クロス積

ベクトルnの方向は、空間の向きの選択によって決まります。慣例として、右手の人差し指をaの方向に、中指をbの方向に向けるという右手の法則で表されます。すると、ベクトルnは親指から出てきます (隣の図を参照)。この法則を用いると、外積は反可換であることがわかります。つまり、b × a = −( a × b )です。人差し指を最初にbの方向に向け、次に中指をa の方向に向けると、親指は反対方向に強制され、積ベクトルの符号が反転します。

外積演算子は空間の向きに依存するため、一般に2つのベクトルの外積は「真の」ベクトルではなく、擬似ベクトルになります。

もし${\displaystyle (\mathbf {\color {blue}{i}} ,\mathbf {\color {red}{j}} ,\mathbf {\color {green}{k}} )}$は正の向きを持つ正規直交基底であり、基底ベクトルは次の等式を満たす^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$$ これらの公式を覚えるための覚え方として、基底ベクトルの巡回置換によって、他のどの公式からも導き出せるということを覚えておくと良いでしょう。この覚え方は、この記事で紹介する多くの公式にも当てはまります。

交差積の 反交換性は、$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}}$$

クロス積の反可換性（および明らかな線形独立性の欠如）は、次のことも意味する。 $${\displaystyle \mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0} }$$（ゼロベクトル）。

これらの等式は、外積の分配法則と線形性（ただし、どちらも上記の定義から容易に導かれるものではない）と合わせて、任意の2つのベクトルaとbの外積を決定するのに十分である。各ベクトルは、標準基底ベクトルに平行な3つの直交成分の和として定義できる。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}}$$

それらの外積a × bは分配法則を用いて展開できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\[1ex]={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}}$$

これは、 a × bをi、j、またはkに整列したベクトルを含む 9 つのより単純な外積の和に分解したものと解釈できます。これら 9 つの外積はそれぞれ、互いに平行または直交しているため扱いやすい 2 つのベクトルに作用します。この分解から、上述の等式を使用し、類似の項をまとめると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\[1ex]={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \end{aligned}}}$$

つまり、結果として得られるベクトルs = s ₁ i + s ₂ j + s ₃ k = a × bの 3 つのスカラー成分は $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}}$$

列ベクトルを用いると、同じ結果を以下のように表現できます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}}$$

クロス積は形式行列式としても表すことができます。^{[注1 ] [ 1 ]}

$${\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

この行列式は、サラスの規則または余因子展開を用いて計算できます。サラスの規則を用いると、次のように展開されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}}$$

これにより、結果として得られるベクトルの成分が直接得られます。

• いずれの基準においても、クロス積${\displaystyle a\times b}$テンソル式で与えられる${\displaystyle E_{ijk}a^{i}b^{j}}$どこ${\displaystyle E_{ijk}}$は共変レヴィ・チヴィタテンソルです（添え字の位置に注目してください）。これは、ここに示されている固有の公式に対応します。
• 空間と同じ向きを持つ正規直交基底では、${\displaystyle a\times b}$擬テンソル式で与えられる${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$どこ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$はレヴィ＝チヴィタ記号（擬テンソル）です。これは日常的な物理学で用いられる公式ですが、この特殊な基底の選択においてのみ有効です。
• 任意の正規直交基底において、${\displaystyle a\times b}$擬テンソル式で与えられる${\displaystyle (-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}}$どこ${\displaystyle (-1)^{B}=\pm 1}$基底が空間と同じ向きであるかどうかを示します。

後者の式では、正規直交基底を逆変換する際に空間の向きを変更する必要がなくなる。

外積の大きさは、aとbを辺とする平行四辺形の正の面積として解釈できます（図1を参照）：^{[ 1 ]}$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.}$$

実際、辺の長さがa、b、cで​​ある平行六面体の体積Vは、スカラー三重積と呼ばれる外積と内積の組み合わせを用いて計算することもできます（図 2 を参照）。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

スカラー三重積の結果は負になる可能性があるため、平行六面体の体積はその絶対値で表されます。

$${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.}$$

外積の大きさは、その引数間の角度の正弦に比例するため、内積が平行性の尺度であるのと同様に、外積は垂直性の尺度と考えることができます。2つの単位ベクトルが与えられた場合、2つのベクトルが垂直であれば外積の大きさは1になり、2つのベクトルが平行であれば外積の大きさは0になります。2つの単位ベクトルの内積はこれとは正反対の挙動を示します。単位ベクトルが垂直であれば内積は0になり、単位ベクトルが平行であれば内積は1になります。

