グレブナー基底

数学、より具体的にはコンピュータ代数、計算代数幾何学、計算可換代数において、グレブナー基底は、体K上の多項式環K [ x ₁ , ..., x _n ]のイデアルの生成集合の特別な種類です。グレブナー基底により、イデアルとそれに関連付けられた代数多様体の多くの重要な特性、たとえば有限である場合の次元や零点の数などを簡単に演繹できます。グレブナー基底の計算は、多項式方程式系を解いたり、射影や有理写像の下で代数多様体の像を計算したりするための主要な実用的なツールの 1 つです。

グレブナー基底計算は、多項式の最大公約数を計算するユークリッドの互除法と、 線形システムに対するガウス消去法の両方の多変量非線形一般化として考えることができる。^[1]

グレブナー基底は、ブルーノ・ブッフバーガーが1965年の博士論文で発表したもので、その論文にはグレブナー基底を計算するアルゴリズム（ブッフバーガーのアルゴリズム）も含まれていました。彼は指導教官のヴォルフガング・グレブナーにちなんで、グレブナー基底と名付けました。2007年、ブッフバーガーはこの研究で計算機学会のパリ・カネラキス理論・実践賞を受賞しました。しかし、ロシアの数学者ニコライ・ギュンターは1913年に同様の概念を発表しており、ロシアの様々な数学雑誌で発表していました。これらの論文は、1987年にボド・レンシュフらによって再発見されるまで、数学コミュニティではほとんど無視されていました。^[2]多変量冪級数の類似の概念は、 1964年に広中平祐によって独立に開発され、標準基底と名付けられました。この用語は、グレブナー基底を表すためにも一部の著者によって使用されています。

グレブナー基底の理論は、多くの著者によってさまざまな方向に拡張されてきました。主イデアル環や多項式環上の多項式などの他の構造や、オーレ代数などの非可換環や代数のいくつかのクラスにも一般化されています。

グレブナー基底は主に、体K上の多項式環のイデアルに対して定義されます。理論は任意の体に対して機能しますが、ほとんどのグレブナー基底の計算は、 Kが有理数体または素数を法とする整数の体である場合に行われます。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]}$

グレブナー基底の文脈では、 の非ゼロ多項式は一般に和として表される。ここで はKの非ゼロ元で係数と呼ばれ、 はの形の単項式（ブッフベルガーとその追随者の一部は冪積と呼ぶ）である。ここで は非負の整数である。ベクトルは単項式の指数ベクトルと呼ばれる。変数のリストが固定されている場合、単項式の表記は次のように省略されることが多い。${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\displaystyle c_{1}M_{1}+\cdots +c_{m}M_{m},}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}},}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle A=[a_{1},\ldots ,a_{n}]}$${\displaystyle X=[x_{1},\ldots,x_{n}]}$${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=X^{A}.}$

単項式は指数ベクトルによって一意に定義され、単項式の順序（下記参照）が固定されている場合、多項式は指数ベクトルと対応する係数によって形成される順序付きペアの順序付きリストによって一意に表現されます。この多項式の表現は、コンピューターでのグレブナー基底の計算に特に効率的ですが、多項式因数分解や多項式の最大公約数などの他の計算にはあまり便利ではありません。

が多項式環Rの多項式の有限集合である場合、Fによって生成されるイデアルは、 Rの係数を持つFの元の線形結合の集合である。つまり、次のように表される多項式の集合である。${\displaystyle F=\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{k}g_{i}f_{i}}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}\in R.}$

グレブナー基底に関連するすべての演算は、乗算との互換性に関する以下の特性を持つ単項式の全順序の選択を必要とする。すべての単項式M、N、Pについて、

1. ${\displaystyle M\leq N\Longleftrightarrow MP\leq NP}$
2. ${\displaystyle M\leq MP}$。

これらの条件を満たす全順序は、許容順序と呼ばれることもあります。

これらの条件は、順序が整列していること、つまり単項式のすべての厳密な減少列が有限であることを意味します。

グレブナー基底理論は許容される単項式順序の特定の選択に依存しませんが、アプリケーションでは次の 3 つの単項式順序が特に重要です。

• 辞書式順序。一般にlexまたはplex (純粋な語彙順序) と呼ばれます。
• 総次逆辞書式順序付け。一般にdegrevlexと呼ばれます。
• 消去順序、lexdeg。

グレブナー基底理論は、当初は辞書式順序付けのために導入されました。すぐに、degrevlex のグレブナー基底はほとんどの場合計算がはるかに簡単であること、また、最初に degrevlex 基底を計算してから「順序付けアルゴリズムの変更」を使用することで、lex グレブナー基底を計算する方がほとんどの場合簡単であることが認識されました。消去が必要な場合、degrevlex は便利ではありません。lex と lexdeg の両方を使用できますが、繰り返しになりますが、多くの計算は lexdeg を使用すると比較的簡単ですが、lex ではほとんど不可能です。

単項式の順序が固定されると、多項式の項 (単項式と非ゼロの係数の積) は、自然に単項式の降順で順序付けられます (この順序の場合)。これにより、係数と指数のベクトルのペアのソートされたリストとしての多項式の表現は、多項式の標準的な表現になります(つまり、2 つの多項式が同じ表現を持つ場合にのみ、それらは等しくなります)。

この順序付けにおける多項式pの最初の（最大の）項と対応する単項式および係数は、それぞれ主項、主単項式、主係数と呼ばれ、この記事ではlt( p )、 lm( p )、lc( p )と表記されます。

グレブナー基底に関連する多項式演算のほとんどは、主項を伴います。そのため、多項式をソートされたリストとして表現すると、これらの演算が特に効率的になります (リストの最初の要素の読み取りには、リストの長さに関係なく、一定の時間がかかります)。

