集合論

集合論は、集合を研究する数学論理学の一分野です。集合は、非公式にはオブジェクトの集合として説明できます。あらゆる種類のオブジェクトを集合にまとめることができますが、数学の一分野としての集合論は、主に数学全体に関連するオブジェクトを扱います。

集合論の現代研究は、1870年代にドイツの数学者リヒャルト・デーデキントとゲオルク・カントールによって始められた。特にゲオルク・カントールは集合論の創始者と一般に考えられている。この初期段階で研究された非形式化体系は、素朴集合論と呼ばれている。素朴集合論におけるパラドックス（ラッセルのパラドックス、カントールのパラドックス、ブラーリ・フォルティのパラドックスなど）の発見後、20世紀初頭にはさまざまな公理体系が提案されたが、その中でもツェルメロ・フランケル集合論（選択公理の有無にかかわらず）は今なお最もよく知られ、最も研究されている。

集合論は、特に選択公理を伴うツェルメロ-フランケル集合論の形で、数学全体の基礎システムとして広く用いられている。基礎的役割の他に、集合論は無限の数学的理論を展開するための枠組みも提供し、コンピュータサイエンス（関係代数の理論など）、哲学、形式意味論、進化ダイナミクスなどさまざまな分野に応用されている。その基礎的魅力、パラドックス、無限の概念への影響、そして多様な応用により、集合論は論理学者や数学哲学者にとって大きな関心の的となっている。集合論に関する現代の研究は、実数直線の構造から大きな基数の一貫性の研究まで、多岐にわたるトピックをカバーしている。

数学のテーマは、通常、多くの研究者の交流を通じて生まれ、進化します。しかし、集合論は、1874年にゲオルク・カントールが発表した「すべての実代数的数の集合の性質について」という1つの論文によって確立されました。^{[1] [2]}

紀元前5世紀以来、西ではギリシャの数学者エレアのゼノン、東では初期インドの数学者たちに始まり、数学者たちは無限の概念に取り組んできた。特に注目すべきは19世紀前半のベルナルド・ボルツァーノの研究である。 ^[3]無限の現代的な理解は1870年から1874年に始まり、カントルの実解析の研究に触発された。^[4]

集合論は、オブジェクトoと集合Aの間の基本的な二項関係から始まります。oがAのメンバー（または要素）である場合、 o ∈ Aという表記が使用されます。 集合は、要素をコンマで区切って列挙するか、要素の特徴的なプロパティを中括弧 { } 内に列挙することによって記述されます。^[5]集合はオブジェクトであるため、メンバーシップ関係は集合にも関連付けることができます。つまり、集合自体が他の集合のメンバーになることができます。

2 つの集合間の派生的な二項関係は、部分集合関係 (集合包含とも呼ばれる) です。集合Aのすべてのメンバーが集合Bのメンバーでもある場合、AはBの部分集合であり、A ⊆ Bと表記されます。たとえば、{1, 2}は{1, 2, 3}の部分集合であり、 {2}も同様ですが、{1, 4} はそうではありません。この定義が示すように、集合はそれ自身の部分集合です。この可能性が不適切または拒否される方が理にかなっている場合のために、適切な部分集合という用語が定義されます。A がBの適切な部分集合と呼ばれるのは、A がBの部分集合であるが、 A がBと等しくない場合のみです。また、 1、2、および 3 は集合{1, 2, 3}のメンバー (要素) ですが、その部分集合ではありません。同様に、{1}などの部分集合は集合{1, 2, 3}のメンバーではありません。より複雑な関係が存在する場合もあります。たとえば、集合{1}は集合{1, {1}}のメンバーであると同時に、その真部分集合でもあります。