単位ベクトルを用いると、2つの便利な恒等式が得られます。2つの単位ベクトルの内積は、2つの単位ベクトル間の角度のコサイン（正負どちらの値も取り得る）になります。また、2つの単位ベクトルの外積の大きさはサイン（常に正の値）になります。

2 つのベクトルの外積がゼロベクトルである場合 (つまり、a × b = 0 )、入力の 1 つまたは両方がゼロベクトル ( a = 0またはb = 0 ) であるか、またはそれらが平行または反平行 ( a ∥ b ) であるため、それらの間の角度の正弦がゼロ ( θ = 0°またはθ = 180°でsin θ = 0  ) になります。

ベクトルの自己外積はゼロベクトルである。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .}$$ 交差積は反交換的である。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),}$$加法に対する分配法則、 $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),}$$ また、スカラー乗算と互換性があるため、 $${\displaystyle (r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

結合法則は成り立たないが、ヤコビ恒等式は満たす。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .}$$ 分配法則、線形性、ヤコビ恒等式から、 R ³ベクトル空間はベクトル加算と外積とともにリー代数、すなわち 3 次元実直交群のリー代数SO(3)を形成することがわかる。外積は相殺法則に従わない。つまり、a × b = a × c ( a ≠ 0)はb = cを意味するのではなく、次のことだけ を意味する。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\end{aligned}}}$$

これは、 bとcが相殺される場合だけでなく、aとb - cが平行である場合にも当てはまります。つまり、それらはスケールファクターtによって関連付けられており、次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,}$$ あるスカラーtに対して。

上記のようにa × b = a × cおよびa ≠ 0に加えて、a ⋅ b = a ⋅ cの場合 、$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}}$$b − c は、 aに対して同時に平行 (外積が0になるため) かつ垂直 (内積が 0 になるため) になることはできない ので、 bとc が打ち消し合う必要があります。つまり、 b = cです。

幾何学的定義によれば、外積はa × bで定義される軸を中心とした適切な回転に対して不変である。式で表すと次のようになる。 $${\displaystyle (R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$$どこ${\displaystyle R}$は回転行列であり、${\displaystyle \det(R)=1}$。

より一般的に言えば、外積は行列変換に関して次の恒等式を満たす。 $${\displaystyle (M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$$ どこ${\displaystyle M}$は3×3行列であり、${\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$は逆行列の転置であり、${\displaystyle \operatorname {cof} }$は補因子行列です。この式が前の式に簡略化される様子は容易にわかります。${\displaystyle M}$は回転行列です。${\displaystyle M}$は、一般的な外積に適用される 3×3 の対称行列です。${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$次のような関係が成り立つ。 $${\displaystyle M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a} }$$ 2つのベクトルの外積は、それらのベクトルを行とする 2×3行列の零空間に含まれる。$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).}$$ 2つのクロス積の和については、次の恒等式が成り立つ。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .}$$

微分積分学の積の法則は、あらゆる双線形演算に適用され、したがって外積にも適用される。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},}$$

ここで、aとbは実変数tに依存するベクトルである。

外積は、三重積のどちらの形式でも使用されます。3つのベクトルのスカラー三重積は次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$$

これは辺a、b、cを持つ平行六面体の符号付き体積であり、したがってベクトルは上記の順序の偶数順列であればどの順序でも使用できます。したがって、以下は等しくなります。

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),}$$

ベクトルの三重積は、あるベクトルと別のベクトルの外積の結果との外積であり、次の式によって内積と関連付けられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$$

右辺のベクトルの順序を覚えるには、「BAC マイナス CAB」という覚え方を使用します。この公式は、物理学でベクトル計算を簡略化するために使用されます。勾配に関する特殊なケースで、ベクトル解析に役立つものは次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}}$$

ここで、∇ ^2はベクトルラプラシアン演算子です。

その他の恒等式は、外積とスカラー三重積の関係を示している。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}}$$

ここで、Iは単位行列である。

外積と内積の関係は次のとおりである。 $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$$

右辺は、ベクトルaとbのグラム行列式、すなわちベクトルによって定義される平行四辺形の面積の二乗です。この条件は、外積の大きさを決定します。つまり、内積は、 2 つのベクトル間の角度θに関して、次のように定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