グレブナー基底計算に含まれる他の多項式演算も単項式順序と互換性があります。つまり、結果を並べ替えることなく実行できます。

• 2 つの多項式の加算は、 2 つの対応する項のリストをマージすることで、競合が発生した場合 (つまり、2 つの多項式に同じ単項式が出現する場合) には特別な処理が行われます。
• 多項式とスカラーの乗算は、表現に他の変更を加えずに、各係数にこのスカラーを乗算することで構成されます。
• 多項式と単項式mの乗算は、多項式の各単項式にmを乗算することで構成されます。単項式の順序の定義による順序という用語には変化はありません。

とを指数ベクトルと${\displaystyle M=x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}$${\displaystyle N=x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}}$${\displaystyle A=[a_{1},\ldots ,a_{n}]}$${\displaystyle B=[b_{1},\ldots,b_{n}].}$

任意のiに対して、つまりAがBより大きくない場合、 M は N を割り切る 、またはN はMの倍数であるといえます。この場合、商は次のように定義されます。つまり、 の指数ベクトルは、NとMの指数ベクトルの成分ごとの減算です。 ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$${\textstyle {\frac {N}{M}}}$${\textstyle {\frac {N}{M}}=x_{1}^{b_{1}-a_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}-a_{n}}.}$${\textstyle {\frac {N}{M}}}$

MとNの最大公約数gcd( M , N )は、指数ベクトルがAとBの成分ごとの最小値となる単項式です。最小公倍数lcm( M , N )も同様に定義されますが、min の代わりにmaxを使用します。 ${\textstyle x_{1}^{\min(a_{1},b_{1})}\cdots x_{n}^{\min(a_{n},b_{n})}}$

一つは

${\displaystyle \operatorname {lcm} (M,N)={\frac {MN}{\gcd(M,N)}}.}$

単項式順序に関する多項式の他の多項式による簡約は、グレブナー基底理論の中心です。これは、ガウス消去法で発生する行簡約と、単変数多項式のユークリッド除算の除算手順の両方の一般化です。[ 1 ]可能な限り 完成^されている場合、その結果が一意に定義されない場合でも、 多変数除算と呼ばれることがあります。

リード縮約は、計算がより簡単な縮約の特殊なケースです。一般的な縮約は、グレブナー基底計算の最後に、縮約されていないグレブナー基底から縮約されたグレブナー基底を得るためにのみ必要となるため、リード縮約はグレブナー基底計算の基本となります。

許容される単項式の順序を固定し、このセクションで発生するすべての単項式の比較を参照します。

多項式f は、主単項式lm( f )がlm( g )の倍数である場合に、別の多項式gによって主縮約可能です。多項式f は、fの単項式がlm( g )の倍数である場合に、 gによって縮約可能です。(したがって、f がgによって主縮約可能である場合、それはまた縮約可能ですが、f は主縮約可能でなくても縮約可能です。)

fがgによって簡約可能であり、単項式mがlm( g )の倍数となるようなfの項をcmとします。fのgによる1ステップ簡約は、 fを次のように 置き換えることで構成されます。

${\displaystyle \operatorname {red} _{1}(f,g)=f-{\frac {c}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {m}{\operatorname {lm} (g)}}\,g.}$

この操作は、単項式がmより大きい項 (単項式の順序) を変更せずに、単項式m をfから削除します。特に、fの1 ステップのリード簡約により、すべての単項式がlm( f )より小さい多項式が生成されます。

多項式の有限集合Gが与えられたとき、f がGの少なくとも1 つの元gによってそれぞれ簡約可能または先行簡約可能である場合、 f はGによって簡約可能または先行簡約可能であるといいます。この場合、 Gによるfの 1 ステップ簡約 (または 1 ステップ先行簡約) は、Gの元によるfの任意の 1 ステップ簡約 (または 1 ステップ先行簡約) です。

Gによるfの（完全な）簡約（それぞれ先行簡約）は、 Gによって既約でない（それぞれ先行既約でない）多項式が得られるまで、ワン​​ステップ簡約（それぞれワンステップ先行簡約）を繰り返すことで構成されます。これは、Gによるfの通常形式と呼ばれることもあります。一般に、この形式は一意に定義されません。これは、 f を簡約するために使用できるGの要素が一般に複数存在するためです。この一意でないことが、グレブナー基底理論の出発点です。

還元の定義から、hがGによるfの正規形であれば、

${\displaystyle f=h+\sum _{g\in G}q_{g}\,g,}$

ここでh はGによって既約であり、 は次のような多項式です。一変数多項式の場合、G が単一の要素gで構成されている場合、h はfをgで除算した余りであり、q _{g は}商です。さらに、除算アルゴリズムは、まさに先導減算のプロセスです。このため、一部の著者は、減算ではなく 多変数除算という用語を使用しています。${\displaystyle q_{g}}$${\displaystyle \operatorname {lm} (q_{g}\,g)\leq \operatorname {lm} (f).}$

次の例では、2 つの完全なリード還元があり、それぞれまったく異なる結果が生成されます。結果が還元不可能である (リード還元不可能であるだけでなく) という事実はこの例に特有のものですが、このような小さな例ではよくあることです。

この2変数の例では、使用される単項式順序は、 の辞書式順序であり、 の簡約を、 で考える。${\displaystyle x>y,}$${\displaystyle f=2x^{3}-x^{2}y+y^{3}+3y}$${\displaystyle G=\{g_{1},g_{2}\},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=x^{2}+y^{2}-1,\\g_{2}&=xy-2.\end{aligned}}}$$

最初の簡約ステップでは、 fの 1 番目または 2 番目の項のいずれかを簡約できます。ただし、項の簡約は、新しいより低い項を追加するというコストでこの項を削除することと同じです。簡約されるのが最初の簡約可能な項でない場合は、さらに簡約すると同様の項が追加され、再度簡約する必要がある可能性があります。したがって、最初に最大の (単項式順序の) 簡約可能な項を簡約する方が常に適切です。つまり、特に、先導簡約できない多項式が得られるまで、最初に先導簡約する方が適切です。

fの主要項はによって約分可能であり、 によって約分できません。したがって、最初の約分ステップは、 –2 xを掛けてその結果をfに加えることです。 ${\displaystyle 2x^{3}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}.}$${\displaystyle g_{1}}$

