トリプル製品

幾何学と代数学において、三重積は 3 つの 3次元ベクトル (通常はユークリッド ベクトル)の積です。「三重積」という名前は、スカラー値のスカラー三重積と、あまり一般的ではありませんがベクトル値のベクトル三重積の 2 つの異なる積に使用されます。

スカラー三重積(混合積、ボックス積、または三重スカラー積とも呼ばれる) は、ベクトルの 1 つと他の 2 つの 外積とのドット積として定義されます。

幾何学的には、スカラー三重積

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

与えられた 3 つのベクトルによって定義される 平行六面体の(符号付き)体積です。

• スカラー三重積は、3つのオペランド（a、b、c ）の循環シフトでは変化しません。

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• オペランドの順序を変更せずに演算子の位置を入れ替えると、三重積は変更されません。これは、前述の性質とドット積の交換法則から導かれます。

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• 3 つのオペランドのうち 2 つを交換すると、三重積は反転します。これは、循環シフト特性と外積の 反可換性から生じます。

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• スカラー三重積は、3 つのベクトルを行または列として持つ3 × 3行列の行列式として理解することもできます (行列の行列式は転置行列と同じになります)。

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• スカラー三重積がゼロの場合、3 つのベクトルa、b、cは共平面になります。これは、それらによって定義される平行六面体が平らになり、体積がなくなるためです。
• スカラー三重積内の任意の 2 つのベクトルが等しい場合、その値は 0 になります。

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• また：

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• 2つの三重積の単純積（または三重積の平方）は、ドット積で展開できます。^[1]これは、2つの3×3行列の行列式の積がそれらの行列積の行列式に等しいことをベクトル表記で言い換えたものです。特別なケースとして、三重積の平方はグラム行列式です。$${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b } \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$
• 三重積と 3 つのベクトルノルムの積の比は極正弦と呼ばれ、範囲は -1 から 1 までです。$${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$

スカラー三重積は平行六面体の体積を与えますが、それは符号付きの体積であり、その符号はフレームの方向またはベクトルの順列の偶奇性に依存します。つまり、たとえば偶奇変換によって方向が反転すると積は否定され、方向が変わる可能性がある場合は擬似スカラーとしてより適切に記述されます。

これは、外積の利き手性にも関係します。外積はパリティ変換の下で擬似ベクトルとして変換されるため、擬似ベクトルとして適切に記述されます。2 つのベクトルのドット積はスカラーですが、擬似ベクトルとベクトルのドット積は擬似スカラーであるため、(ベクトルの) スカラー三重積は擬似スカラー値である必要があります。

Tが適切な回転であれば

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

しかしTが不適当な回転であれば

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

厳密に言えば、スカラーは座標変換によってまったく変化しません。(たとえば、ベクトルを 2 倍にするために使用される係数 2 は、ベクトルが球座標の場合と直交座標の場合で変化しません。) ただし、各ベクトルが行列によって変換される場合、三重積は変換行列の行列式で乗算されますが、これは回転しない場合にはまったく任意になる可能性があります。つまり、三重積はスカラー密度としてより適切に記述されます。

外積代数と幾何代数では、2 つのベクトルの外積は2 ベクトルであり、3 つのベクトルの外積は 3ベクトルです。2 ベクトルは方向付けられた平面要素であり、3 ベクトルは方向付けられた体積要素です。これは、ベクトルが方向付けられた線要素であるのと同じです。

ベクトルa、b、cが与えられたとき、積

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

はスカラー三重積に等しい大きさの三重ベクトルである。すなわち

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$、

はスカラー三重積のホッジ双対です。外積は結合的であるため括弧は必要ありません。 これは、積のベクトルの順序は重要であっても、 a ∧ bまたは b ∧ cのどちらを最初に計算するかは重要ではないためです。幾何学的には、三重ベクトルa ∧ b ∧ c は、 a、b、およびcが張る平行六面体に対応し、二重ベクトルa ∧ b、b ∧ c 、およびa ∧ c は平行六面体の 平行四辺形の面と一致します。

三重積は、内積を介してベクトルに適用されたユークリッド 3 次元空間の体積形式と同一です。また、形式と同等のランク 3 テンソル (または体積擬似形式と同等の擬テンソル) を持つベクトルの縮約として表現することもできます。以下を参照してください。

ベクトルの三重積は、1 つのベクトルと他の 2 つのベクトルの 外積として定義されます。次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$。

これは三重積展開、またはラグランジュの公式として知られていますが、^{[2] [3]}後者の名前は他のいくつかの公式にも使用されています。その右辺は、どのベクトルが一緒に点を打たれるかを覚えておけば、「ACB − ABC」という記憶法で覚えることができます。証明は以下にあります。一部の教科書では、より馴染みのある記憶法「BAC − CAB」（「タクシーの後ろ」）が得られるように恒等式を書いています。 ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

外積は反可換なので、この式は（文字の入れ替えを除いて）次のように書くこともできます。

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

ラグランジュの公式から、ベクトル三重積は次の式を満たすことがわかります。

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

これは外積の ヤコビ恒等式です。別の便利な式は次のとおりです。

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

これらの公式は物理学におけるベクトル計算を簡素化するのに非常に有用である。勾配に関する関連した恒等式でベクトル計算に有用なのは、ラグランジュのベクトル積恒等式である: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

これは、より一般的なラプラス・ド・ラーム演算子 の特殊なケースとみなすこともできます。 ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

の成分は 次のように与えられます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

同様に、およびの成分は 次のように与えられます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

これら 3 つのコンポーネントを組み合わせると、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

幾何代​​数を用いると、ベクトルの外積b × c は、その外積 b ∧ c、つまり二ベクトルとして表現される。2番目の外積は外積として表現できない。そうしないと、スカラー三重積になってしまう。代わりに左縮約[ ^6]を使うと、式は^{[7]になる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

証明は収縮の性質から導かれる。^[6]結果はa ×( b × c )を使って計算したベクトルと同じである。

テンソル表記では、三重積はレヴィ・チヴィタ記号: ^[8] を使用して表され 、 結果として得られるベクトルの - 番目の成分 を参照します。これは、レヴィ・チヴィタ記号の縮約を実行することで簡略化できます。 ここで、 はクロネッカーのデルタ関数(およびのとき)であり、 は一般化されたクロネッカーのデルタ関数です。インデックスが合計されて とのみが残ることを認識することで、この恒等式を推論できます。第 1 項では、 を固定してとします。同様に、第 2 項では、 を固定してとします。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$$${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i=l}$${\displaystyle j=m}$${\displaystyle i=m}$${\displaystyle l=j}$

三重積に戻ると、 $${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.}$$

パラメトリックに定義された表面 を横切るベクトル場のフラックス積分を考えます。表面への単位法線ベクトルは で与えられるため、積分関数はスカラーの三重積です。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$

• 四重積
• ベクトル代数関係

• ラス、ハリー (1950)。ベクトルとテンソル解析。McGraw-Hill Book Company、Inc.、pp. 23–25。

• 3 倍積展開の証明に関するカーン アカデミーのビデオ