複雑な次元

数学において、複素次元は通常、複素多様体または複素代数多様体の次元を指します。^[1]これらは、点（または多様体の場合は非特異点）の局所近傍が、ある に対して の形式の直積でモデル化される空間であり、複素次元はこの積の指数です。は によってモデル化できるため、複素次元 の空間は実次元を持ちます。^[2]つまり、複素次元 の滑らかな多様体は実次元 を持ち、複素次元 の複素代数多様体は、任意の特異点から離れて、実次元 の滑らかな多様体になります。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2d}$

しかし、 実代数多様体（実係数を持つ方程式によって定義される多様体）の場合、その次元は一般に複素次元を指し、実次元は実点の集合に含まれる多様体の次元の最大値を指します。実次元は次元よりも大きくはなく、多様体が既約で特異でない実点を持つ場合は次元に等しくなります。たとえば、方程式は（複素）次元2（曲面）の多様体を定義しますが、実次元は0です。つまり、実点（0, 0, 0）が1つしかなく、これが特異です。^[3]${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

同じ考慮が余次元にも当てはまります。たとえば、次元nの複素射影空間内の滑らかな複素超曲面は、次元 2( n − 1)の多様体になります。複素超平面は、実余次元 2 を持つため、複素射影空間を 2 つの要素に分割しません。