${\displaystyle f\;\xrightarrow {-2xg_{1}} \;f_{1}=f-2xg_{1}=-x^{2}y-2xy^{2}+2x+y^{3}+3y.}$

の主項は、との両方の主単項式の倍数です。したがって、2番目の簡約ステップには2つの選択肢があります。 を選択した場合、多項式が得られ、これは次のように再度簡約できます。${\displaystyle -x^{2}y}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2},}$${\displaystyle g_{2},}$${\displaystyle g_{2}\colon }$

${\displaystyle f\;\xrightarrow {-2xg_{1}} \;f_{1}\;\xrightarrow {xg_{2}} \;-2xy^{2}+y^{3}+3y\;\xrightarrow {2yg_{2}} \;f_{2}=y^{3}-y.}$

これ以上の縮小は不可能なので、fの完全な縮小は不可能です。 ${\displaystyle f_{2}}$

2 番目のステップで別の選択肢を選択すると、異なる結果が得られます。

${\displaystyle f\;\xrightarrow {-2xg_{1}} \;f_{1}\;\xrightarrow {yg_{1}} \;-2xy^{2}+2x+2y^{3}+2y\;\xrightarrow {2yg_{2}} \;f_{3}=2x+2y^{3}-2y.}$

鉛還元のみが行われたにもかかわらず、結果は還元不可能です。 ${\displaystyle f_{3}}$

まとめると、 fの完全な縮小は、または${\displaystyle f_{2}=y^{3}-y}$${\displaystyle f_{3}=2x+2y^{3}-2y.}$

この非一意性によって生じる問題に対処するため、ブッフバーガーはグレブナー基底とS多項式を導入しました。直感的には、0 = f − f はに簡約できます。これは、 がGによって生成されるイデアルに属することを意味します。したがって、このイデアルはGに加えても変化せず、これによりさらに多くの簡約が可能になります。特に、はによってに簡約でき、これにより簡約された形式の一意性が回復します。 ${\displaystyle f_{2}-f_{3}.}$${\displaystyle f_{2}-f_{3}}$${\displaystyle f_{3}-f_{2}}$${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f_{3}-f_{2}}$

ここで、ブッフバーガーのグレブナー基底アルゴリズムは、 Gに多項式 を加えることから始まる。

${\displaystyle g_{3}=yg_{1}-xg_{2}=2x+y^{3}-y.}$

この多項式は、ブッフバーガーによってS多項式と呼ばれ、との主要な単項式の最小公倍数の、それぞれ とによる 1 ステップ簡約の差です。 ${\displaystyle x^{2}y}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{1}}$

${\displaystyle g_{3}=\left(x^{2}y-{\frac {x^{2}y}{lt(g_{2})}}g_{2}\right)-\left(x^{2}y-{\frac {x^{2}y}{lt(g_{1})}}g_{1}\right)={\frac {x^{2}y}{lt(g_{1})}}g_{1}-{\frac {x^{2}y}{lt(g_{2})}}g_{2}}$。

この例では、xyをまたはで減算すると異なる結果となるため、これはブッフバーガーのアルゴリズムを完了しません。${\displaystyle g_{3}=f_{3}-f_{2}.}$${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}.}$

単項式の順序が与えられた場合、S多項式または 2つの多項式fとgの臨界ペアは多項式

${\displaystyle S(f,g)=\operatorname {red} _{1}(\mathrm {lcm} ,g)-\operatorname {red} _{1}(\mathrm {lcm} ,f)}$;

ここでlcm はfとgの主単項式の最小公倍数を表します。 の定義を使用すると、これは次のように変換されます。 ${\displaystyle \operatorname {red} _{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f,g)&=\left(\mathrm {lcm} -{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (g)}}\,g\right)-\left(\mathrm {lcm} -{\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (f)}}\,f\right)\\&={\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (f)}}\,f-{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\mathrm {lcm} }{\operatorname {lm} (g)}}\,g\\\end{aligned}}.}$

lcmとgcd を関連付ける特性を使用すると、S多項式は次のように記述することもできます。

${\displaystyle S(f,g)={\frac {1}{\operatorname {lc} (f)}}\,{\frac {\operatorname {lm} (g)}{\mathrm {gcd} }}\,f-{\frac {1}{\operatorname {lc} (g)}}\,{\frac {\operatorname {lm} (f)}{\mathrm {gcd} }}\,g;}$

ここで、gcd はfとgの主単項式の最大公約数を表します。

fとg の両方で約分可能な単項式はlcmの倍数なので、 S多項式のみを考慮することで、約分の一意性がないすべてのケースに対処できます。これは、グレブナー基底理論と、それを計算するためのすべてのアルゴリズムの基本的な事実です。

整数係数の多項式を扱う際に分数を避けるため、S多項式は次のように定義されることが多い。

${\displaystyle S(f,g)=\operatorname {lc} (g)\,{\frac {\operatorname {lm} (g)}{\mathrm {gcd} }}\,f-\operatorname {lc} (f)\,{\frac {\operatorname {lm} (f)}{\mathrm {gcd} }}\,g;}$

2 つの多項式は関連しているため、理論には何の変化もありません。

を体F上の多項式環とします。このセクションでは、許容される単項式順序が固定されていると仮定します。 ${\displaystyle R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

G をR内の多項式の有限集合とし、これがイデアルI を生成するとする。集合Gは（単項式順序に関して）グレブナー基底であり、より正確には、次の場合 、 Iのグレブナー基底である。