算術が数値に対して二項演算を行うのと同様に、集合論は集合に対して二項演算を行う。^[6]以下はその一部である。

• 集合AとBの和集合はA ∪ Bと表記され、 A、 B、またはその両方のメンバーであるすべてのオブジェクトの集合です^{。 [7]}たとえば、 {1, 2, 3}と{2, 3, 4}の和集合は集合{1, 2, 3, 4}です。
• 集合AとBの交差は、 A ∩ Bと表記され、 AとB の両方のメンバーであるすべてのオブジェクトの集合です。たとえば、 {1, 2, 3}と{2, 3, 4}の交差は集合{2, 3}です。
• UとAの差集合は、 U \ Aと表記され、 Aに含まれないUのすべてのメンバーの集合です。差集合{1, 2, 3} \ {2, 3, 4}は{1}で、逆に、差集合{2, 3, 4} \ {1, 2, 3}は{4}です。 A がUのサブセットである、差集合U \ A はUにおけるAの補集合とも呼ばれます。この場合、文脈からUの選択が明らかな場合は、特にベン図の研究のようにUが全体集合である場合は、 U \ Aの代わりにA ^{c という}表記が使用されることがあります。
• 集合AとBの対称差は、 A △ BまたはA ⊖ Bと表記され、 AとBのいずれか一方のメンバーであるすべてのオブジェクト（集合の一方には含まれるが、両方には含まれない要素）の集合です。たとえば、集合{1, 2, 3}と{2, 3, 4}の場合、対称差集合は{1, 4}です。これは、和集合と積集合の差集合、つまり( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )または( A \ B ) ∪ ( B \ A )です。
• AとBの直積はA × Bと表記され、すべての可能な順序付きペア ( a、b )をメンバーとする集合ですここで、 aはAのメンバーであり、 b はBのメンバーです。たとえば、 {1, 2} と {赤、白} の直積は{(1, 赤), (1, 白), (2, 赤), (2, 白)} です。

中心的な重要性を持つ基本集合には、自然数の集合、実数の集合、空集合（要素を含まない唯一の集合）などがあります。空集合はヌル集合と呼ばれることもありますが、^[8]この名前は曖昧で、さまざまな解釈につながる可能性があります。

集合Aのべき集合はと表記され、 Aの可能な部分集合のすべてをメンバーとする集合です。たとえば、{1, 2}のべき集合は{ {}, {1}, {2}, {1, 2} }です。特に、には A と空集合の両方が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

集合が純粋であるとは、そのメンバーがすべて集合であり、そのメンバーのすべてのメンバーも集合である、などの場合です。たとえば、空集合のみを含む集合は、空でない純粋集合です。現代の集合論では、純粋集合のフォン・ノイマン宇宙に注意を限定することが一般的であり、公理的集合論の多くのシステムは、純粋集合のみを公理化するように設計されています。この制限には多くの技術的な利点があり、基本的にすべての数学的概念を純粋集合によってモデル化できるため、一般性はほとんど失われません。フォン・ノイマン宇宙の集合は、メンバー、メンバーのメンバーなどがどれだけ深くネストされているかに基づいて、累積的な階層に編成されます。この階層の各集合には (超限再帰によって)順序数が割り当てられます 。これは階数と呼ばれます。純粋集合の階数は、その要素の階数よりも確実に大きい最小の順序数として定義されます。たとえば、空集合にはランク 0 が割り当てられ、空集合のみを含む集合{{}}にはランク 1 が割り当てられます。各順序数 に対して、集合 はランク 未満のすべての純粋集合で構成されるように定義されます。フォン ノイマン宇宙全体は で表されます 。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle V_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle V}$

初等集合論は非公式かつ直感的に学ぶことができるため、ベン図を 使って小学校で教えることができる。直感的なアプローチは、特定の定義条件を満たすすべてのオブジェクトのクラスから集合を形成できると暗黙的に想定している。この想定はパラドックスを生じさせるが、最も単純でよく知られているのはラッセルのパラドックスとブラーリ＝フォルティのパラドックスである。公理的集合論は、もともと集合論からそのようなパラドックスを取り除くために考案された。^{[注 1]}

最も広く研究されている公理的集合論の体系は、すべての集合が累積的な階層を形成することを示唆している。^[a]このような体系には2つの種類があり、そのオントロジーは次のものから構成されます。