上記の関係は、次のように書き換えることができます。

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).}$$

ピタゴラスの三角関数の恒等式を用いると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,}$$

これはθで表した外積の大きさであり、 aとbで定義される平行四辺形の面積に等しい（上記の定義を参照）。

この要件と、外積がその構成要素aおよびbに対して直交するという性質を組み合わせると、外積の別の定義が得られます。^{[ 13 ]}

2 つのベクトルaとc ( a ≠ 0)が与えられたとき、方程式a × b = cは、 aがcに直交する場合(つまり、a ⋅ c = 0の場合) に限り、 bの解を持ちます。この場合、bの解は無限に存在し、それは次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+t\mathbf {a} ,}$$ ここでtは任意の定数である。

これは、三重積展開を用いて導き出すことができる。 $${\displaystyle \mathbf {c} \times \mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$$b について解くように整理すると、 $${\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {\mathbf {c} \times \mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}+{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}}}\mathbf {a} }$$ 最後の項の係数は、任意の定数tに単純化することができ、上記の結果が得られる。

ベクトル外積は、歪対称行列とベクトルの積としても表すことができる。^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$ ここで、上付き文字^Tは転置演算を表し、[ a ] _{× は}次のように定義されます。 $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.}$$

ベクトルaの歪対称行列の列 [ a ] _×,iは、単位ベクトルとの外積を計算することによっても得られます。つまり、 $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}}$$ または $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,}$$ どこ${\displaystyle \otimes }$は外積演算子です。

また、a自体がクロス積として表される場合： $${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }$$ それから $${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.}$$

この結果は幾何代数を用いて高次元に一般化できる。特に、任意の次元において、双ベクトルは歪対称行列と同一視できるため、歪対称行列とベクトルの積は双ベクトルとベクトルの積の1次部分に相当する。 ^{[ 18 ]} 3次元では、双ベクトルはベクトルと双対であるため、積は双ベクトルをベクトル双対として外積に相当する。高次元でも積は計算できるが、双ベクトルは自由度が高く、ベクトルとは等価ではない。^{[ 18 ]}

この表記法は、例えばエピポーラ幾何学などにおいて、扱いやすい場合も多い。

クロス積の一般的な性質から、次のことが直ちに導かれる。$${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }$$ そして $${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }$$[ a ] _×が歪対称である という事実から、$${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}$$

上記の三重積展開（bac–cabルール）は、この表記法を用いることで容易に証明できる。

前述のように、外積を持つリー代数R ³は、要素が 3×3 の歪対称行列と同一視できるリー代数so(3)と同型です。写像a → [ a ] _{× は、} R ³とso(3)の間の同型写像を提供します。この写像の下では、3-ベクトルの外積は 3 ×3 の歪対称行列の交換子に対応します。

外積は、レヴィ・チヴィタテンソルE _ijkと内積η ^miを用いて定義することもでき、これらはベクトル表記をテンソルアプリケーションに変換する際に役立ちます。

$${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$$

インデックスが${\displaystyle i,j,k}$ベクトル成分に対応します。この外積の特徴付けは、アインシュタインの総和規約を用いてより簡潔に表現されることが多く、 $${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}}$$

ここでは、繰り返されるインデックスは1から3までの値について合計されます。

正の向きを持つ正規直交基底では、η ^mi = δ ^mi (クロネッカーのデルタ) であり、${\displaystyle E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}}$（レヴィ＝チヴィタ記号）。この場合、この表現は、外積の歪対称表現の別の形式である。

$${\displaystyle [\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.}$$

古典力学では、物理系が等方的である場合、外積をレヴィ・チヴィタ記号を用いて表現することで、力学的対称性が明らかになることがあります。（例： 3次元空間におけるフックの法則ポテンシャル内の粒​​子を考えます。この粒子は3次元空間で自由に振動できます。これらの次元はどれも「特別な」ものではないため、対称性は外積で表される角運動量にあり、これは上述のレヴィ・チヴィタ表現によって明らかになります。）

「xyzzy」という単語は、外積の定義を覚えるのに使うことができます。

もし

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$$

どこ：

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}}$$

それから：

$${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}}$$$${\displaystyle a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}}$$$${\displaystyle a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.}$$

2番目と3番目の式は、添え字を垂直方向に回転させるだけで、最初の式から簡単に得られます。x → y → z → x 。もちろん、問題は最初の式をどうやって覚えるかです。そのためには2つの方法があります。1つは、Sarrusのスキームの関連する2つの対角線（iを含むもの）を覚えるか、xyzzyのシーケンスを覚えるかです。