1. Iの多項式の主単項式によって生成されるイデアルは、 Gの主単項式によって生成されるイデアルに等しい。

あるいは、同等に、

グレブナー基底には多くの特徴付け特性があり、それぞれがグレブナー基底の同等の定義としてとらえられます。簡潔にするために、次のリストでは、「1 つの単語/別の単語」という表記は、グレブナー基底の 2 つの異なる特徴付けとして「1 つの単語」または「別の単語」のいずれかをとれることを意味します。次のすべての主張はグレブナー基底の特徴付けです。

上記の定義を含めると、グレブナー基底の特徴付けは 12 通りになります。このように多くの特徴付けが可能なため、グレブナー基底は非常に便利です。たとえば、条件 3 はイデアル メンバーシップをテストするアルゴリズムを提供します。条件 4 は、多項式の集合がグレブナー基底であるかどうかをテストするアルゴリズムを提供し、グレブナー基底を計算するBuchberger アルゴリズムの基礎を形成します。条件 5 と 6 は、モジュラー演算に非常によく似た方法でを計算することを可能にします。 ${\displaystyle R/I}$

あらゆる許容単項式順序とあらゆる多項式の有限集合Gに対して、 G を含み同じイデアルを生成するグレブナー基底が存在します。さらに、そのようなグレブナー基底は、ブッフバーガーのアルゴリズムで計算できます。

このアルゴリズムは条件 4 を使用し、おおよそ次のように進行します。Gの任意の 2 つの要素について、 S多項式のGによる完全な縮約を計算し、結果がゼロでない場合はGに加算します。この操作を、すべての縮約が最終的にゼロになるまで、 Gの新しい要素を含めて繰り返します。

ディクソンの補題または多項式環がノイザンである(ヒルベルトの基底定理) ため、アルゴリズムは常に終了します。条件 4 は結果がグレブナー基底になることを保証し、S多項式の定義と簡約により、生成されたイデアルが変更されないことを保証します。

上記の方法はグレブナー基底を計算するアルゴリズムですが、非常に非効率的です。元の Buchberger のアルゴリズムの多くの改良と、その他のいくつかのアルゴリズムが提案され実装されており、効率が劇的に向上しています。以下の § アルゴリズムと実装を参照してください。

グレブナー基底はグレブナー基底が極小とは、その基底の元のすべての主単項式が基底の他の元によって既約でないときである。イデアルI、Iの極小グレブナー基底が得られる。しかし、基底の 2 つの多項式が同じ主単項式を持つ場合、除去しなければならないのは 1 つだけである。したがって、すべてのグレブナー基底には、部分集合として極小グレブナー基底が含まれる。

与えられたイデアル（固定された単項式順序の場合）のすべての極小グレブナー基底は同じ数の要素と同じ主単項式を持ち、非極小グレブナー基底は極小グレブナー基底よりも多くの要素を持ちます。

グレブナー基底はグレブナー基底は、その基底に含まれるすべての多項式が基底の他の要素によって既約で、1である場合に、最小になります。したがって、すべての既約グレブナー基底は最小ですが、最小グレブナー基底は必ずしも既約である必要はありません。

イデアルIのグレブナー基底が与えられた場合、まず基底の他の要素によって先導簡約可能な多項式を除去し（最小基底を得るため）、次に基底の各要素を基底の他の要素による完全な簡約の結果で置き換え、最後に基底の各要素をその先導係数で割ることによって、 I の簡約グレブナー基底が得られます。

イデアルのすべての既約グレブナー基底（固定された単項式順序の場合）は等しい。したがって、2 つのイデアルは、同じ既約グレブナー基底を持つ場合にのみ等しい。

場合によっては、縮小グレブナー基底は主係数の条件なしで定義されます。この場合、縮小グレブナー基底の一意性は、多項式に非ゼロの定数を乗算する までしか当てはまりません。

有理数体上の多項式を扱う場合、整数係数の多項式のみを扱うと便利です。この場合、縮小基底の定義における主係数の条件は、基底のすべての要素が正の主係数を持つ整数係数の原始多項式であるという条件に置き換えることができます。これにより、縮小基底の一意性が回復されます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

あらゆる単項式順序に対して、多項式の空集合は零イデアルの唯一のグレブナー基底です。

すべての単項式順序について、非ゼロ定数を含む多項式の集合は、単位イデアル（多項式環全体）のグレブナー基底です。逆に、単位イデアルのすべてのグレブナー基底には非ゼロ定数が含まれます。単位の簡約グレブナー基底は、単一の多項式1によって形成されます。

単一変数の多項式の場合、次数による順序という唯一許容される単項式順序があります。最小グレブナー基底は、単一の多項式からなるシングルトンです。縮小グレブナー基底は、単項多項式です。

を有理係数の2変数多項式の環とし、多項式によって生成されるイデアルを考える。 ${\displaystyle R=\mathbb {Q} [x,y]}$${\displaystyle I=\langle f,g\rangle }$

${\displaystyle f=x^{2}-y}$、

${\displaystyle g=x^{3}-x}$。

gをfで減算すると、新しい多項式kが得られ、${\displaystyle I=\langle f,k\rangle :}$

${\displaystyle k=g-xf=xy-x.}$

fとkはどちらも他方で簡約できませんが、xk はfで簡約でき、これによりIに別の多項式が生成されます。

${\displaystyle h=xk-(y-1)f=y^{2}-y.}$

辞書式順序 では、${\displaystyle x>y}$

lt( f ) = x ^{2 である。}

lt( k ) = xy

lt( h ) = y ^{2 である。}

f、k、h はIに属し、いずれも他のものによって簡約できないため、いずれもIのグレブナー基底ではありません。 ${\displaystyle \{f,k\},}$ ${\displaystyle \{f,h\},}$${\displaystyle \{h,k\}}$

