アベル・ヤコビ地図

数学において、アーベル・ヤコビ写像は、代数曲線とそのヤコビ多様体を関連付ける代数幾何学の構成法である。リーマン幾何学においては、多様体をそのヤコビトーラスに写像する、より一般的な構成法である。この名称は、2つの有効因子が線形同値であるのは、それらがアーベル・ヤコビ写像の下で区別できない場合に限る、というアーベルとヤコビの定理に由来する。

複素代数幾何学では、曲線Cのヤコビアンを経路積分を用いて構成します。すなわち、Cの種数がgであると仮定すると、位相的には次のようになります。

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

幾何学的には、この相同群はCのサイクル（相同類）から構成され、言い換えれば閉じたループです。したがって、2 gループを選択できます。${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}}$それを生成する。一方、Cの種数がgであることを示す別のより代数幾何学的な方法は次のとおりである。

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

ここで、KはC上の標準束である。

定義により、これはC上の大域的に定義された正則微分形式の空間であるため、 g を線形独立な形式として選択することができる。$\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$与えられた形式と閉じたループは積分することができ、2つのgベクトルを定義します。

$\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

リーマン双線形関係から、$\displaystyle \Omega _{j}}$非退化格子を生成する${\displaystyle \Lambda }$（つまり、それらは本当の基盤です$\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$）、ヤコビアンは次の式で定義される。

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

アーベル・ヤコビ写像は次のように定義される。まず、基点を選ぶ。${\displaystyle p_{0}\in C}$そして、定義をほぼ模倣して${\displaystyle \Lambda ,}$マップを定義する

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

これは一見、${\displaystyle p_{0}}$に${\displaystyle p,}$このようなパスの 2 つは、閉ループを定義します。${\displaystyle C}$したがって、${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$そのため、その上での積分は、${\displaystyle \Lambda .}$したがって、商への移行において、その差は消去される。${\displaystyle \Lambda }$基準点の変更${\displaystyle p_{0}}$地図は変化するが、それはトーラスの平行移動によるものだけだ。

させて${\displaystyle M}$を滑らかなコンパクト多様体とする。${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$をその基本群とする。${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$をそのアーベル化写像とする。${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$ねじれ部分群は$\displaystyle \pi ^{ab}}$。 させて${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ねじれによる商とする。${\displaystyle M}$表面であり、${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$非正準的に同型である${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$、 どこ${\displaystyle g}$は属名です。より一般的には、${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$非正準的に同型である${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$、 どこ${\displaystyle b}$は最初のベッティ数です。${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$合成準同型写像とする。

定義。表紙${\displaystyle {\bar {M}}}$多様体の${\displaystyle M}$サブグループに対応する${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$これは普遍的（または最大）自由アーベル被覆と呼ばれます。

ここで仮定すると${\displaystyle M}$はリーマン計量を持つ。${\displaystyle E}$調和1形式の空間を${\displaystyle M}$デュアル${\displaystyle E^{*}}$正統的に識別される${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$基点から経路に沿って積分調和1形式を積分することにより${\displaystyle x_{0}\in M}$円への地図が得られます${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$。

同様に、マップを定義するには${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$コホモロジーの基底を選択せず​​に、以下のように議論します。${\displaystyle x}$普遍カバー内の点となる$\displaystyle {\tilde {M}}}$の${\displaystyle M}$。 したがって${\displaystyle x}$は、${\displaystyle M}$道と共に${\displaystyle c}$から${\displaystyle x_{0}}$それへ。経路に沿って統合することによって${\displaystyle c}$線形形式が得られます${\displaystyle E}$:

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

これにより地図が生まれる

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

さらに、それは地図へと降りていく

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle {\overline {M}}}$は普遍的な自由アーベル被覆です。

定義。ヤコビ多様体（ヤコビトーラス）${\displaystyle M}$トーラスは

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

定義。アベル・ヤコビ写像

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

これは、上記のマップから商を渡すことによって得られます。

アベル・ヤコビ写像は、ヤコビトーラスの並進を除いて一意です。この写像は、シストリック幾何学に応用されています。リーマン多様体のアベル・ヤコビ写像は、周期多様体上の熱核の長時間漸近挙動に現れます（小谷・砂田（2000）および砂田（2012））。

