スカラー三重積 平行六面体を定義する3つのベクトル スカラー三重積 （混合積 、ボックス積 、または三重スカラー積 とも呼ばれる）は、2つのベクトルのうちの1つと、他の2つのベクトルの外積との 内積 として定義されます。
幾何学的解釈 幾何学的には、スカラー三重積
1 ⋅ （ b × c ） {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} は、与えられた3つのベクトルによって定義される平行六面体 の（符号付き）体積です。
三重積はスカラー密度である 厳密に言えば、スカラーは 座標変換によって全く変化しません。（例えば、ベクトルを2倍にするために使用される係数2は、ベクトルが球面座標系にあるか直交座標系にあるかに関わらず変わりません。）しかし、各ベクトルが行列によって変換される場合、三重積は変換行列の行列式で乗算されることになります。つまり、共変ベクトルの三重積は、より正確にはスカラー密度 として記述されます。
T 1 ⋅ （ T b × T c ） = 検出 （ T 1 T b T c ） = 検出 （ T （ 1 b c ） ） = 検出 （ T ） 検出 （ 1 b c ） = 検出 （ T ） （ 1 ⋅ （ b × c ） ） {\displaystyle {\begin{aligned}T\mathbf {a} \cdot (T\mathbf {b} \times T\mathbf {c} )&=\det {\begin{pmatrix}T\mathbf {a} &T\mathbf {b} &T\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det \left(T{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\right)\\&=\det(T)\det \!{\begin{pmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{pmatrix}}\\&=\det(T)\left(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right)\end{aligned}}}
一部の著者は、スカラーのように見えるがスカラーのように変換しない対象を説明するために「擬似スカラー」という用語を使用する。三重積はスカラーではなくスカラー密度として変換するため、このより広い定義では「擬似スカラー」と呼ばれるかもしれない。しかし、三重積は「擬似スカラー密度」ではない。
変換が方向保存回転の場合、その行列式は+1 となり、三重積は変化しません。変換が方向反転回転の場合、その行列式は-1 となり、三重積は負になります。任意の変換の行列式は、+1 でも-1 でもない場合があります。
外装製品として 平行六面体を構成する3つのベクトルの積は、その体積に等しい。（ただし、この図の矢印の方向は間違っているので注意。） 外積代数 および幾何代数 において、2つのベクトルの外積は双ベクトル 、3つのベクトルの外積は三ベクトル と呼ばれます。双ベクトルは向き付けられた平面要素であり、三ベクトルは向き付けられた体積要素です。これは、ベクトルが向き付けられた線要素であるのと同様です。
ベクトルa 、b 、c が与えられたとき、積
1 ∧ b ∧ c {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} } はスカラー三重積に等しい大きさを持つ三重ベクトルである。
| 1 ∧ b ∧ c | = | 1 ⋅ （ b × c ） | {\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|} そして、これはスカラー三重積の ホッジ双対です。外積は結合法則を満たすため、 a ∧ b b ∧ c a ∧ b ∧ cは、 a 、b 、c で張られる平行六面体に対応し、二ベクトルa ∧ b b ∧ c a ∧ c は平行六面体の平行四辺形 の面に対応します。
三線形関数として 三重積は、内積を介してベクトルに適用されたユークリッド3次元空間の体積形式と同一です。 また、 形式と同等のランク3テンソル（または体積擬似形式と同等の擬似テンソル）を持つベクトルの 縮約 としても表現できます。詳細は下記を 参照してください。
ベクトル三重積 ベクトル三重積は 、1つのベクトルと他の2つのベクトルの外積として 定義されます。以下の関係が成り立ちます。
1 × （ b × c ） = （ 1 ⋅ c ） b − （ 1 ⋅ b ） c {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} } これは三重積展開 、またはラグランジュの公式 として知られていますが、[ 2 ] [ 3 ] 他のいくつかの公式 にも使用されています。証明は以下に 示されています。
外積は反交換関係にあるため、この式は（文字の順列を除いて）次のように書くこともできます。
（ 1 × b ） × c = − c × （ 1 × b ） = − （ c ⋅ b ） 1 + （ c ⋅ 1 ） b {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} } ラグランジュの公式から、ベクトル三重積は次の式を満たすことがわかる。
1 × （ b × c ） + b × （ c × 1 ） + c × （ 1 × b ） = 0 {\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} } これは外積のヤコビ恒等式です。もう一つ便利な公式は次のとおりです。
（ 1 × b ） × c = 1 × （ b × c ） − b × （ 1 × c ） {\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )} これらの公式は、物理学 におけるベクトル計算を簡略化するのに非常に役立ちます。勾配 に関する関連恒等式で、ベクトル解析 に役立つのは、ラグランジュのベクトル外積恒等式の公式です。[ 4 ]
∇ × （ ∇ × A ） = ∇ （ ∇ ⋅ A ） − （ ∇ ⋅ ∇ ） A {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} } これは、より一般的なラプラス・ド・ラーム演算子 の特殊な場合とみなすこともできる。Δ = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}
幾何代数を用いる 幾何代数を用いると、ベクトルのクロス積b × c は、それらの外積 b ∧ c 、つまり双ベクトル として表される。 2 番目のクロス積は外積として表すことはできない。そうしないと、スカラー三重積になってしまうからである。 代わりに左縮約 [ 6 ] [ 7 ]となる。
− 1 ⌟ （ b ∧ c ） = b ∧ （ 1 ⌟ c ） − （ 1 ⌟ b ） ∧ c = （ 1 ⋅ c ） b − （ 1 ⋅ b ） c {\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}} 証明は縮約の性質から導かれる。[ 6 ] a × ( b × c ) を使用して計算されたベクトルと同じである。
非可換三重ベクトル積 非可換ベクトル 演算子1 ^ 、 b ^ 、 c ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ,\mathbf {\hat {b}} ,\mathbf {\hat {c}} }