一方、{ f , k , h }はIのグレブナー基底である。なぜならS多項式

${\displaystyle {\begin{aligned}yf-xk&=y(x^{2}-y)-x(xy-x)=f-h\\yk-xh&=y(xy-x)-x(y^{2}-y)=0\\y^{2}f-x^{2}h&=y(yf-xk)+x(yk-xh)\end{aligned}}}$

f、k、hによってゼロに減らすことができます。

ここでhとk を見つけ、{ f , k , h }がグレブナー基底であることを証明するために使用された方法は、ブッフバーガーのアルゴリズムを直接適用したものです。したがって、このアルゴリズムは同様の例に機械的に適用できますが、一般に、考慮すべき多項式と S 多項式が多く、計算が大きすぎてコンピュータなしでは実行できません。

^{明示的に述べられない限り、 [3]}に続くすべての結果は任意の単項式順序に対して当てはまります（以下で説明するさまざまな順序の定義については、その記事を参照してください）。

これらの結果の一部には辞書式順序が必要であるというのはよくある誤解です。それどころか、辞書式順序はほとんどの場合、計算するのが最も難しく、辞書式順序を使用すると、段階的逆辞書式順序 (grevlex) や、消去が必要な場合に各変数ブロックで grevlex に制限する消去順序 (lexdeg) を使用すると比較的簡単になる多くの計算が非実用的になります。

縮小グレブナー基底は、任意のイデアルおよび任意の単項式順序に対して一意です。したがって、2 つのイデアルは、同じ (縮小) グレブナー基底を持つ場合にのみ等しくなります (通常、グレブナー基底ソフトウェアは常に縮小グレブナー基底を生成します)。

多項式fをイデアルIのグレブナー基底Gで簡約すると、 f がIに含まれる場合のみ0 になります。これにより、イデアル内の要素のメンバーシップをテストできます。別の方法として、 G ∪{ f }のグレブナー基底がGに等しいことを確認する方法があります。

f ₁、...、f _kによって生成されたイデアルIがイデアルJに含まれるかどうかをテストするには、すべてのf _{I が}Jに含まれるかどうかをテストするだけで十分です。また、 JとJ ∪ { f ₁、...、f _k }の縮小されたグレブナー基底の等式をテストすることもできます。

多項式の任意の集合は、多項式をゼロと見なすことによって多項式方程式のシステムと見なすことができます。このようなシステムの解の集合は、生成されたイデアルのみに依存し、したがって、与えられた生成集合が、生成されたイデアルの任意の順序のグレブナー基底に置き換えられても変化しません。多項式の係数を含む代数的に閉じた体内の座標を持つこのような解は、イデアルのゼロと呼ばれます。通常、有理係数の場合、この代数的に閉じた体は複素体として選択されます。

イデアルが零点を持たない（方程式系が矛盾している）のは、1がイデアルに属する場合（これはヒルベルトの零点定理である）、または同等に、そのグレブナー基底（任意の単項式順序に対して）が1を含む場合、または対応する簡約グレブナー基底が[1]である場合に限ります。

イデアルIのグレブナー基底Gが与えられたとき、各変数xに対して、 G が x の累乗である主単項式を持つ多項式（主項に他の変数は現れない）を含む場合のみ、イデアル I は有限個の零点しか持たない。この場合、重複度で数えた零点の数は、Gのどの主単項式の倍数でもない単項式の数に等しい。この数はイデアルの 次数と呼ばれる。

零点の数が有限である場合、辞書式単項式順序のグレブナー基底は理論的には解を与える。解の最初の座標は、最初の変数のみに依存する基底の多項式の最大公約数の根である。この根を基底に代入すると、この解の 2 番目の座標は、2 番目の変数のみに依存する結果として得られる多項式の最大公約数の根となり、以下同様に続く。この解決プロセスは理論上のものに過ぎない。なぜなら、GCD 計算と近似係数を持つ多項式の根を求める必要があるが、数値不安定性のため実行不可能だからである。そのため、グレブナー基底を介して多項式系を解く他の方法が開発されている (詳細については 多項式方程式系を参照)。

多項式環RのイデアルIの次元は、環R / Iのクルル次元であり、Iの零点の代数集合の次元に等しい。また、代数集合と交差するために必要な一般位置の超平面の数（有限個の点）にも等しい。イデアルおよびそれに関連付けられた代数集合の次数は、この有限交差の点の数であり、重複度で数えられる。特に、超曲面の次数は、その定義多項式の次数に等しい。

次数と次元は両方とも、任意の単項式順序付けのイデアルのグレブナー基底の主要な単項式の集合にのみ依存します。

次元は、 S内の変数のみに依存する主単項式が存在しないような変数のサブセットSの最大サイズです。したがって、イデアルの次元が 0 の場合、各変数xに対して、 xの累乗であるグレブナー基底の主単項式が存在します。

次元と次数は両方ともイデアルのヒルベルト級数から演繹することができる。これは級数であり、ここで はグレブナー基底のどの主単項式の倍数でもない次数iの単項式の数である。ヒルベルト級数は有理分数にまとめることができる。 ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }d_{i}t^{i}}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }d_{i}t^{i}={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

ここで、d はイデアルの次元であり、はイデアルの次数となる ような多項式です。${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle P(1)}$

次元と次数は単項式順序の選択に依存しませんが、単項式順序を変更するとヒルベルト級数と多項式は変化します。 ${\displaystyle P(t)}$

グレブナー基底を計算する関数を提供するほとんどのコンピュータ代数システムは、ヒルベルト級数を計算する関数も提供しており、したがって次元と次数も計算します。

消去単項式順序のグレブナー基底を計算すると、計算消去理論が可能になります。これは次の定理に基づいています。

変数が 2 つの部分集合XとYに分割されている多項式環について考えます。また、X を「消去する」消去単項式順序、つまり、2 つの単項式を比較する際に、まずX部分を比較し、等しい場合にのみY部分を考慮する単項式順序も選択します。これは、 X変数を含む単項式が、Xに依存しないすべての単項式よりも大きいことを意味します。Gがこの単項式順序のイデアルIのグレブナー基底である場合、 はのグレブナー基底です(このイデアルは消去イデアルと呼ばれることがよくあります)。さらに、 は、主要項がK [ Y ]に属するGの多項式から正確に構成されます(これにより、主要単項式のみをチェックすればよいため、 の計算が非常に簡単になります)。 ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}]=K[X,Y],}$${\displaystyle G\cap K[Y]}$${\displaystyle I\cap K[Y]}$${\displaystyle G\cap K[Y]}$${\displaystyle G\cap K[Y]}$

