タプル

数学において、タプルとは、数値の有限列（または順序付きリスト）のことです。より一般的には、タプルの要素と呼ばれる数学的対象の列のことです。n $タプル$ は $n$ 個の要素からなるタプルで、 $n$ は非負整数です。0タプルは1つしかなく、空タプルと呼ばれます。1タプルと2タプルは、それぞれ一般的にシングルトンと順序付きペアと呼ばれます。「無限タプル」という用語は、 「無限列」を指す場合にも使われることがあります。

$タプルは通常、括弧「（）$ 」で囲み、コンマで区切って要素を列挙して記述します。例えば、 $(2, 7, 4, 1, 7)$ は 5 要素のタプルを表します。他の種類の括弧が使用されることもありますが、意味が異なる場合があります。^{[ a ]}

nタプルは、定義域が最初の n 個の自然数 ( 1, 2, ..., n ) である関数の像として形式的に定義できます $。$ タプル $は$ 、順序 $対$ $から$ 始まる漸化式によって順序対から定義することもできます。実際、 nタプルは、その $最初の$ $($ $n$ $- 1)$ 個の要素と $n$ 番目の要素の順序対と同一視できます。 $\left(\left(\left(1,2\right),3\right),4\right)=\left(1,2,3,4\right)$ 。

コンピュータサイエンスでは、タプルはさまざまな形式で存在します。ほとんどの型付き関数型プログラミング言語は、タプルを積型として直接実装しています。 ^{[ 1 ]}これは、代数的データ型、パターンマッチング、分割代入と密接に関連しています。^{[ 2 ]}多くのプログラミング言語は、ラベルによってアクセスされる順序付けされていない要素を特徴とするレコード型と呼ばれる、タプルの代替手段を提供しています。^{[ 3 ]} C言語の構造体やHaskellのレコードのように、順序付きタプル積型と順序付けされていないレコード型を単一の構造に組み合わせたプログラミング言語もいくつかあります。リレーショナルデータベースでは、行（レコード）を正式にタプルとして識別することができます。

タプルは関係代数、リソース記述フレームワーク（RDF）を使用したセマンティックウェブのプログラミング、言語学[ ⁴^]^、哲学[ ⁵^]^にも出現します。

語源

この用語は、数詞のラテン語名から接頭辞を取って、single、couple/double、triple、quadruple、quintuple、sextuple、septuple、octuple、...、 $n$ ‐tuple、... という数列の抽象化として生まれました。唯一の 0 ‐tuple はnull ‐tupleまたはempty ‐tupleと呼ばれます。1 ‐tuple はsingle (またはsingleton ) と呼ばれ、2 ‐tuple は順序付きペアまたはcoupleと呼ばれ、3 ‐tuple はtriple (またはtriplet ) と呼ばれます。数 $n$ は任意の非負整数です。たとえば、複素数は実数の 2 ‐tuple として表すことができ、四元数は4 ‐tuple として表すことができ、八元数は8 ‐tuple として表すことができ、六元数は16 ‐tuple として表すことができます。

これらの用法では接尾辞として-tupleが用いられているが、本来の接尾辞は「triple」（3 倍）や「decuple」（10 倍）のように -pleであった。これは、ギリシャ語の-πλοῦςに関連する中世ラテン語のplus （「より多く」を意味する）に由来し、古典古代および後期古代の-plex（「折り畳まれた」を意味する）に取って代わったもので、「duplex」のように用いられる。^[⁶^]^[^b^]

物件

$2つのn$ タプルの同一性に関する一般的な規則は次のとおりです。

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})

かつその場合に限り

a_{1}=b_{1},{\text{ }}a_{2}=b_{2},{\text{ }}\ldots ,{\text{ }}a_{n}=b_{n}

。

したがって、タプルはセットとは異なる特性を持っている。

タプルには同じ要素の複数のインスタンスが含まれる可能性があるため、タプル $(1,2,2,3)\neq (1,2,3)$ ; しかし設定する $\{1,2,2,3\}=\{1,2,3\}$ 。
タプルの要素は順序付けられています: タプル $(1,2,3)\neq (3,2,1)$ しかし、 $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$ 。
タプルは有限個の要素を持つが、セットまたはマルチセットは無限個の要素を持つ可能性がある。

定義

タプルには、前のセクションで説明した特性を与える定義がいくつか存在する。

関数としてのタプル

の $0$ -タプルは空の関数として識別される可能性があります。 $n\geq 1,$ の $n$ -タプル $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ 射影関数と同一視できる

F~:~\left\{1,\ldots ,n\right\}~\to ~\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}

ドメイン付き

\operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}=\left\{i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n\right\}

そして、コドメインは

\operatorname {codomain} F=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\},

それは以下のように定義されます $i\in \operatorname {domain} F=\left\{1,\ldots ,n\right\}$ による

F(i):=a_{i}.

