ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理

数学、特にリー代数の理論において、ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理（またはPBW定理）は、リー代数の普遍包絡代数を明示的に記述する定理である。この定理は、アンリ・ポアンカレ、ギャレット・バーコフ、エルンスト・ウィットの3人の名にちなんで名付けられた。

PBW型定理およびPBW定理という用語は、特に量子群の分野において、フィルター付き代数とそれに関連する次数付き代数を比較する、元の定理のさまざまな類似物を指す場合もあります。

体上の任意のベクトル空間Vには基底が存在することを思い出してください。基底とは、 Vの任意の要素がSの要素の一意な（有限）線形結合となるような集合Sのことです。ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理の定式化では、要素が≤ で表される何らかの関係によって全順序付けられている基底を考えます。

Lが体K上のリー代数である場合、h はLから普遍包絡代数U ( L )への標準的な K 線形写像を表すものとする。

定理^{[ 1 ]} LをK上のリー代数とし 、XをLの全順序基底とする。X 上の標準単項式とは、 Xの要素の有限列 ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) であり、≤ の順序で非減少である。すなわち、x ₁ ≤ x ₂ ≤ ... ≤ x _nである。hをすべての標準単項式に拡張する。すなわち、( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) が標準単項式である場合、

${\displaystyle h(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).}$

このとき、hは標準単項式の集合とこの集合の像に対して単射である。${\displaystyle \{h(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}\leq ...\leq x_{n}\}}$これは、 Kベクトル空間としてのU ( L )の基底を形成する。

少し違った言い方をすれば、Y = h ( X ) を考えてみましょう。YはXから誘導される順序によって完全に順序付けられています。単項式の集合

${\displaystyle y_{1}^{k_{1}}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell }}}$

ここで、y ₁ < y ₂ < ... < y _nはYの要素であり、指数は非負であり、乗法単位 1 とともにU ( L ) の基底を形成します。単位要素 1 は空の標準単項式に対応することに注意してください。この定理は、これらの単項式がベクトル空間としてのU ( L )の基底を形成すると主張します。これらの単項式がU ( L )を張ることは容易にわかります。定理の内容は、それらが線形独立であるということです。

U ( L )の乗法構造は基底Xの構造定数、つまり係数によって決定されます。${\displaystyle c_{u,v}^{x}}$そのため

${\displaystyle [u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.}$

この関係により、 yの任意の積を標準単項式の線形結合に還元することができます。構造定数はy _i y _j – y _j y _iを決定します。つまり、積内のYの 2 つの要素の順序を変更するために何をするかを決定します。この事実は、(非標準) 単項式の次数に関する帰納的議論を除いて、因子が非減少順に並べられた積を常に実現できることを示しています。

ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理は、この簡約化の最終結果は一意であり、隣接する要素を交換する順序に依存しないと解釈できる。

系。Lが体上のリー代数である場合、標準写像L → U ( L ) は単射である。特に、体上の任意のリー代数は、結合代数のリー部分代数と同型である。

初期の段階から、Lが自由K加群、つまり上記のような基底を持つ限り、 Kは任意の可換環に置き換えることができることが知られていた。

Lが自由K加群でない場合にも拡張するには、基底を使用しない再定式化を行う必要があります。これには、ある基底における単項式の空間を、L上の対称代数S ( L )に置き換えることが含まれます。

K が有理数体を含む場合、 S ( L )からU ( L ) への自然な写像を考えることができ、単項式を${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$、 のために${\displaystyle v_{i}\in L}$要素へ

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}v_{\sigma (2)}\cdots v_{\sigma (n)}.}$

すると、この写像はK加群の同型写像であるという定理が得られる。

さらに一般的に、そして自然に、U ( L )をフィルター代数とみなすことができ、フィルターは次のように指定することによって与えられる。${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$フィルタリングされた次数に存在します${\displaystyle \leq n}$K加群の写像L → U ( L ) は、代数の写像T ( L ) → U ( L ) に標準的に拡張されます。ここで、 T ( L ) はL上のテンソル代数です(例えば、テンソル代数の普遍性により)。これは、T ( L ) にLを次数 1 にするフィルターを装備するフィルター付き写像です (実際には、T ( L ) は次数付きです)。次に、関連する次数付きに移行すると、標準射T ( L ) → gr U ( L ) が得られ、 v, w ∈ Lの要素vw - wvが消去され、標準射S ( L ) → gr U ( L ) に降下します。すると、(次数付き) PBW 定理は、ある仮定の下で、この最終的な射が可換代数の同型であるという記述として再定式化できます。