この消去特性には多くの用途があり、そのいくつかは次のセクションで説明します。

代数幾何学におけるもう一つの応用は、消去法がアフィン代数集合を周囲空間の部分空間に射影する幾何学的操作を実現することである。上記の表記法を用いると、イデアルIによって定義される代数集合のY部分空間への射影（のザリスキ閉包）は、イデアルIによって定義される。${\displaystyle I\cap K[Y].}$

辞書式順序は、すべてのパーティションの消去順序です。したがって、この順序のグレブナー基底は、通常必要な情報よりもはるかに多くの情報を保持します。これが、辞書式順序のグレブナー基底の計算が通常最も難しい理由を説明しています。 ${\displaystyle x_{1}>\cdots >x_{n}}$${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{k}\},\{x_{k+1},\ldots ,x_{n}\}.}$

IとJ がそれぞれ { f ₁ , ..., f _m } と { g ₁ , ..., g _k } によって生成される 2 つのイデアルである場合、単一のグレブナー基底計算によって、それらの交差I ∩ Jのグレブナー基底が生成されます。このために、新しい不定値t を導入し、最初のブロックにはtのみが含まれ、もう 1 つのブロックには他のすべての変数が含まれるように消去順序を使用します(つまり、t を含む単項式は、 t を含まないすべての単項式よりも大きくなります)。この単項式順序では、 I ∩ Jのグレブナー基底は、イデアルのグレブナー基底における t を含まない多項式で構成されます。

${\displaystyle K=\langle tf_{1},\ldots ,tf_{m},(1-t)g_{1},\ldots ,(1-t)g_{k}\rangle .}$

言い換えれば、I ∩ J はKからt を消去する ことによって得られる。これは、理想K がおよびとなる多項式から構成されることを指摘することで証明できる。そのような多項式がtと独立であるのは、 a = b のときのみであり、これは次のことを意味する。${\displaystyle (a-b)t+b}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle b\in J}$${\displaystyle b\in I\cap J.}$

有理曲線は、次の形式の パラメトリック方程式の集合を持つ代数曲線である。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {f_{1}(t)}{g_{1}(t)}}\\&\;\;\vdots \\x_{n}&={\frac {f_{n}(t)}{g_{n}(t)}},\end{aligned}}}$

ここで、 および は1 ≤ i ≤ nの単変数多項式です。 および は互いに素である（定数でない共通因数を持たない） と仮定できます（仮定します） 。${\displaystyle f_{i}(t)}$${\displaystyle g_{i}(t)}$${\displaystyle f_{i}(t)}$${\displaystyle g_{i}(t)}$

暗黙化とは、このような曲線の暗黙的な方程式を計算することです。n = 2の場合、つまり平面曲線の場合は、結果で計算できます。暗黙的な方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\text{Res}}_{t}(g_{1}x_{1}-f_{1},g_{2}x_{2}-f_{2}).}$

グレブナー基底による消去法では、イデアルで t を消去するだけで、任意のnの値に対して暗黙化できます。n = 2 の場合、マップがほぼすべてのtに対して単射であれば、結果は結果と同じになります。その他の場合、結果は消去の結果の累乗です。 ${\displaystyle \langle g_{1}x_{1}-f_{1},\ldots ,g_{n}x_{n}-f_{n}\rangle .}$${\displaystyle t\mapsto (x_{1},x_{2})}$

多項式方程式で問題をモデル化する場合、退化を避けるために、いくつかの量がゼロでないと仮定されることがよくあります。たとえば、三角形を扱う場合、三角形が線分に退化すると、つまり 1 辺の長さが他の辺の長さの合計に等しい場合、多くの特性が偽になります。このような状況では、退化した解を無視しない限り、多項式システムから関連情報を推測することはできません。より正確には、方程式系は、複数の既約成分を持つ可能性のある代数セットを定義し、退化条件がどこでもゼロになる成分を削除する必要があります。

これは、グレブナー基底の消去特性を介して実行できる退化条件によって方程式を 飽和させることによって行われます。

環の局所化とは、いくつかの元の形式的な逆をそれに付加することです。このセクションでは、単一の元、または同等に有限個の元の場合のみを扱います (複数の元の逆を付加することは、それらの積の逆を付加することと同等です)。元fによる環Rの局所化は、 t がfの逆を表す新しい不定値である環です。RのイデアルIの局所化は、のイデアルです。Rが多項式環の場合、分母を管理する必要があるため、 での計算は効率的ではありません。したがって、局所化は通常、飽和の操作に置き換えられます。 ${\displaystyle R_{f}=R[t]/(1-ft),}$${\displaystyle R_{f}I}$${\displaystyle I_{f}.}$${\displaystyle R_{f}}$

のRのイデアルIfに関する飽和は、 Rへの標準写像の下での の逆像です。fのあるべき乗との積がIに属するRのすべての元で構成されるイデアルです。 ${\displaystyle R_{f}I}$${\displaystyle R_{f}.}$${\displaystyle I:f^{\infty }=\{g\in R\mid (\exists k\in \mathbb {N} )f^{k}g\in I\}}$

J がIと 1− ftによってR [ t ]に生成されるイデアルである場合、 R が多項式環であれば、tを消去するグレブナー基底計算によって、多項式によるイデアルの飽和のグレブナー基底が生成されます。 ${\displaystyle I:f^{\infty }=J\cap R.}$

飽和の重要な特性は、イデアルIによって定義される代数集合から多項式fがゼロとなる既約成分を除去することであり、次のようになります。の一次分解は、f のべき乗を含まない I の一次分解の成分で構成されます。 ${\displaystyle I:f^{\infty }}$