• 集合のみ。これには、最も一般的な公理的集合論である、選択公理を伴うツェルメロ-フランケル集合論( ZFC ) が含まれます。ZFC のフラグメントには次のものがあります。
  • 置換の公理スキームを分離の公理スキームに置き換えるツェルメロ集合論。
  • 一般集合論、ペアノ公理と有限集合に十分なツェルメロ集合論の小さな断片。
  • クリプキ・プラテック集合論は、無限公理、冪集合公理、選択公理を省略し、分離公理と置換公理の図式を弱めます。
• 集合と固有クラス。これらには、集合に関する定理のみに関してZFCと同等の強さを持つフォン・ノイマン・ベルネイス・ゲーデル集合論、および ZFC よりも強いモース・ケリー集合論とタルスキ・グロタンディーク集合論が含まれます。

上記のシステムは、セットのメンバーになることができるが、それ自体はセットではなくメンバーを持たないオブジェクトである urement を許可するように変更できます。

ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインに関連する、 NFU（固有要素を認める）とNF（固有要素を欠く）という新しい基礎体系は、累積的な階層構造に基づいていない。NFとNFUには「すべての集合」が含まれており、すべての集合にはそれに対する補集合が存在する。これらの体系では固有要素が重要になる。なぜなら、NFは選択公理が成り立たない集合を生成するが、NFUはそうではないからである。NFの存在論は従来の累積的な階層構造を反映せず、十分基礎づけられていないにもかかわらず、トーマス・フォースターはNFが集合の反復的な概念を反映していると主張している。^[9]

CST、CZF、IZF などの構成的集合論のシステムでは、集合公理を古典論理ではなく直観論理に組み込んでいます。しかし、他のシステムは古典論理を受け入れますが、非標準のメンバーシップ関係を特徴としています。これらには、ラフ集合論とファジー集合論が含まれます。これらの集合論では、メンバーシップ関係を具体化する原子式の値は単純にTrueまたはFalse ではありません。ZFCのブール値モデルは関連する主題です。

ZFCを拡張した内部集合論は、 1977年にエドワード・ネルソンによって提案された。^[10]

多くの数学的概念は、集合論的概念のみを使用して正確に定義できます。たとえば、グラフ、多様体、環、ベクトル空間、関係代数などの多様な数学的構造はすべて、さまざまな（公理的）特性を満たす集合として定義できます。同値関係と順序関係は数学に遍在し、数学的関係の理論は集合論で記述できます。^{[11] [12]}

集合論は数学の多くにとって有望な基礎体系でもある。プリンキピア・マテマティカ第1巻の出版以来、適切に設計された集合論の公理セットと多くの定義、および第一階述語論理または第二階述語論理を使用することで、ほとんどの（あるいはすべての）数学定理を導くことができると主張されてきた。例えば、自然数と実数の特性は集合論の範囲内で導くことができる。なぜなら、これらの数体系はそれぞれ、その要素を特定の形式の集合として表現することで定義できるからである。^[13]

数学的解析、位相幾何学、抽象代数、離散数学の基礎としての集合論も同様に議論の余地がありません。数学者は、これらの分野の定理は集合論の関連する定義と公理から導くことができることを（原則として）受け入れています。しかし、集合論からの複雑な数学定理の完全な導出が形式的に検証されたものはほとんどありません。それは、そのような形式的な導出が、数学者が一般的に示す自然言語による証明よりもはるかに長いことが多いためです。検証プロジェクトの 1 つであるMetamathには、 ZFC集合論、一階述語論理、命題論理から始まる 12,000 を超える定理の、人間が記述し、コンピューターで検証された導出が含まれています。^[14] ZFCと選択公理は最近、進化ダイナミクスへの応用が見られ、^[15]進化と相互作用の確立されたモデルの理解を深めています。