サラスの方式における最初の対角線は、前述の3×3行列の主対角線に等しいので、xyzzyという単語の最初の3文字は非常に簡単に覚えることができます。

上記の記憶術と同様に、方程式中の2つのベクトルの間に「十字」またはXを視覚化することもできます。これは、正しい外積の公式を覚えるのに役立つかもしれません。

もし

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$$

それから：

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$$

の式を取得したい場合${\displaystyle a_{x}}$私たちは単に${\displaystyle b_{x}}$そして${\displaystyle c_{x}}$式から次の2つの要素を取り出します。

$${\displaystyle a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.}$$

これを実行するときは${\displaystyle a_{y}}$次の 2 つの要素は、z 成分の後に x 成分が来るように、行列を「ラップアラウンド」する必要があります。明確にするために、この操作を実行するときは、${\displaystyle a_{y}}$次の2つの要素はzとx（この順序で）であるべきです。${\displaystyle a_{z}}$次の2つの要素はxとyとして扱うべきである。

$${\displaystyle a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}}$$

のために${\displaystyle a_{x}}$次に、クロス演算子が左側の要素から右側の要素を指していると想像すると、左側の最初の要素に、クロスが指す右側の行列の要素を単純に掛け合わせることができます。次に、左側の次の要素に、ここでもクロスが指す要素を掛けたものを引きます。その結果、次のようになります。${\displaystyle a_{x}}$式 -

$${\displaystyle a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.}$$

同じ方法で、${\displaystyle a_{y}}$そして${\displaystyle a_{z}}$それらに関連する数式を構築する。

外積は、3次元空間における2つのねじれ線（同一平面上にない線）間の距離を計算する際に現れる。

外積は、三角形や多角形の法線を計算するために使用できます。これは、コンピュータグラフィックスで頻繁に行われる操作です。たとえば、多角形の内部にある点を中心とした多角形の巻き数（時計回りまたは反時計回り）は、多角形を三角形分割（車輪のスポークのように）し、外積を使用して各角度の符号を記録しながら、スポーク間の角度を合計することで計算できます。

平面の計算幾何学では、外積を用いて3点によって定義される鋭角の符号を決定する。${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$そして${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$これは、 2組の点によって定義される2つの同一平面上のベクトルの外積の方向（上向きまたは下向き）に対応します。${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$そして${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$鋭角の符号は、式の符号です。 $${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),}$$ これは、2 つのベクトルの外積の符号付き長さです。外積を使用するには、2D ベクトルを拡張するだけです。${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$同一平面上の 3D ベクトルに${\displaystyle z_{k}=0}$彼ら一人ひとりのために。

右手系座標系では、結果が0であれば、点は一直線上にあり、結果が正であれば、3つの点は正の回転角を形成します。${\displaystyle p_{1}}$から${\displaystyle p_{2}}$に${\displaystyle p_{3}}$そうでなければ負の角度。別の観点から見ると、${\displaystyle P}$伝える${\displaystyle p_{3}}$線の左側または右側に位置する${\displaystyle p_{1},p_{2}.}$

外積は、正四面体や平行六面体などの多面体の体積を計算する際に使用されます。

ある原点を中心とした粒子の角運動量Lは、次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$$

ここで、 rは原点に対する粒子の位置ベクトル、pは粒子の線運動量である。

同様に、点Aの周りで点Bに作用する力F _BのモーメントMは次のように表されます。

$${\displaystyle \mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,}$$

力学では、力のモーメントはトルクとも呼ばれ、次のように表されます。${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

位置r、線運動量p、力Fはすべて真のベクトルであるため、角運動量Lと力Mのモーメントはどちらも擬似ベクトルまたは軸ベクトルです。

外積は剛体の運動の記述によく現れる。剛体上の2点PとQは、次の関係式で表される。

$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {r} }$点の位置は、${\displaystyle \mathbf {v} }$速度と${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$は物体の角速度です。

ポジション以来${\displaystyle \mathbf {r} }$速度${\displaystyle \mathbf {v} }$角速度は真のベクトルです${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$は擬似ベクトルまたは軸ベクトルです。

外積は、移動する電荷q _eが受けるローレンツ力を記述するために使用されます。$${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