1 ^ × （ b ^ × c ^ ） = b ^ （ 1 ^ ⋅ c ^ ） − c ^ （ 1 ^ ⋅ b ^ ） + ∑ α 、 β = 1 3 （ [ 1 ^ β 、 b ^ α ] c ^ β + [ c ^ α 、 1 ^ β ] b ^ β + 1 ^ β [ c ^ α 、 b ^ β ] ） e α {\displaystyle \mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)=\mathbf {\hat {b}} {\Big (}\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} {\Big )}-\mathbf {\hat {c}} {\Big (}\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} {\Big )}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left(\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+{\hat {a}}_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\right)\mathbf {e} _{\alpha }} （ 1 ^ × b ^ ） × c ^ = b ^ （ 1 ^ ⋅ c ^ ） − 1 ^ （ b ^ ⋅ c ^ ） + ∑ α 、 β = 1 3 [ 1 ^ β 、 b ^ α ] c ^ β e α {\displaystyle \left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} =\mathbf {\hat {b}} \left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-\mathbf {\hat {a}} \left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }\mathbf {e} _{\alpha }}
単位ベクトルを用いてe α {\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }} α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } 正規直交基底 のインデックスであり、角括弧は交換子を表す 。
証拠 クロス積の個々の成分を使用する
（ 1 × b ） α = ε α β γ 1 β b γ 、 {\displaystyle \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }a_{\beta }b_{\gamma }\,,}
クローネッカーデルタによる レヴィ＝チヴィタのシンボル 表現も同様である。
ε α β γ ε γ μ ν = δ α μ δ β ν − δ α ν δ β μ 、 {\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }=\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\,,}
私たちは表現を受け取ります
（ 1 ^ × （ b ^ × c ^ ） ） α = ε α β γ 1 ^ β （ b ^ × c ^ ） γ = ε α β γ 1 ^ β ε γ μ ν b ^ μ c ^ ν = （ δ α μ δ β ν − δ α ν δ β μ ） 1 ^ β b ^ μ c ^ ν = 1 ^ β b ^ α c ^ β − 1 ^ β b ^ β c ^ α = （ b ^ α 1 ^ β c ^ β − c ^ α 1 ^ β b ^ β ） + （ 1 ^ β b ^ α c ^ β − b ^ α 1 ^ β c ^ β ） + （ c ^ α 1 ^ β b ^ β − 1 ^ β b ^ β c ^ α ） = b ^ α （ 1 ^ β c ^ β ） − c ^ α （ 1 ^ β b ^ β ） + [ 1 ^ β 、 b ^ α ] c ^ β + [ c ^ α 、 1 ^ β b ^ β ] = b ^ α （ 1 ^ ⋅ c ^ ） − c ^ α （ 1 ^ ⋅ b ^ ） + [ 1 ^ β 、 b ^ α ] c ^ β + [ c ^ α 、 1 ^ β ] b ^ β + 1 β [ c ^ α 、 b ^ β ] {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)\right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left(\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\right){\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }={\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\\&=\left({\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)+\left({\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right]\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+a_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\end{aligned}}}
最初の同一性と表現について
（ （ 1 ^ × b ^ ） × c ^ ） α = ε α β γ （ 1 ^ × b ^ ） β c ^ γ = ε α β γ ε β μ ν 1 ^ μ b ^ ν c ^ γ = （ δ ν α δ μ γ − δ μ α δ ν γ ） 1 ^ μ b ^ ν c ^ γ = 1 ^ μ b ^ α c ^ μ − 1 ^ α b ^ ν c ^ ν = （ 1 ^ μ b ^ α − b ^ α 1 ^ μ + b ^ α 1 ^ μ ） c ^ μ − 1 ^ α （ b ^ ⋅ c ^ ） = （ [ 1 ^ μ 、 b ^ α ] + b ^ α 1 ^ μ ） c ^ μ − 1 ^ α （ b ^ ⋅ c ^ ） = b ^ α （ 1 ^ ⋅ c ^ ） − 1 ^ α （ b ^ ⋅ c ^ ） + [ 1 ^ μ 、 b ^ α ] c ^ μ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)_{\beta }{\hat {c}}_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\beta \mu \nu }{\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }\\&=\left(\delta _{\nu \alpha }\delta _{\mu \gamma }-\delta _{\mu \alpha }\delta _{\nu \gamma }\right){\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }={\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left({\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&=\left(\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\mu }\end{aligned}}}
3つのインデックスそれぞれについて、2番目の恒等式を求めます。それらをすべてのインデックスの合計として表すことで、元の恒等式が得られます。
三重ベクトル積 幾何代数では、3 つの双ベクトル も三重積を持つことができます。この積は、標準的な三重ベクトル積を模倣しています。3 つの双ベクトルの反対称積は次のようになります。
1 ⇒ × （ b ⇒ × c ⇒ ） = − （ 1 ⇒ ⋅ c ⇒ ） b ⇒ + （ 1 ⇒ ⋅ b ⇒ ） c ⇒ {\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times \left({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}}\right)=-\left({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}\right){\overset {\Rightarrow }{b}}+\left({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}\right){\overset {\Rightarrow }{c}}}