集合論は数学の主要な研究分野であり、多くの相互に関連するサブフィールドがあります。

組合せ集合論は有限組合せ論の無限集合への拡張に関するものです。これには基数算術の研究やエルデシュ・ラドー定理などのラムゼーの定理の拡張の研究が含まれます。

記述的集合論は、実数直線の部分集合、より一般的にはポーランド空間の部分集合の研究です。これは、ボレル階層における点クラスの研究から始まり、射影階層やワッジ階層などのより複雑な階層の研究にまで及びます。ボレル集合の多くの特性はZFC で確立できますが、これらの特性がより複雑な集合に当てはまることを証明するには、決定性や大きな基数に関連する追加の公理が必要です。

有効記述集合論の分野は、集合論と再帰理論の中間に位置します。この分野には、ライトフェイス点クラスの研究が含まれ、超算術理論と密接に関連しています。多くの場合、古典的な記述集合論の結果には有効バージョンがあります。場合によっては、まず有効バージョンを証明し、次にそれを拡張 (「相対化」) してより広く適用できるようにすることで、新しい結果が得られます。

最近の研究分野は、ボレル同値関係と、より複雑な定義可能な同値関係に関するものです。これは、数学の多くの分野における 不変量の研究に重要な応用があります。

カントールが定義し、ツェルメロとフランケルが公理化した集合論では、オブジェクトは集合のメンバーであるかそうでないかのどちらかです。ファジー集合論では、この条件はロトフィ A. ザデーによって緩和され、オブジェクトは集合内でのメンバーシップの度合い、つまり 0 から 1 の間の数値を持ちます。たとえば、「背の高い人々」の集合における人物のメンバーシップの度合いは、単純な「はい」または「いいえ」の回答よりも柔軟で、0.75 などの実数になる場合があります。

ツェルメロ-フランケル集合論 (ZF) の内部モデルは、すべての順序数を含み、ZF のすべての公理を満たす推移的なクラスです。標準的な例は、ゲーデルによって開発された構成可能宇宙 Lです。内部モデルの研究が興味深い理由の 1 つは、一貫性の結果を証明するために使用できることです。たとえば、ZF のモデルVが連続体仮説を満たすか選択公理を満たすかに関係なく、元のモデル内に構築された内部モデルL は、一般化連続体仮説と選択公理の両方を満たすことが示されます。したがって、ZF が一貫している (少なくとも 1 つのモデルがある) という仮定は、ZF とこれら 2 つの原理が一貫していることを意味します。

内部モデルの研究は、決定性や大きな基数の研究では一般的であり、特に選択公理と矛盾する決定性公理などの公理を考慮する場合によく行われます。集合論の固定モデルが選択公理を満たしている場合でも、内部モデルが選択公理を満たさない可能性があります。たとえば、十分に大きな基数が存在するということは、決定性公理を満たす（したがって選択公理を満たさない）内部モデルが存在することを意味します。^[16]

大きな基数は、特別な性質を持つ基数です。このような性質は数多く研究されており、その中には到達不可能な基数、測定可能な基数などがあります。これらの性質は、通常、基数が非常に大きいことを意味し、指定された性質を持つ基数の存在はツェルメロ-フランケル集合論では証明できません。

決定性とは、適切な仮定の下では、2 人のプレーヤーが完全情報を扱うゲームは、一方のプレーヤーが必ず勝つ戦略を持っているという意味で、最初から決定されているという事実を指します。これらの戦略の存在は、記述集合論において重要な意味を持ちます。より広いクラスのゲームが決定されているという仮定は、より広いクラスの集合が位相的性質を持つことを意味することが多いからです。決定性公理(AD) は重要な研究対象です。選択公理とは両立しませんが、AD は実数直線のすべての部分集合が適切に動作する (特に、測定可能で完全集合の性質を持つ) ことを意味します。AD は、ワッジ次数がエレガントな構造を持つことを証明するために使用できます。