速度v、力F、電場Eはすべて真のベクトルであるため、磁場Bは擬似ベクトルです。

ベクトル解析では、外積を用いてベクトル演算子curlの公式を定義します。

外積を行列乗算で書き換えるという手法は、エピポーラ幾何学やマルチビュー幾何学において、特に整合制約を導出する際に頻繁に現れる。

外積は最も単純なリー積の一つと見なすことができ、多重線形性、歪対称性、ヤコビ恒等式の公理を満たす二項積として公理化されたリー代数によって一般化される。多くのリー代数が存在し、その研究はリー理論と呼ばれる数学の主要分野となっている。

例えば、ハイゼンベルク代数は別のリー代数構造を与える。${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}.}$基本${\displaystyle \{x,y,z\},}$製品は${\displaystyle [x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.}$

外積は四元数を用いて表すこともできます。一般に、ベクトル[ a ₁ , a ₂ , a ₃ ]が四元数a ₁ i + a ₂ j + a ₃ kで表される場合、2 つのベクトルの外積は、それらの積を四元数として計算し、結果の実部を削除することによって得られます。実部は、2 つのベクトルの内積の負の値になります。

7次元ベクトルの外積は、四元数の代わりに八元数を用いることで同様の方法で求めることができる。他の次元では2つのベクトルの非自明なベクトル値の外積が存在しないことは、フルヴィッツの定理から導かれる、ノルム付き除算代数は次元が1、2、4、8のものに限られるという結果と関連している。

一般次元では、ベクトルを具体的に生成する二項積の直接的な類似物はありません。しかし、外積は類似した性質を持ちますが、2つのベクトルの外積が通常のベクトルではなく2次元ベクトルになる点が異なります。前述のように、ホッジスター演算子を使用して2次元ベクトルをベクトルに写像することで、3次元における外積として解釈できます。外積のホッジ双対は( n -2)次元ベクトルを生成し、これは任意の次元における外積の自然な一般化です。

幾何代​​数では、外積と内積を（総和によって）組み合わせることで幾何積を形成することができる。

前述のように、クロス積は 3 次元では外積のホッジ双対として解釈できます。任意の有限n次元では、 n − 1個のベクトルの外積のホッジ双対はベクトルです。したがって、任意の有限次元では、クロス積は二項演算ではなく、与えられたn − 1 個のベクトルの外積のホッジ双対として一般化されます。この一般化は外積と呼ばれます。^{[ 20 ]}

代数の3次元ベクトル空間を、 3次元幾何代数の2ベクトル（1ベクトルではない）部分代数として解釈すると、${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$、${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$外積は幾何代数における交換子積と完全に一致し、どちらも同じ記号を使用する。${\displaystyle \times }$交換子積は2ベクトルに対して定義される。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$幾何代​​数では次のように表されます。

$${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA),}$$

どこ${\displaystyle AB}$幾何積である。^{[ 21 ]}

交換子積は、3 次元の任意の多重ベクトルに一般化することができ、その結果、次数1 (1-ベクトル/真ベクトル) と 2 (2-ベクトル/擬似ベクトル) の要素のみからなる多重ベクトルが得られます。2 つの 1-ベクトルの交換子積は確かに外積と同じで 2-ベクトルを生成しますが、1-ベクトルと 2-ベクトルの交換子は真ベクトルを生成し、幾何代数における左縮約と右縮約に対応します。2 つの 2-ベクトルの交換子積には対応する同等の積がないため、交換子積はそもそも 2-ベクトルに対して定義されています。さらに、3 つの 2-ベクトルの交換子三重積は、ベクトル代数における同じ 3 つの擬似ベクトルのベクトル三重積と同じです。しかし、幾何代数における3つの1ベクトルの交換子三重積は、ベクトル代数における同じ3つの真のベクトルのベクトル三重積の負の値となる。

高次元への一般化は、高次元幾何代数における 2 ベクトルの同じ交換子積によって提供されるが、2 ベクトルはもはや擬似ベクトルではない。3 次元における 2 ベクトルの交換子積/クロス積が最も単純なリー代数に対応するのと同様に、交換子積を備えた高次元幾何代数の 2 ベクトル部分代数もリー代数に対応する。^{[ 22 ]}また、3 次元の場合と同様に、交換子積は任意の多重ベクトルにさらに一般化することができる。

多重線形代数の文脈では、クロス積は、3 次元ボリューム形式^{[注 2 ]} (0,3) テンソルからインデックスを上げることによって得られる (1,2) テンソル (混合テンソル、具体的には双線形写像)と見なすことができます。