証拠 この証明は、すべてのベクトルが二重ベクトルになるまで、三重ベクトル積の幾何代数版の双対をとることによって行われます。
（ − 1 ⌟ （ b ∧ c ） ） ⋆ = − 1 2 （ 1 ⇒ （ b ∧ c ） − （ b ∧ c ） 1 ⇒ ） = − 1 ⇒ × （ b ∧ c ） （ − 1 ⇒ × （ b ∧ c ） ） ⋆ = − 1 2 （ 1 ⇒ 1 2 （ b ⇒ c − c b ⇒ ） − 1 2 （ b ⇒ c − c b ⇒ ） 1 ⇒ ） = − 1 ⇒ × （ b ⇒ ⋅ c ） （ − 1 ⇒ × （ b ⇒ ⋅ c ） ） ⋆ = − 1 2 （ 1 ⇒ 1 2 （ b ⇒ c ⇒ − c ⇒ b ⇒ ） − 1 2 （ b ⇒ c ⇒ − c ⇒ b ⇒ ） 1 ⇒ ） = 1 ⇒ × （ b ⇒ × c ⇒ ） {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&(-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )-(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}\mathbf {c} -\mathbf {c} {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&=-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} )\\&(-{\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\cdot \mathbf {c} ))\star &&=-{\tfrac {1}{2}}\left({\overset {\Rightarrow }{a}}{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}})-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{c}}-{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{a}}\right)&&={\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})\end{alignedat}}} これは3回のデュアル攻撃でした。左側も同様に行わなければなりません。
（ （ （ （ 1 ⋅ c ） b − （ 1 ⋅ b ） c ） ⋆ ） ⋆ ） ⋆ = 1 2 （ 1 ⇒ c ⇒ + c ⇒ 1 ⇒ ） b ⇒ − 1 2 （ 1 ⇒ b ⇒ + b ⇒ 1 ⇒ ） c ⇒ = （ 1 ⇒ ⋅ c ⇒ ） b ⇒ + （ 1 ⇒ ⋅ b ⇒ ） c ⇒ {\displaystyle {\begin{aligned}&((((\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} )\star )\star )\star \\&={\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{c}}+{\overset {\Rightarrow }{c}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{b}}-{\tfrac {1}{2}}({\overset {\Rightarrow }{a}}{\overset {\Rightarrow }{b}}+{\overset {\Rightarrow }{b}}{\overset {\Rightarrow }{a}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\\&=({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}\end{aligned}}} 両辺を負にすると、次の式が得られます。
1 ⇒ × （ b ⇒ × c ⇒ ） = − （ 1 ⇒ ⋅ c ⇒ ） b ⇒ + （ 1 ⇒ ⋅ b ⇒ ） c ⇒ {\displaystyle {\overset {\Rightarrow }{a}}\times ({\overset {\Rightarrow }{b}}\times {\overset {\Rightarrow }{c}})=-({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{c}}){\overset {\Rightarrow }{b}}+({\overset {\Rightarrow }{a}}\cdot {\overset {\Rightarrow }{b}}){\overset {\Rightarrow }{c}}}
注記 ↑ ウォン・チュンワ (2013).数理物理学入門：方法と概念 . オックスフォード大学出版局. p. 215. ISBN 9780199641390 。↑ Joseph Louis Lagrange は、 外積をベクトルの代数積として開発しませんでしたが、コンポーネント内でその等価形式を使用しました: Lagrange, JL (1773) を参照。 「三角関係の問題の解決策分析」。 作品 。 Vol. 3. ラグランジュの恒等式 および伊藤清司 （1987） 『数学百科事典』 MIT Press、p. 1679も参照のこと 。ISBN 0-262-59020-4 。↑ 伊藤清司 (1993)。 「§C: ベクトル積」 . 数学百科事典 (第 2 版)。 MITプレス。 p. 1679.ISBN 0-262-59020-4 。↑ Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists . Routledge. p. 13. ISBN 978-0-415-41578-1 。↑ J. Heading (1970). Mathematical Methods in Science and Engineering . American Elsevier Publishing Company, Inc. pp. 262–263 . 1 2 Pertti Lounesto (2001). Clifford algebras and spinors (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 46. ISBN 0-521-00551-5 。↑ Janne Pesonen. 「1 変数および多変数マルチベクトルの幾何代数」 (PDF) . p. 37. ↑ 「順列テンソル」 。Wolfram 。 2014年 5月21日 取得 。
参考文献 ラス、ハリー（1950）。ベクトルとテンソル解析 。マグロウヒル・ブック・カンパニー、pp. 23–25 。
外部リンク カーンアカデミーの動画で、三重積展開の証明が示されている。
![{\displaystyle \mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)=\mathbf {\hat {b}} {\Big (}\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} {\Big )}-\mathbf {\hat {c}} {\Big (}\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} {\Big )}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left(\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+{\hat {a}}_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\right)\mathbf {e} _{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7332c6374d0321292edb895edff2498257eb00c1)