ポール・コーエンは、連続体仮説が成り立たないZFCモデル、または選択公理が成り立たないZFモデルを探しているときに、強制法を発明しました。強制法は、集合論の特定のモデルに追加の集合を付加して、その構成と元のモデルによって決定される (つまり「強制される」) プロパティを持つより大きなモデルを作成します。たとえば、コーエンの構成では、元のモデルの基数をまったく変更せずに、自然数の追加のサブセットを付加します。強制法は、有限方法によって相対的な一貫性を証明する 2 つの方法の 1 つでもあり、もう 1 つの方法はブール値モデルです。

基数不変量は、基数で測定される実数直線の特性です。たとえば、よく研究されている不変量は、実数直線全体となる実数の希薄集合のコレクションの最小基数です。これらは、集合論の任意の 2 つの同型モデルが各不変量に対して同じ基数を与えるという意味で不変量です。多くの基数不変量が研究されており、それらの関係は複雑で、集合論の公理に関連していることがよくあります。

集合論的位相幾何学では、集合論的な性質を持つか、解決に集合論の高度な方法を必要とする一般位相幾何学の問題を研究します。これらの定理の多くは ZFC とは独立しており、証明にはより強力な公理が必要です。有名な問題は、一般位相幾何学における問題で、熱心な研究の対象であった正規ムーア空間問題です。正規ムーア空間問題の答えは、最終的に ZFC とは独立していることが証明されました。

集合論の誕生当初から、一部の数学者はそれを数学の基礎として反対してきた。集合論に対する最も一般的な反対意見は、クロネッカーが集合論の初期に表明したもので、数学は計算とゆるく関連しているという構成主義の見解から始まる。この見解が認められれば、素朴集合論と公理集合論の両方における無限集合の扱いは、原理的にさえ計算不可能な方法と対象を数学に導入することになる。数学の代わりの基礎としての構成主義の実現可能性は、エレット・ビショップの影響力の大きい著書『構成的分析の基礎』によって大きく高まった。^[17]

アンリ・ポアンカレが主張した別の反論は、指定と置換の公理スキーム、およびべき集合の公理を使用して集合を定義すると、数学的オブジェクトの定義に非予測性、つまり循環性の一種が導入されるというものである。述語的に基礎づけられた数学の範囲は、一般に受け入れられているツェルメロ-フランケル理論の範囲よりは狭いものの、構成的数学の範囲よりははるかに広く、ソロモン・フェファーマンは「科学的に適用可能な分析はすべて[述語的方法を使用して]開発できる」と述べているほどである。^[18]

ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、集合論が数学的プラトン主義を暗示することを哲学的に非難した。^[19] 彼は「集合論は間違っている」と書いた。なぜなら、集合論は架空の記号主義の「ナンセンス」を基盤としており、「有害な慣用句」があり、「すべての数」について語るのはナンセンスだからである。^[20] ヴィトゲンシュタインは、数学をアルゴリズム的な人間の演繹と同一視した。 ^[21]数学の確実な基盤の必要性は、彼にはナンセンスに思えた。^{[22]さらに、人間の努力は必然的に有限であるため、ヴィトゲンシュタインの哲学は、急進的な}構成主義と有限主義 への存在論的関与を必要とした。 ウィトゲンシュタインにとって、無限の領域にわたって定量化するあらゆるステートメント、したがってほぼすべての現代の集合論を含むメタ数学的ステートメントは、数学ではない。^[23] ウィトゲンシュタインの見解を採用した現代哲学者はほとんどいない。それは、ウィトゲンシュタインが「数学の基礎に関する所感」でゲーデルの不完全性定理を論駁しようとしたが、その際、要旨しか読んでいなかったからである。査読者のクライゼル、バーネイズ、ダメット、グッドスタインが指摘したように、彼の批判の多くは論文全体には当てはまらなかった。最近になって、クリスピン・ライトなどの哲学者がウィトゲンシュタインの議論を復活させ始めた。^[24]

圏論者は伝統的な公理的集合論の代替としてトポス理論を提案した。トポス理論は、構成主義、有限集合論、計算可能集合論など、公理的集合論のさまざまな代替を解釈することができる。^{[25] [26]トポスは、ZFからの強制と選択の独立性の議論のための自然な設定を提供し、}無意味な位相とストーン空間の枠組みも提供する。^[27]