これはすべてのKとLに当てはまるわけではありません(例えば、Cohn の 1961 年の論文の最後のセクションを参照) が、多くの場合に当てはまります。これには、Lが自由K加群 (したがって、Kが体であるとき) またはK が有理数体を含む場合など、前述のケースが含まれます。より一般的には、上記のように定式化された PBW 定理は、(1) Lが平坦なK加群である場合、(2) Lがアーベル群としてねじれがない場合、(3) Lが巡回加群の直和である場合 (または、Kの素イデアルにおけるそのすべての局所化がこの性質を持つ場合)、または (4) Kがデデキント整域である場合などのケースに拡張されます。これらの記述については、例えば Higgins の 1969 年の論文を参照してください。

最後に、これらの場合の中には、関連する次数を取ることなく、標準射S ( L ) → gr U ( L ) がK加群同型S ( L ) → U ( L )に持ち上げられるという、より強い主張も得られる場合があることに注意する価値がある。これは、 Lが自由K加群である場合、またはK が有理数体を含む場合の最初のケースで、ここで概説した構成を使用して真である(実際には、結果は単なるK加群同型ではなく、余代数同型であり、 S ( L ) とU ( L ) の両方に自然な余代数構造が備わっている)。${\displaystyle \Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v}$ただし、v ∈ Lの場合）。しかし、このより強い主張は、前の段落のすべてのケースに当てはまるわけではないかもしれません。

1880年代の4つの論文で、アルフレド・カペッリは、異なる用語で、現在ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理として知られるものを証明した。${\displaystyle L={\mathfrak {gl}}_{n},}$カペリは一般線形リー代数について述べ、ポアンカレは後に1900年にそれをより一般的に述べた。^{[ 2 ]}アルマン・ボレルは、カペリのこれらの結果は「ほぼ1世紀にわたって完全に忘れ去られていた」と述べており、ポアンカレがカペリの結果を知っていたとは示唆していない。^{[ 2 ]}

Ton-ThatとTran ^{[ 3 ]}は、この定理の歴史を調査しました。彼らは、Bourbakiの1960年の著書以前の資料の大部分が、これをBirkhoff-Wittの定理と呼んでいることを発見しました。この古い慣習に従い、Fofanova ^{[ 4 ]}は、彼女の百科事典の項目で、Poincaréがこの定理の最初の変形を得たと述べています。彼女はさらに、この定理はその後WittとBirkhoffによって完全に証明されたと述べています。Bourbaki以前の資料は、Poincaréの論文を知らなかったようです。

バーコフ^{[ 5 ]}とウィット^{[ 6 ]}は、1937年の論文でポアンカレの研究について言及していない。カルタンとアイレンベルク^{[ 7 ]}は、この定理をポアンカレ＝ウィットの定理と呼び、完全な証明をウィットに帰している。ブルバキ^{[ 8 ]}は、1960年の著書で初めて3つの名前すべてを使用した。ナップは、伝統の変遷を明確に示している。1986年の著書^{[ 9 ]}ではバーコフ＝ウィットの定理と呼んでいるが、後の1996年の著書^{[ 10 ]}ではポアンカレ＝バーコフ＝ウィットの定理に変更している。

ポアンカレの結果が完全であったかどうかは明らかではない。Ton-ThatとTran ^{[ 3 ]}は、「ポアンカレは、ウィットとバーコフより少なくとも37年前にこの定理を発見し、完全に証明していた」と結論付けている。一方で、彼らは「ポアンカレは証明しようとせずにいくつかの主張をしている」と指摘している。彼ら自身のすべてのステップの証明は、彼ら自身も認めているようにかなり長い。ボレルは、ポアンカレが1900年に「ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理をほぼ証明した」と述べている^{[ 2 ]。}

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