![{\displaystyle \left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} =\mathbf {\hat {b}} \left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-\mathbf {\hat {a}} \left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }\mathbf {e} _{\アルファ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd0ddf92f3584fb3dd061d583842cd5a1603b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {\hat {a}} \times \left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)\right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\left(\mathbf {\hat {b}} \times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }{\hat {a}}_{\beta }\varepsilon _{\gamma \mu \nu }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left(\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \nu }-\delta _{\alpha \nu }\delta _{\beta \mu }\right){\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\mu }{\hat {c}}_{\nu }={\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\\&=\left({\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\beta }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)+\left({\hat {c}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }-{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }{\hat {c}}_{\alpha }\right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {c}}_{\beta }\right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left({\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }{\hat {b}}_{\beta }\right]\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {c}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\beta },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\beta }+\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {a}}_{\beta }\right]{\hat {b}}_{\beta }+a_{\beta }\left[{\hat {c}}_{\alpha },{\hat {b}}_{\beta }\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affaa5a04f1b155b6c01e0d885f9361a8d8240e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)\times \mathbf {\hat {c}} \right)_{\alpha }&=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\left(\mathbf {\hat {a}} \times \mathbf {\hat {b}} \right)_{\beta }{\hat {c}}_{\gamma }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\varepsilon _{\beta \mu \nu }{\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }\\&=\left(\デルタ _{\nu \alpha }\delta _{\mu \gamma }-\delta _{\mu \alpha }\delta _{\nu \gamma }\right){\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\gamma }={\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }{\hat {b}}_{\nu }{\hat {c}}_{\nu }\\&=\left({\hat {a}}_{\mu }{\hat {b}}_{\alpha }-{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&=\left(\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]+{\hat {b}}_{\alpha }{\hat {a}}_{\mu }\right){\hat {c}}_{\mu }-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)\\&={\hat {b}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {a}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)-{\hat {a}}_{\alpha }\left(\mathbf {\hat {b}} \cdot \mathbf {\hat {c}} \right)+\left[{\hat {a}}_{\mu },{\hat {b}}_{\alpha }\right]{\hat {c}}_{\mu }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca4f3dd897d47b6f4bd1fe9ff5aa4b3a87fa156)
![{\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5abca130937a2012b0f42bf0a587074f8f08d6)
![{\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }cm}、}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b9001d4ed44c60bef2063869e9f9f04f79a66f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]\right)_{i}&=\left(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\right)a^{j}b_{\ell }c_{m}\\[1ex]&=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec79ccb3519b887ffc600deb5801219da56579e)