準射影多様体

数学において、代数幾何学における準射影多様体は、射影多様体の局所的に閉じた部分集合、すなわち、ある射影空間内におけるザリスキ開部分集合とザリスキ閉部分集合の交差である。同様の定義がスキーム理論でも使用され、準射影スキームはある射影空間の局所的に閉じた部分スキームである。^[1]

アフィン空間は射影空間のザリスキー開部分集合であり、任意の閉じたアフィン部分集合は射影完備化と射影空間に埋め込まれたアフィン空間との積として表現できるため、任意のアフィン多様体は準射影的であることを意味します。射影空間にはアフィンではない局所的に閉じた部分集合があるため、準射影はアフィンよりも一般的です。次元が 2 以上の射影空間で単一点の補集合を取ると、非アフィン準射影多様体が得られます。これは、アフィンでも射影でもない準射影多様体の例でもあります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\bar {U}}}$

準射影多様体は、アフィン多様体と射影多様体の両方を一般化するため、単に多様体と呼ばれることもあります。準射影多様体としてアフィン代数多様体に同型な多様体は、アフィン多様体と呼ばれます。射影多様体についても同様です。たとえば、アフィン直線上の点の補集合、つまり は、アフィン平面上の多項式の零点集合に同型です。補集合上の任意の多項式零点は、アフィン直線上でも零点になる必要があるため、アフィン集合は閉じていません。別の例として、次元 2 の射影空間内の任意の円錐の補集合はアフィンです。アフィン多様体の開部分集合に同型な多様体は、準アフィンと呼ばれます。 ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}}$${\displaystyle xy-1}$${\displaystyle X}$

準射影多様体は、多様体が局所ユークリッドであるのと同じ意味で局所アフィンです。準射影多様体のすべての点には、アフィン多様体である近傍があります。これにより、準射影多様体上の ザリスキ位相のアフィン集合の基底が得られます。

• 抽象代数多様体。時には「準射影多様体」と同義である。
• 除数スキーム、準射影多様体の一般化