ベクトル乗算

数学において、ベクトルの乗算とは、 2つ（またはそれ以上）のベクトル間のいくつかの演算のうちの1つを指す場合があります。これは、以下のいずれかの項目に関係する可能性があります。

• ドット積（スカラー積とも呼ばれる）は、2 つのベクトルを受け取り、スカラー量を返す二項演算です。2 つのベクトルのドット積は、2 つのベクトルの大きさと、2 つのベクトル間の角度のコサインの積として定義できます。あるいは、最初のベクトルを 2 番目のベクトルに投影したものと、2 番目のベクトルの大きさの積として定義することもできます。したがって、$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$
• 外積– 「ベクトル積」とも呼ばれ、2 つのベクトルに対する二項演算で、別のベクトルが得られます。3 次元空間における 2 つのベクトルの外積は、2 つのベクトルによって決定される平面に垂直なベクトルとして定義され、その大きさは 2 つのベクトルの大きさと 2 つのベクトル間の角度の正弦の積です。したがって、${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ベクトルによって決定される平面に垂直な単位ベクトルは${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$、$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\sin \theta \,\mathbf {\hat {n}} .}$$
• 外積またはウェッジ積 – 2 つのベクトルに対する二項演算で、結果として 2 つのベクトルが得られます。ユークリッド 3 次元空間では、ウェッジ積は${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$外積と同じ大きさを持つ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$（辺によって形成される平行四辺形の面積）${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$）しかし、これは任意のアフィン空間や2つ以上のベクトル間の積に一般化される。
• テンソル積– 2つのベクトルについて${\displaystyle v\in V}$そして${\displaystyle w\in W,}$どこ${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$はベクトル空間であり、それらのテンソル積は${\displaystyle v\otimes w}$テンソル積に属する${\displaystyle V\otimes W}$ベクトル空間の。
• 幾何積またはクリフォード積– 2 つのベクトルの幾何積$${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$$は、スカラーと二重ベクトルからなる混合量です。幾何積は、引数として任意の多重ベクトルに対して適切に定義されます。
• 体上の代数における双線形積。
• リー代数におけるベクトルのリー括弧。
• アダマール積–スカラー座標のタプルの要素ごとの積。${\displaystyle (a\odot b)_{i}=a_{i}b_{i}}$。
• 外部製品-${\displaystyle (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )}$と$\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{m},\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$結果として${\displaystyle (m\times n)}$マトリックス。
• トリプル積― 3つのベクトルを含む積。
• 四重積– 4つのベクトルを含む積。

ベクトル乗算は数学において多くの応用例があるだけでなく、物理学や工学といった他の分野でも応用されている。

• スカラー乗算
• 行列乗算
• ベクトル加算
• ベクトル代数の関係