フクシアンモデル

数学において、フックスモデルは、双曲リーマン面 R を上半平面 Hをフックス群で割った商として表現したものです。すべての双曲リーマン面は、このような表現が可能です。この概念は、ラザロ・フックスにちなんで名付けられました。

均一化定理によれば、すべてのリーマン面は楕円、放物面、双曲面のいずれかになります。より正確には、この定理は、リーマン球面（楕円の場合）または複素平面を離散部分群で割った商（放物面の場合）のいずれにも同型でないリーマン面は、適切に不連続かつ自由に作用する部分群を双曲平面で割った商でなければならないことを述べています。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \ガンマ}$

双曲平面のポアンカレ半平面モデルでは、双正則変換の群はホモグラフィによって作用する群であり、均一化定理は、リーマン面が に同型であるような離散的でねじれのない部分群が存在することを意味します。このような群はフックス群と呼ばれ、同型はのフックスモデルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$

が閉じた双曲面であり、がフックス群であるとすると、 はのフックスモデルとなります。 と がこの集合に点ごとの収束の位相（「代数収束」と呼ばれることもあります）を与えるものとします。 この特定のケースでは、この位相は次のように最も簡単に定義できます。は の基本群に同型であるため、この群は有限生成です。 が生成集合であるとすると、任意の は要素によって決定され、したがって写像 によってのサブセットと同一視できます。 次に、これに部分空間位相を与えます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$$${\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\colon \rho {\text{ は忠実かつ離散的である }}\}}$$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{1},\ldots,g_{r}}$${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})}$${\displaystyle A(\Gamma )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}}$${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))}$

ニールセン同型定理（これは標準的な用語ではなく、この結果はデー​​ン-ニールセン定理とは直接関係ありません）は、次のようになります。

任意の に対して、上半平面の自己同相写像（実際は準等角写像）が存在し、すべての に対してが成り立ちます。${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

証明は非常に簡単です。同相写像を選択し、それを双曲平面に持ち上げます。微分同相写像を取ると、がコンパクトなので準共形写像が得られます。 ${\displaystyle R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$

この結果は、のタイヒミュラー空間の2 つのモデル間の同値性として見ることができます。 1 つは共役を法とする基本群の離散的な忠実な表現の集合、もう 1 つは自然な同値関係を法とする準等角同相 であるマーク付きリーマン面の集合です。${\displaystyle R}$${\displaystyle \pi_{1}(R)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle f\colon R\to X}$

• クラインモデル、 3次元多様体に対する類似の構成
• 基本多角形

松崎 憲治; 谷口 正之: 双曲多様体とクライン群. オックスフォード (1998).