コンパクト要素

数学の順序論の分野では、半順序集合のコンパクト元または有限元は、コンパクト元より上の要素を含まない空でない有向集合の上限に包含されない要素です。このコンパクト性の概念は、集合論における有限集合、位相幾何学におけるコンパクト集合、代数における有限生成加群の概念を同時に一般化します。(数学にはコンパクト性の概念が他にもあります。)

半順序集合 ( P ,≤) において、要素cが次のいずれかの同値な条件を満たす場合、 その要素はコンパクト(または有限)であると呼ばれます。

• Pのすべての有向部分集合 Dについて、D が上限 sup D を持ち、c ≤ sup Dである場合、Dの何らかの元dについてc ≤ d が成立します。
• Pの任意のイデアル Iに対して、I が最大値 sup I を持ち、c ≤ sup Iである場合、c はIの元です。

さらに、poset P がjoin-semilatticeである場合(つまり、バイナリ suprema を持つ場合)、これらの条件は次のステートメントと同等です。

• Pのすべての部分集合Sについて、S が上限 sup S を持ち、c ≤ sup Sである場合、Sの有限部分集合Tに対してc ≤ sup T が成立します。

特に、c = sup Sの場合、c はSの有限部分集合の最大値です。

これらの同値性は、関連する概念の定義から簡単に検証できます。結合半束の場合、任意の集合は有限（空でない）上限で閉じることにより、同じ上限を持つ有向集合に変換できます。

有向完全半順序または完全格子を考慮する場合、指定された上限が存在するという追加の要件は、もちろん省略できます。有向完全な結合半格子は、ほぼ完全格子です (最小元が欠けている可能性があります)。詳細については、 完全性 (順序理論)を参照してください。

• 最も基本的な例は、ある集合Aのべき集合を部分集合の包含順に考えることによって得られる。この完全な格子内では、コンパクト要素はまさにAの有限部分集合である。これが「有限要素」という名前を正当化する。^[1]
• 「コンパクト」という用語は、位相空間Tの(位相的に) コンパクトな部分集合の定義に由来しています。集合Yがコンパクトであるとは、開集合Sのすべての集合について、 S上の和集合がY を部分集合として 含む場合、 Y がSの有限部分集合の和集合の部分集合として含まれることを意味します。 Tの冪集合を部分集合包含順序を持つ完全格子と見なすと、集合の集合の上限は和集合によって与えられ、コンパクト性の位相条件は、結合半格子におけるコンパクト性の条件に似ていますが、さらに開集合であるという要件があります。
• 存在する場合、poset の最小要素は常にコンパクトです。実数単位区間[0,1] (実数から継承された標準順序) の例が示すように、これが唯一のコンパクト要素である可能性があります。
• 格子の完全に素な要素はすべてコンパクトである。 ^[要出典]

すべての元が、その下にあるコンパクト元によって形成される有向集合の上限であるような poset は、代数的 posetと呼ばれます。このようなdcposである poset は、領域理論でよく使用されます。

重要な特殊なケースとして、代数格子は、Lのすべての元xがxより下のコンパクト元の最大値である完全格子 Lです 。

典型的な例（「代数的」という名前の由来となったもの）は次のとおりです。

任意の代数A (たとえば、群、環、体、格子など、または演算のない単なる集合) について、 Sub( A ) をAのすべての部分構造の集合、つまりAのすべての演算 (群の加算、環の加算、乗算など) に対して閉じているAのすべての部分集合の集合とします。ここで、部分構造の概念には、代数Aに空演算がない場合の空の部分構造が含まれます。

それから：

• 集合 Sub( A ) は集合の包含関係によって順序付けられ、格子となる。
• Sub( A )の最大の要素は集合Aそのものである。
• Sub( A )内の任意のS、Tについて、 SとTの最大下限はSとTの集合論的積であり、最小上限はSとTの和集合によって生成される部分代数である。
• 集合 Sub( A ) は完全な格子です。サブ構造の族の最大下限は、それらの交差 (族が空の場合はA ) です。
• Sub( A )のコンパクト要素は、まさにAの有限生成部分構造です。
• あらゆる部分構造は有限生成部分構造の和集合である。したがってSub( A )は代数格子である。^[2]

また、逆も成り立ちます。つまり、すべての代数格子は、何らかの代数Aに対してSub( A ) と同型です。

普遍代数において重要な役割を果たす別の代数格子がある。任意の代数Aに対して、 Con( A ) をA上のすべての合同関係の集合とする。A上の各合同関係は積代数A x Aの部分代数であるため、 Con( A ) ⊆ Sub( A x A ) となる。ここでも、

• Con( A )は集合包含順に並べられた格子である。
• Con( A )の最大の元は集合A x Aであり、これは定数準同型に対応する合同です。最小の合同はA x Aの対角線であり、同型に対応します。
• Con( A )は完全格子である。
• Con( A )のコンパクト要素はまさに有限生成合同である。
• Con( A )は代数格子である。

また逆もあります。George GrätzerとE.T. Schmidtの定理によれば、すべての代数格子は何らかの代数Aに対してCon( A )と同型です。

コンパクト要素は、コンピュータ サイエンスにおいて、ドメイン理論と呼ばれる意味論的アプローチにおいて重要であり、ドメイン理論では、コンパクト要素は一種の原始要素として考えられています。コンパクト要素によって表される情報は、この知識をまだ含んでいない近似によって取得することはできません。コンパクト要素は、それより厳密に下位の要素によって近似することはできません。一方、すべての非コンパクト要素がコンパクト要素の有向上限として取得できる場合もあります。これは、コンパクト要素の集合が元の poset よりも小さいことが多いため、望ましい状況です。上記の例がこれを示しています。

順序理論と領域理論については文献を参照してください。