つまり、 $F$ 関数は次のように定義されます

{\begin{alignedat}{3}1\;&\mapsto &&\;a_{1}\\\;&\;\;\vdots &&\;\\n\;&\mapsto &&\;a_{n}\\\end{alignedat}}

その場合、平等

\left(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\right)=\left(F(1),F(2),\dots ,F(n)\right)

必然的に成り立つ。

タプルは順序対の集合として定義される。

関数は一般的に、特定の順序対の集合であるグラフと関連付けられます。実際、多くの著者はグラフを関数の定義として使用しています。この「関数」の定義を使用すると、上記の関数は $F$ 次のように定義できます。

F~:=~\left\{\left(1,a_{1}\right),\ldots ,\left(n,a_{n}\right)\right\}.

入れ子になった順序対としてのタプル

集合論においてタプルをモデル化するもう一つの方法は、入れ子になった順序対として表現することです。このアプローチでは、順序対の概念が既に定義されていることを前提としています。

0タプル（つまり空のタプル）は空集合で表される。 $\emptyset$ 。
$n$ $> 0$ のnタプルは、その最初の要素と $($ $n$ $- 1)タプル ($ $n$ $> 1 の場合、残りの要素を含む)$ $の$ 順序対として定義できます。
$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))$

$この定義は、 (n -1)$ タプルに再帰的に適用できます。

(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots ))))

例えば、次のような場合が考えられます。

{\begin{aligned}(1,2,3)&=(1,(2,(3,\emptyset )))\\(1,2,3,4)&=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))\\\end{aligned}}

この定義の変形版では、反対側から要素を「剥がしていく」ことから始める。

0タプルは空集合です $\emptyset$ 。
$n > 0 の$ 場合：
$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})$

この定義は再帰的に適用できる。

(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n})

例えば、次のような場合が考えられます。

{\begin{aligned}(1,2,3)&=(((\emptyset ,1),2),3)\\(1,2,3,4)&=((((\emptyset ,1),2),3),4)\\\end{aligned}}

タプルをネストされたセットとして扱う

クラトフスキーの順序対表現を用いると、上記の2番目の定義は純粋な集合論の観点から次のように再定式化できる。

0タプル（つまり空のタプル）は空集合で表される。 $\emptyset$ ;
させて $x$ $n$ タプルである $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ 、そして $x\rightarrow b\equiv (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b)$ 。それから、 $x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}$ （右矢印、 $\rightarrow$ （「隣接する」と解釈することもできる。）

この処方では：

{\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}

$m$ 個 $の集合からなるn$ 個のタプル

離散数学、特に組み合わせ論と有限確率論では、 $n$ タプルはさまざまな計数問題の文脈で現れ、より非公式には長さ $n$ の順序付きリストとして扱われます。^{[ 7 ]} $m$ 個の要素の集合からエントリが来る $n$ タプルは、繰り返しのある配置、多重集合の順列、および英語以外の文献では繰り返しのあるバリエーションとも呼ばれます。m $個の集合の$ $n$ タプルの数は $m$ $n$ です。これは組み合わせの積の規則から導かれます。^[⁸^] $S が$ 濃度 $m$ の有限集合である場合、この数は $n$ 重のデカルト冪 $S$ $\times$ $S$ $\times \dots \times$ $S$ の濃度です。タプルはこの積集合の要素です。

型理論

プログラミング言語で一般的に用いられる型理論では、タプルは積型を持ちます。これは、長さだけでなく、各要素の基となる型も規定します。正式には次のようになります。

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}

そして、射影は項構成子である。

\pi _{1}(x):{\mathsf {T}}_{1},~\pi _{2}(x):{\mathsf {T}}_{2},~\ldots ,~\pi _{n}(x):{\mathsf {T}}_{n}

関係モデルで使用されるラベル付き要素を持つタプルはレコード型を持つ。これらの型はどちらも、単純型ラムダ計算の単純な拡張として定義できる。^{[ 9 ]}

型理論におけるタプルの概念と集合理論におけるタプルの概念は、次のように関連している。型理論の自然なモデルを考え、意味解釈を示すためにスコット括弧を用いると、そのモデルはいくつかの集合から構成される。 $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}$ （注：ここではイタリック体を使用することで、集合と型を区別しています）以下のようになります。

[\![{\mathsf {T}}_{1}]\!]=S_{1},~[\![{\mathsf {T}}_{2}]\!]=S_{2},~\ldots ,~[\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]=S_{n}

そして、基本用語の解釈は以下のとおりです。

[\![x_{1}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{1}]\!],~[\![x_{2}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{2}]\!],~\ldots ,~[\![x_{n}]\!]\in [\![{\mathsf {T}}_{n}]\!]

