分岐（数学）

代数的整数論における分岐とは、素イデアルが拡大体においていくつかの重複素イデアル因子を与えるように因数分解することを意味する。すなわち、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$代数体の整数環である${\displaystyle K}$、 そして${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$最高の理想${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$フィールド拡張の場合${\displaystyle L/K}$整数環を考えることができる$\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$（これは、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$で${\displaystyle L}$）そして理想的な${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$の$\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$このイデアルは素数である場合もそうでない場合もあるが、有限の${\displaystyle [L:K]}$素イデアルへの因数分解が可能である。

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

どこで${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$は、$\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$。 それから${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$枝分かれすると言われている${\displaystyle L}$もし${\displaystyle e_{i}>1}$一部の人にとって${\displaystyle i}$そうでなければ分岐していない。言い換えれば、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$枝分かれする${\displaystyle L}$分岐指数が${\displaystyle e_{i}}$は、ある場合には1より大きい。${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$同等の条件は、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$非零の冪零元を持つ。つまり、有限体の積ではない。リーマン面の場合との類似性は、19世紀にリヒャルト・デデキントとハインリヒ・M・ウェーバーによって既に指摘されていた。

分岐は以下のように符号化されている${\displaystyle K}$相対判別式によって、${\displaystyle L}$相対的に異なる。前者は理想である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$そして、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ある理想が${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$の$\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$分割${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$枝分かれしている。後者は理想である$\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$そして素イデアルで割り切れる${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$の$\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$まさにその時${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$枝分かれしている。

分岐指数が小さい場合、分岐は穏やかです。${\displaystyle e_{i}}$すべては、残基特性pに対して相対的に素である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$そうでなければ野生的。この条件はガロア加群理論において重要である。有限一般エタール拡張${\displaystyle B/A}$デデキント領域のトレースが穏やかであるのは、${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$は全射である。

数体における分岐のより詳細な解析は、局所的な問題であるため、p進数の拡張を用いて行うことができる。この場合、ガロア拡張に対して分岐の定量的尺度が定義される。これは基本的に、ガロア群が計量に対して体要素をどれだけ移動させるかを問うことによって定義される。分岐群の列が定義され、（とりわけ）制御不能な分岐が具体化される。これは幾何学的類似性を超えるものである。