ベクトル投影

The scalar projection of a on b is a scalar equal to $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ where θ is the angle between a and b.

A scalar projection can be used as a scale factor to compute the corresponding vector projection.

The vector projection of a on b is a vector whose magnitude is the scalar projection of a on b with the same direction as b. Namely, it is defined as $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$ where ${\displaystyle a_{1}}$ is the corresponding scalar projection, as defined above, and ${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$ is the unit vector with the same direction as b: $${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

By definition, the vector rejection of a on b is: $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Hence, $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

By the above-mentioned property of the dot product, the definition of the scalar projection becomes:^[2]$${\displaystyle {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}}$$

In two dimensions, this becomes $${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Similarly, the definition of the vector projection of a onto b becomes:^[2]$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$ which is equivalent to either $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$ or^[3]$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

2次元では、スカラー除去は、aをに投影することに相当する。${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$それは${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$左に90°回転した。したがって、 $${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

このような内積は「垂直内積」と呼ばれます。

定義により、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

したがって、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

垂直内積を用いたスカラー除去法を用いると、

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

スカラーaからbへの射影は、 90 度< θ ≤ 180 度の場合に負の符号を持つスカラーです。角度が90°より小さい場合、ベクトル射影の長さ‖c‖と一致します。より正確には、次のようになります。

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ 0° ≤ θ ≤ 90°の場合、
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ if 90° < θ ≤ 180°。

ベクトルaからbへの射影は_、零ベクトルまたはbに平行なベクトルa1である。より正確には：

• a ₁ = 0はθ = 90°の場合です。
• 0° ≤ θ < 90°の場合、 a ₁とb は同じ方向になります。
• 90° < θ ≤ 180°の場合、 a ₁とb は反対方向になります。

bに対するaのベクトル棄却は、_零ベクトルまたはbに直交するベクトルa2である。より正確には：

• a ₂ = 0 はθ = 0°またはθ = 180°の場合です。
• 0 < θ < 180°の場合、 a _2はbに直交します。

場合によっては、内積はドット積と一致します。一致しない場合は、射影と棄却の正式な定義でドット積の代わりに内積が使用されます。 3 次元内積空間の場合、ベクトルの別のベクトルへの射影と、別のベクトルからの別のベクトルの棄却の概念は、ベクトルの平面への射影と、平面からのベクトルの棄却の概念に一般化できます。^{[ 4 ]}ベクトルの平面への射影は、その平面への直交射影です。ベクトルの平面からの棄却は、その平面に直交する直線への直交射影です。どちらもベクトルです。前者は平面に平行で、後者は直交しています。

与えられたベクトルと平面に対して、射影と棄却の和は元のベクトルに等しくなります。同様に、3 次元を超える内積空間では、ベクトルへの射影とベクトルからの棄却の概念は、超平面への射影と超平面からの棄却の概念に一般化できます。幾何代数では、これらはさらに、任意の可逆なkブレードへの、またはそこからの一般的な多重ベクトルの射影と棄却の概念に一般化できます。