。

$型理論のn$ タプルは、集合理論の $n$ タプルとして自然に解釈される: ^{[ 10 ]}

[\![(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})]\!]=(\,[\![x_{1}]\!],[\![x_{2}]\!],\ldots ,[\![x_{n}]\!]\,)

単位型は、意味論的には0タプルとして解釈される。

プログラミング言語におけるタプル型の一覧については、「製品型#プログラミング言語における製品型」を参照してください。

注記

↑角括弧は、行ベクトルを含む行列に使用されます。中括弧は、集合に使用されます。各プログラミング言語には、異なる括弧に関する独自の規則があります。
↑倍数性（ploidy）の語源は、ギリシャ語の「-fold」に由来する。

参考文献

↑ "代数的データ型 - HaskellWiki" . wiki.haskell.org .
↑ 「代入の分解」。MDN Web Docs。2023年4月18日。
↑ 「JavaScriptはオブジェクトのプロパティの順序を保証しますか？」。Stack Overflow。
↑マシューズ、PH 編 (2007 年 1 月) 「N タプル」『簡潔オックスフォード言語学辞典』オックスフォード大学出版局。ISBN 97801992027202015年5月1日に取得。
↑ブラックバーン、サイモン（1994）。「順序付きnタプル」。『オックスフォード哲学辞典』。オックスフォードガイドラインクイックリファレンス（第3版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版局（2016年刊行）。342ページ。ISBN 9780198735304. 2017-06-30に取得。順序付き n タプル[:] [...] 順序付きペアの概念を n 個のオブジェクトのシーケンスに一般化したもの。
↑ OED、 sv "トリプル"、"四重"、"五重"、"十二重"
↑ D'Angelo & West 2000 、p.9
↑ D'Angelo & West 2000 、p. 101
↑ピアース、ベンジャミン (2002).型とプログラミング言語. MIT Press. pp. 126–132 . ISBN 0-262-16209-1。
↑スティーブ・アウォディ、「集合から型へ、カテゴリーへ、そして集合へ」、2009年、プレプリント

情報源

D'Angelo, John P. ; West, Douglas B. (2000), Mathematical Thinking/Problem-Solving and Proofs (2nd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
キース・デブリン著『集合の喜び』、シュプリンガー・フェルラーク、第2版、1993年、ISBN 0-387-94094-47～8ページ
アブラハム・アドルフ・フランケル、イェホシュア・バー＝ヒレル、アズリエル・レヴィ、『学校集合論の基礎』、エルゼビア論理学研究シリーズ第67巻、第2版、改訂版、1973年、ISBN 0-7204-2270-133ページ
Gaisi Takeuti、WM Zaring、『公理的集合論入門』、Springer GTM 1、1971年、ISBN 978-0-387-90024-7、14ページ
ジョージ・J・トゥーラキス著、『論理学と集合論の講義ノート』第2巻：集合論、ケンブリッジ大学出版局、2003年、ISBN 978-0-521-75374-6、182～193ページ

外部リンク

Wiktionaryにおけるタプルの辞書定義

[1] 角括弧は、行ベクトルを含む行列に使用されます。中括弧は、集合に使用されます。各プログラミング言語には、異なる括弧に関する独自の規則があります。

[8] 倍数性（ploidy）の語源は、ギリシャ語の「-fold」に由来する。

[2] "代数的データ型 - HaskellWiki" . wiki.haskell.org .

[3] 「代入の分解」。MDN Web Docs。2023年4月18日。

[4] 「JavaScriptはオブジェクトのプロパティの順序を保証しますか？」。Stack Overflow。

[5] マシューズ、PH 編 (2007 年 1 月) 「N タプル」『簡潔オックスフォード言語学辞典』オックスフォード大学出版局。ISBN 97801992027202015年5月1日に取得。

[6] ブラックバーン、サイモン（1994）。「順序付きnタプル」。『オックスフォード哲学辞典』。オックスフォードガイドラインクイックリファレンス（第3版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版局（2016年刊行）。342ページ。ISBN 9780198735304. 2017-06-30に取得。順序付き n タプル[:] [...] 順序付きペアの概念を n 個のオブジェクトのシーケンスに一般化したもの。

[7] OED、 sv "トリプル"、"四重"、"五重"、"十二重"

[9] D'Angelo & West 2000 、p.9

[10] D'Angelo & West 2000 、p. 101

[pierce2002-11] ピアース、ベンジャミン (2002).型とプログラミング言語. MIT Press. pp. 126–132 . ISBN 0-262-16209-1。

[12] スティーブ・アウォディ、「集合から型へ、カテゴリーへ、そして集合へ」、2009年、プレプリント

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語源

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