有限の多項式集合Fによって生成される多項式イデアルのfによる飽和のグレブナー基底は、 t を消去することによって、つまり、 t を消去する消去順序についてのグレブナー基底で多項式をtから独立に保つことによって得ることができる。 ${\displaystyle F\cup \{1-tf\},}$${\displaystyle F\cup \{1-tf\}}$

F を使用する代わりに、 Fのグレブナー基底から始めることもできます。どの方法が最も効率的かは問題によって異なります。ただし、飽和によってコンポーネントが削除されない場合、つまりイデアルが飽和イデアルに等しい場合は、最初にFのグレブナー基底を計算する方が通常は高速です。一方、飽和によっていくつかのコンポーネントが削除される場合は、直接計算する方が劇的に高速になる可能性があります。

複数の多項式に関して飽和させたい場合、または積である単一の多項式に関して飽和させたい場合、同じ結果が得られるが計算時間が大きく異なる可能性がある 3 つの方法があります (最も効率的な方法は問題によって異なります)。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k},}$

• 単一のグレブナー基底計算で飽和します。${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$
• によって飽和させ、次に によって結果を飽和させる、というように繰り返します。${\displaystyle f_{1},}$${\displaystyle f_{2},}$
• Fまたはそのグレブナー基底に多項式を追加し、単一のグレブナー基底計算で を削除します。${\displaystyle 1-t_{1}f_{1},\ldots ,1-t_{k}f_{k},}$${\displaystyle t_{i}}$

ヒルベルトの零点定理には2 つのバージョンがあります。最初のバージョンは、多項式の集合が係数体の代数閉包上に共通の零点を持たないのは、1 が生成されたイデアルに属する場合のみであると主張します。これは、任意の単項式順序に対して、1 がイデアルに属するのは、1 がイデアルのグレブナー基底に属する場合のみであるため、グレブナー基底計算で簡単にテストできます。

2 番目のバージョンは、イデアルの共通零点の集合 (係数体の代数閉包内) が多項式fの零点の超曲面に含まれるのは、 fのべき乗がイデアルに属する場合のみであると主張します。これは、イデアルをfで飽和させることでテストできます。実際、fのべき乗がイデアルに属するのは、 fによる飽和が1 を含むグレブナー基底を提供する場合のみとなります。

定義により、k次元のアフィン有理多様体は、次の形式の パラメトリック方程式で記述できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {p_{1}}{p_{0}}}\\&\;\;\vdots \\x_{n}&={\frac {p_{n}}{p_{0}}},\end{aligned}}}$

ここで、k個の変数（パラメータ化のパラメータ）のn +1個の多項式である。したがって、パラメータと多様体の点の 座標は理想のゼロである。${\displaystyle p_{0},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}.}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle I=\left\langle p_{0}x_{1}-p_{1},\ldots ,p_{0}x_{n}-p_{n}\right\rangle .}$

曲線の場合と同様に、パラメータを消去すれば多様体の暗黙の方程式が得られると推測できます。残念ながら、常にそうであるとは限りません。 が共通のゼロ（基点と呼ばれることもあります）を持つ場合、によって定義される空でない代数集合のすべての既約成分は、 Iによって定義される代数集合の既約成分です。したがって、この場合、 を直接消去すると、多項式の空集合が得られます。 ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

したがって、k > 1 の場合、暗黙的に表すには 2 つのグレブナー基底計算が必要です。

1. で飽和させてグレブナー基底を得る${\displaystyle I}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle G}$
2. からを消去して、多様体のイデアル (暗黙の方程式) のグレブナー基底を取得します。${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle G}$

Buchberger アルゴリズムは、グレブナー基底を計算するための最も古いアルゴリズムです。これは、グレブナー基底理論とともにBruno Buchbergerによって考案されました。実装は簡単ですが、生の実装では簡単な問題しか解決できないことがすぐにわかりました。主な問題は次のとおりです。

1. 結果として得られるグレブナー基底が小さい場合でも、中間の多項式は巨大になる可能性があります。その結果、計算時間の大部分がメモリ管理に費やされる可能性があります。そのため、効率的な実装には、専用のメモリ管理アルゴリズムが基本的な部分となる可能性があります。
2. 計算中に発生する整数は、高速乗算アルゴリズムや多重モジュラ演算を有用にするのに十分な大きさである可能性がある。このため、ほとんどの最適化された実装ではGMPlibraryが使用される。また、モジュラ演算、中国剰余定理、ヘンゼルリフティングも最適化された実装で使用される。
3. 簡約する S 多項式と、それを簡約するために使用される多項式の選択は、ヒューリスティックに委ねられています。多くの計算問題と同様に、ヒューリスティックではほとんどの隠れた単純化を検出できません。ヒューリスティックな選択を回避すれば、アルゴリズムの効率が劇的に向上する可能性があります。
4. ほとんどの場合、計算される S 多項式のほとんどはゼロに縮小されます。つまり、ほとんどの計算時間はゼロの計算に費やされます。
5. アプリケーションで最も頻繁に必要となる単項式順序(純粋な辞書式順序) は、最も簡単な計算につながる順序ではなく、一般的にはdegrevlex順序です。

3. を解決するために、 Jean-Charles FaugèreによるF4 アルゴリズムと F5 アルゴリズムの導入以前に、多くの改良、変種、およびヒューリスティックが提案されてきました。これらのアルゴリズムは整数係数または素数を法とする整数の係数用に設計されているため、 Buchberger のアルゴリズムはより一般的な係数に対しても有用です。

大まかに言えば、F4 アルゴリズムは、多数の S 多項式縮約を、高度な線形代数の手法を使用できる単一の大きな行列の行縮約に置き換えることによって、3. を解決します。これにより、Buchberger アルゴリズムのゼロへの縮約が縮約される行列の行間の関係に対応し、縮約された行列のゼロ行がこれらの関係のベクトル空間の基底に対応するため、問題 4. が部分的に解決されます。

