関連するグレードリング

数学において、環Rの真イデアルIに関する付随する次数付き環は次数付き環である。

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$。

同様に、Mが左R加群の場合、関連付けられた次数付き加群は上の次数付き加群です。 ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$。

環RとイデアルIに対して、 での乗算は次のように定義されます。まず、同次元と を考え、がaの代表であり、 がbの代表であると仮定します。次に、を での の同値類 と定義します。これは を法として明確に定義されていることに注意してください。同次でない元の乗算は、分配法則を使用して定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$ ${\displaystyle a\in I^{i}/I^{i+1}}$${\displaystyle b\in I^{j}/I^{j+1}}$${\displaystyle a'\in I^{i}}$${\displaystyle b'\in I^{j}}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a'b'}$${\displaystyle I^{i+j}/I^{i+j+1}}$${\displaystyle I^{i+j+1}}$

環または加群は、初期形式マップを介して、関連する次数付き環または加群と関連付けられることがあります。MをR加群、I をRのイデアルとします。 が与えられた場合、と書かれたにおけるfの初期形式は、におけるfの同値類です。ここで、 m はとなる最大の整数です。任意のmに対してが成り立つ場合、 が成り立ちます。初期形式マップは単なる集合のマップであり、一般に準同型ではありません。サブモジュールに対して、 はによって生成されるのサブモジュールとして定義されます。これは、 Nの生成元の唯一の初期形式によって生成されるのサブモジュールと同じではない場合があります。 ${\displaystyle f\in M}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$${\displaystyle \mathrm {in} (f)}$${\displaystyle I^{m}M/I^{m+1}M}$${\displaystyle f\in I^{m}M}$${\displaystyle f\in I^{m}M}$${\displaystyle \mathrm {in} (f)=0}$ ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle \mathrm {in} (N)}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$${\displaystyle \{\mathrm {in} (f)|f\in N\}}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}M}$

環は、関連する次数付き環からいくつかの「良い」性質を継承します。たとえば、R がネーター 局所環で、整域である場合、R自体は整域です。^[1]${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

環R上の左加群をRのイデアルIとする。 ${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle {I^{n}(M/N) \over I^{n+1}(M/N)}\simeq {I^{n}M+N \over I^{n+1}M+N}\simeq {I^{n}M \over I^{n}M\cap (I^{n+1}M+N)}={I^{n}M \over I^{n}M\cap N+I^{n+1}M}}$

（最後の等式はモジュラー法による）、標準的な同一視が存在する：^[2]

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(M/N)=\operatorname {gr} _{I}M/\operatorname {in} (N)}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {in} (N)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{I^{n}M\cap N+I^{n+1}M \over I^{n+1}M},}$

の元の初期形式によって生成されるサブモジュールと呼ばれます。${\displaystyle N}$

U を体k上のリー代数の普遍包絡代数とし、次数でフィルタリングします。ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、が多項式環であることを意味します。実際、それは座標環です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {gr} U}$ ${\displaystyle k[{\mathfrak {g}}^{*}]}$

クリフォード代数の関連する次数代数は外代数です。つまり、クリフォード代数は 外代数に退化します。

関連する次数は、Rの乗法的な下降フィルタリングに対してより一般的に定義することもできます（フィルタリングされたリングも参照）。Fを次の形式のイデアルの下降チェーンと します。

${\displaystyle R=I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \dotsb }$

となる。この濾過に関連付けられた次数付き環は である。乗算と初期形式マップは上記のように定義される。 ${\displaystyle I_{j}I_{k}\subset I_{j+k}}$${\displaystyle \operatorname {gr} _{F}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I_{n}/I_{n+1}}$

• 成績評価（数学）
• リース代数

• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）。可換代数。数学の大学院テキスト。第150巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。doi ： 10.1007 / 978-1-4612-5350-1。ISBN 0-387-94268-8. MR  1322960。
• 松村秀之 (1989)可換環論ケンブリッジ高等数学研究 第8巻 M. リードによる日本語からの翻訳 (第2版) ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局ISBN 0-521-36764-6MR  1011461 。
• ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール（1975）、可換代数。第2巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90171-8、MR  0389876