詳細には、3次元の体積形状が製品を定義する。${\displaystyle V\times V\times V\to \mathbf {R} ,}$これら3つのベクトルで与えられる行列の行列式を取ることによって。双対性により、これは関数と等価である。${\displaystyle V\times V\to V^{*},}$（任意の2つの入力を固定すると関数が得られる）${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$（3番目の入力で評価することによって）内積（ドット積など、より一般的には非退化双線形形式）が存在する場合、同型性が得られます。${\displaystyle V\to V^{*},}$そして、これによって地図が得られる。${\displaystyle V\times V\to V,}$これは外積です。(0,3)テンソル(3つのベクトル入力、スカラー出力)が「インデックスを上げる」ことによって(1,2)テンソル(2つのベクトル入力、1つのベクトル出力)に変換されました。

上記の代数を幾何学に変換すると、関数「平行六面体の体積」は次のように定義される。${\displaystyle (a,b,-)}$（最初の 2 つのベクトルは固定され、最後のベクトルは入力である）関数を定義する${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$は、ベクトルとの内積として一意に表現できます。このベクトルは外積です。${\displaystyle a\times b.}$この観点から、外積はスカラー三重積によって定義される。${\displaystyle \mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.}$

同様に、高次元では、n次元体積形式のインデックスを上げることによって一般化されたクロス積を定義することができ、これは${\displaystyle (0,n)}$-テンソル。クロス積の最も直接的な一般化は、以下のいずれかを定義することです。

• 1${\displaystyle (1,n-1)}$-テンソル、入力として${\displaystyle n-1}$ベクトルを生成し、出力として 1 つのベクトル – を返します。${\displaystyle (n-1)}$2進ベクトル値積、または
• 1${\displaystyle (n-2,2)}$入力として 2 つのベクトルを受け取り、出力としてランクn − 2の歪対称テンソル (ランクn − 2 のテンソル値との二項積)を与えるテンソル。${\displaystyle (k,n-k)}$-他のkのテンソル。

これらの積はすべて多重線形かつ歪対称であり、行列式とパリティによって定義できます。

の${\displaystyle (n-1)}$-項積は次のように説明できます。${\displaystyle n-1}$ベクトル${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n-1}}$で${\displaystyle \mathbf {R} ^{n},}$それらの一般化されたクロス積を定義する${\displaystyle v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}}$として：

• 超平面に垂直で、超平面によって定義される${\displaystyle v_{i},}$
• 大きさは、によって定義される平行多面体の体積である。${\displaystyle v_{i},}$これは、グラム行列式として計算できます。${\displaystyle v_{i},}$
• 向きが${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$肯定的な方向性を持っている。

これは、評価すると次のようになる、独自の多重線形交代積です。${\displaystyle e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}}$、${\displaystyle e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},}$インデックスの巡回置換についても同様である。

座標では、これに対して式を与えることができる。${\displaystyle (n-1)}$R ⁿにおけるクロス積の -項類似物:

$${\displaystyle \bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.}$$

この式は、基底ベクトルの行が最初の行ではなく最後の行である点を除いて、R ³の通常の外積の行列式と構造的に同一です。その理由は、順序付けられたベクトル ( v ₁ , ..., v _{n −1} , Λ ^{n –1} _i=0 v _i ) が ( e ₁ , ..., e _n )に対して正の向きを持つことを保証するためです。n が奇数の場合、この変更によって値は変化しないため、この慣例は二項積の通常の定義と一致します。ただし、 nが偶数の場合は、この区別を維持する必要があります。${\displaystyle (n-1)}$-項形式は、ベクトル外積と多くの同じ性質を持ちます。引数に関して交代的で線形であり、各引数に垂直であり、その大きさは引数によって囲まれた領域の超体積を与えます。また、ベクトル外積と同様に、引数のウェッジ積のホッジ双対として座標に依存しない方法で定義できます。さらに、この積は${\displaystyle [v_{1},\ldots ,v_{n}]:=\bigwedge _{i=0}^{n}v_{i}}$フィリポフ恒等式を満たし、 $${\displaystyle [[x_{1},\ldots ,x_{n}],y_{2},\ldots ,y_{n}]]=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},\ldots ,x_{i-1},[x_{i},y_{2},\ldots ,y_{n}],x_{i+1},\ldots ,x_{n}],}$$ そのため、R ⁿ⁺¹には n-リー代数の構造が付与される（^{[ 23 ]}の命題 1 を参照）。