活発な研究分野は、ユニバレント基礎とそれに関連するホモトピー型理論である。ホモトピー型理論では、集合はホモトピー 0 型とみなされ、集合の普遍的性質は高次の帰納型の帰納的および再帰的性質から生じる。選択公理や排中律などの原理は、集合論の古典的な定式化に対応する方法で、あるいは型理論に特有のさまざまな方法で定式化できる。これらの原理のいくつかは、他の原理の結果であることが証明されるかもしれない。これらの公理的原理の多様な定式化により、さまざまな数学的結果を導き出すために必要な定式化の詳細な分析が可能になる。^{[28] [29]}

集合論が現代数学の基礎として人気を博すにつれ、素朴集合論の基礎を数学教育の早い段階で導入するという考えが支持されるようになりました。

1960 年代の米国では、ニュー マス実験は、小学生に基本的な集合論やその他の抽象概念を教えることを目的としていましたが、多くの批判に遭いました。ヨーロッパの学校の数学のカリキュラムはこの傾向に従い、現在ではすべての学年のさまざまなレベルでこの科目が含まれています。ベン図は、小学生に基本的な集合論の関係を説明するために広く使用されています(ジョン ベンが項論理における推論の妥当性を評価する手順の一部としてベン図を考案したにもかかわらず)。

集合論は、論理演算子（NOT、AND、OR）や集合の意味または規則の記述（技術的には内包的定義^[30]）（例：「文字Aで始まる月」）を学生に紹介するために使用されます。ブール論理はさまざまなプログラミング言語で使用されるため、これらはコンピュータプログラミングを学ぶときに役立つ場合があります。同様に、集合や、マルチセットやリストなどのコレクションのようなオブジェクトは、コンピュータサイエンスやプログラミングで一般的なデータ型です。

それに加えて、数学の授業では、さまざまな種類の数（自然数、整数、実数などの集合）について話すときや、ある集合（定義域）から別の集合（値域）への関係として数学関数を定義するときに、集合がよく参照されます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• 集合論の用語集
• クラス（集合論）
• 集合論のトピックのリスト
• リレーショナルモデル – 集合論から借用
• ベン図

• デブリン、キース（1993）、集合の喜び：現代集合論の基礎、数学の学部テキスト（第2版）、シュプリンガー出版、doi：10.1007 / 978-1-4612-0903-4、ISBN 0-387-94094-4
• フェレイロス、ホセ（2001）、思考の迷宮：集合論の歴史と現代数学におけるその役割、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 978-3-7643-5749-8
• モンク、J.ドナルド（1969）、集合論入門、マグロウヒルブックカンパニー、ISBN 978-0-898-74006-6
• ポッター、マイケル（2004）、集合論とその哲学：批判的入門、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-191-55643-2
• スマリヤン、レイモンド M. ; フィッティング、メルビン (2010)、『集合論と連続体問題』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47484-7
• タイルズ、メアリー（2004）、集合論の哲学：カンターの楽園への歴史的入門、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43520-6

ウィキブックスには離散数学/集合論に関する本があります

• ダニエル・カニンガム、インターネット哲学百科事典の集合論の記事。
• Jose Ferreiros、「集合論の初期の発展」[スタンフォード哲学百科事典]の記事。
• マシュー・フォアマン、金森明宏編『集合論ハンドブック』全3巻、2010年。各章では集合論の現代研究の側面を概説しています。すでに確立された初等集合論については扱っていません。これについてはDevlin (1993)を参照してください。
• 「公理的集合論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「集合論」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• シェーンフライ、アーサー(1898)。クライン百科事典のメンゲンレーア。
• 集合論に関するオンライン書籍、図書館や他の図書館の図書館資料
• ルーディン、ウォルター B. (1990 年 4 月 6 日)、「集合論: 解析学の子孫」、ウィスコンシン大学ミルウォーキー校のマーデン数学講義、2021 年 10 月 31 日のオリジナルからアーカイブ – YouTube経由