同様に、アベル・ヤコビ写像のグラフ理論的な類似物を、有限グラフから平坦なトーラス（または有限アーベル群に関連付けられたケイリーグラフ）への区分的線形写像として定義することができ、これは結晶格子上のランダムウォークの漸近挙動と密接に関連しており、結晶構造の設計に利用できる。

我々は、コンパクトリーマン面上のアーベル・ヤコビ写像の解析的構成法を提供する。

させて${\displaystyle M}$種数 のコンパクトリーマン面を表す${\displaystyle g>0}$。 させて${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$正準相同性基底となる${\displaystyle M}$、 そして${\displaystyle \{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}}$二重の根拠$\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$これは${\displaystyle g}$正則微分形式からなる次元複素ベクトル空間。双対基底とは、${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$、 のために${\displaystyle j,k=1,...,g}$。 要素が次のようになる対称行列を形成できます。${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$、 のために${\displaystyle j,k=1,...,g}$。 させて${\displaystyle L}$によって生成される格子である${\displaystyle 2g}$-列の${\displaystyle g\times 2g}$要素が以下の行列で構成される${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$のために${\displaystyle j,k=1,...,g}$どこ${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$私たちは呼ぶ${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$ヤコビアン型の${\displaystyle M}$これはコンパクトで可換です${\displaystyle g}$次元複素リー群。

マップを定義できます${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$ポイントを選択することによって${\displaystyle P_{0}\in M}$設定 ${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).}$ これは、ランク 1 (最大ランク) の明確に定義された正則写像です。次に、これを因子クラスの写像に自然に拡張することができます。

と表記すると${\displaystyle \mathrm {ディビジョン} (M)}$除数クラス群${\displaystyle M}$次にマップを定義します${\displaystyle \varphi$ :\mathrm {Div} (M)\to J(M)} を設定することによって ${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

注意：${\displaystyle r=s}$するとこのマップは基点の選択に依存しないので、基点に依存しないマップを定義できます。 ${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$どこ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$次数がゼロの約数を表す${\displaystyle M}$。

以下のアーベルの定理は、写像の核が${\displaystyle \varphi _{0}}$はまさに主因子群の部分群である。ヤコビ逆問題と合わせて、次のように言える。${\displaystyle J(M)}$群としては、その主因子の部分群を法とする次数0の因子群と同型である。

アーベルによって次の定理が証明されました（アーベルの定理として知られています）。

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

は約数（ Cの点の形式的な整数線形結合を意味する）である。

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

したがって、因子に対するアーベル・ヤコビ写像の値について話す。定理は、DとEが2つの有効因子である場合、つまり、${\displaystyle n_{i}}$すべて正の整数である場合、

${\displaystyle u(D)=u(E)}$かつその場合に限り${\displaystyle D}$は線形的に等価である${\displaystyle E.}$これは、アーベル・ヤコビ写像が、次数0の因子類の空間からヤコビ行列への単射写像（アーベル群の写像）を誘導することを意味する。

ヤコビはこの写像が全射であることも証明した（ヤコビの反転問題として知られる）。したがって、2つの群は自然に同型である。

アーベル・ヤコビの定理によれば、コンパクト複素曲線のアルバネーゼ多様体（周期を法とする正則1形式の双対）は、そのヤコビ多様体（同値性を法とする次数0の因子）と同型である。高次元コンパクト射影多様体の場合、アルバネーゼ多様体とピカール多様体は双対であるが、同型である必要はない。

• E.アルバレロ; M. コルナルバ; P.グリフィス; J. ハリス(1985)。 「1.3、アーベルの定理」。代数曲線の幾何学、Vol. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-0-387-90997-4。
• 小谷元子、砂田俊和 (2000)、「熱核のアルバネーゼ写像と非対角の長時間漸近」、Comm. Math. Phys.、2​​09 (3): 633–670、Bibcode : 2000CMaPh.209..633K、doi : 10.1007/s002200050033
• 砂田俊和（2012）「位相結晶学に関する講義」、日本数学雑誌、7：1–39、doi：10.1007/s11537-012-1144-4
• Farkas, Hershel M; Kra, Irwin (1991年12月23日)、Riemann surfaces、ニューヨーク：Springer、ISBN 978-0387977034