿った切断の最大数を表す整数です。 ^{[1]それはその上の}ハンドルの数に等しくなります。あるいは、閉じた曲面の場合、種数を gとして、オイラー特性χに関してχ  = 2 − 2 gという関係式で定義することもできます。

連結された非向き付け閉曲面の種数（半種数またはオイラー種数と呼ばれることもある）は、球に取り付けられたクロスキャップの数を表す正の整数です。あるいは、閉曲面に対して、χ = 2 − g （ gは非向き付け閉曲面の種数 ）の関係を介して、オイラー特性χによって定義することもできます。

種数 0 の向き付け可能な面は球面 S ²です。種数 0 の別の面は円板です。

• 種数0の曲面の表現
• 
  球体${\displaystyle S^{2}}$
• 
  閉じた円盤（境界あり）
• 
  ヒーウッド予想によれば、最大4つの隣接する領域で色付けできる。

種数1の向き付け可能な曲面は通常のトーラスである。種数1の向き付け不可能な曲面は射影平面である。^[2]

複素数上の楕円曲線は種数1の曲面と同一視できる。楕円曲線をトーラスの複素射影平面への埋め込みとして定式化することは、楕円曲線を格子による複素平面の商から得ることができるというワイエルシュトラスの楕円関数の性質から自然に導かれる。^[3]

• 種数1の表面の表現
• 
  種数1のトーラス
• 
  最大7つの隣接する領域で色付けできる
• 
  楕円曲線

二重トーラスという用語は、種数2の表面を表すために時々使用されます。^{[4] [5]} 種数2の向き付け不可能な表面はクラインの壺です。

ボルツァ面は、最大の共形自己同型群 を持つという意味で、種数2の最も対称的なリーマン面である。^[6]

• 種数2の曲面の表現
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  種数2のトーラス
• 
  最大8つの隣接する領域で色付けできる

三重トーラスという用語は、種数3の表面を表すためにも時々使用される。^{[7] [5]}

クラインの四次面は、種数3のコンパクトリーマン面の最高次自己同型群を持つ種数 3 のコンパクト リーマン面です。向きを保存する自己同型が168 個あり、全部で336 個の自己同型があります。

• いくつかの種数3の曲面
• 
  3つのハンドルが付いた球体
• 
  3つのトーラスの連結和
• 
  トリプルトーラス
• 
  最大9つの隣接する領域で色付けできる
• 
  対辺が特定された十二角形^[8]
• 
  対辺が特定された14角形^[8]

• 3トーラス
• g-トーラスノット

• James R. Munkres、『トポロジー、第 2 版』、Prentice-Hall、2000 年、ISBN 0-13-181629-2。 
• ウィリアム・S・マッセイ『代数的位相幾何学：入門』ハーバース社、1967年。