F5 アルゴリズムは、縮小される行列のサイズを縮小できる基準を導入することで、F4 を改良しています。この基準は、縮小される行列が十分に規則的なケース (特に、入力多項式が規則的なシーケンスを形成する場合) ではフルランクになるため、ほぼ最適です。F5 を一般的な用途向けに調整するのは困難です。そのパフォーマンスは、入力多項式の順序と、作業多項式の次数の増分と考慮される入力多項式の数のバランスに依存するためです。現在 (2022 年)、F4 よりも大幅に効率的な分散実装はありませんが、モジュラー整数に対して、F5 はいくつかの暗号チャレンジにうまく使用されています。たとえば、HFE チャレンジの破りなどです。

問題 5 は、ある単項式順序のグレブナー基底から別の単項式順序のグレブナー基底を計算する基底変換アルゴリズムの発見によって解決されました。FGLMアルゴリズムは、ゼロ次元の場合 (多項式が有限個の複素共通ゼロを持つ場合) にのみ機能し、共通ゼロの数に多項式の複雑さを持つ基底変換アルゴリズムです。一般的な場合に機能する基底変換アルゴリズムは、グレブナーウォークアルゴリズムです。^{[4]元の形式では、FGLM は、}関係する行列のスパース性を考慮していないため、多項式方程式系を解くための重要なステップになる可能性があります。これは、スパース FGLM アルゴリズムの導入によって修正されました。^[5]

汎用コンピュータ代数システムのほとんどは、グレブナー基底の 1 つまたは複数のアルゴリズムの実装を持っており、多項式方程式の解法や三角関数の簡略化などの他の関数にも組み込まれていることが多い。これは、たとえばCoCoA、GAP、Macaulay 2、Magma、Maple、Mathematica、SINGULAR、SageMath、SymPyの場合である。 F4 が利用できる場合、通常は Buchberger のアルゴリズムよりもはるかに効率的である。実装手法やアルゴリズムのバリエーションは、効率に劇的な効果をもたらす可能性があるにもかかわらず、必ずしも文書化されているわけではない。

F4と(スパース)-FGLMの実装はライブラリ Msolveに含まれています。^[6]グレブナーアルゴリズムの他に、Msolveには実根分離のための高速アルゴリズムが含まれており、これらすべての機能を多項式方程式の実数解のアルゴリズムに統合し、この問題に対する他のソフトウェア(MapleとMagma)を大幅に上回ります。^{[6] Msolveは}GitHubで入手でき、Julia、Maple、SageMathとインターフェースされているため、これらのソフトウェア環境内から直接Msolveを使用できます。

グレブナー基底計算の複雑さは、通常、変数の数nと入力多項式の 最大次数dによって評価されます。

最悪の場合、計算量の主なパラメータは、結果として得られる縮小グレブナー基底の要素の最大次数である。より正確には、グレブナー基底が大きな次数Dの要素を含む場合、この要素には計算に時間を要する非ゼロ項が含まれる可能性がある。一方、縮小グレブナー基底同次イデアルのすべての多項式の次数が最大でもDである場合、グレブナー基底は次元^[1]を持つ2 D未満の次数の多項式のベクトル空間上の線型代数によって計算できる。したがって、この計算の計算量は${\displaystyle \Omega (D^{n})}$${\displaystyle \Omega (D^{n})>D^{\Omega (n)}.}$${\displaystyle O(D^{n}).}$${\displaystyle O(D^{n})^{O(1)}=D^{O(n)}.}$

グレブナー基底計算の最悪の場合の複雑性は、nについて二重指数関数的になります。より正確には、複雑性の上限は の多項式で制限されます。o表記をほとんど使用しない場合は で制限されます。一方、次数の多項式 または元を含む簡約グレブナー基底の例が示されています。グレブナー基底を計算するすべてのアルゴリズムは結果を書き込む必要があるため、これが複雑性の下限を提供します。 ${\textstyle d^{2^{n}}.}$${\textstyle d^{2^{n+o(n)}}.}$${\textstyle d^{2^{\Omega (n)}},}$${\textstyle d^{2^{\Omega (n)}}}$

グレブナー基底はEXPSPACE完全である。^[7]

グレブナー基底の概念とアルゴリズムは、多項式環上の自由加群のサブモジュールに一般化されています。実際、L が環R上の自由加群である場合、Lの2つの元の積を0と定義することにより、直和を環と見なすことができます。この環は（ はLの基底）と同一視できます。これにより、 によって生成されたLのサブモジュールを、によって生成されたのイデアルと積 、 と同一視できます。R が多項式環である場合、これにより、加群のグレブナー基底の理論とアルゴリズムが、イデアルのグレブナー基底の理論とアルゴリズムに簡約されます。 ${\displaystyle R\oplus L}$${\displaystyle R[e_{1},\ldots ,e_{l}]/\left\langle \{e_{i}e_{j}|1\leq i\leq j\leq l\}\right\rangle }$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{l}}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$${\displaystyle R[e_{1},\ldots ,e_{l}]}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$${\displaystyle e_{i}e_{j}}$${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq l}$

グレブナー基底の概念とアルゴリズムは、主イデアル環上の多項式環やワイル代数など、可換か否かを問わずさまざまな環上のイデアルにも一般化されています。

グレブナー基底は代数復号のための誤り訂正符号の理論に応用されてきた。様々な形式の誤り訂正方程式にグレブナー基底計算を用いることで、巡回符号、^[8]アフィン多様体符号、^[9]代数幾何符号、さらには一般線形ブロック符号^[10]の誤りを訂正する復号法が開発された。 代数復号におけるグレブナー基底の適用は、現在でも通信路符号化理論の研究分野である。

• ベルクマンのダイヤモンド補題、グレブナー基底の非可換環への拡張
• グレイバーベース
• ジャネット・ベース
• 正規連鎖、代数集合を表現する別の方法

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