内部自己同型

抽象代数学において、内部自己同型とは、共役元と呼ばれる固定された元の共役作用によって与えられる群、環、または代数の自己同型です。これらは群自体の内部からの操作によって実現できるため、形容詞「内部」と呼ばれます。これらの内部自己同型は自己同型群のサブグループを形成し、自己同型群をこのサブグループで割った商は外部自己同型群として定義されます。

Gが群でgがGの元（あるいは、Gが環でgが単位元）であれば、関数

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}}$

はgによる（右）共役と呼ばれる（共役類も参照）。この関数はGの自己準同型であり、すべての${\displaystyle x_{1},x_{2}\in G,}$

${\displaystyle \varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),}$

ここで、2番目の等式は、との間の恒等式 を挿入することによって与えられます。さらに、左逆 と右逆、つまり を持ちます。したがって、は単射と外同型の両方であり、したがってGとそれ自身との同型、つまり自己同型です。内部自己同型は、共役から生じる任意の自己同型です。^[1]${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}.}$${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}.}$${\displaystyle \varphi_{g}}$

右活用について議論する場合、式は指数的に次のように表記されることが多い。この表記法が使用されるのは、活用の合成が、すべてに対して次の恒等式を満たすためである。これは、右活用がGの自身へ の右作用を​​与えることを示す。${\displaystyle g^{-1}xg}$${\displaystyle x^{g}.}$${\displaystyle \left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}}$${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G.}$

よくある例は以下のとおりです。^{[2] [3]}

像 が群 の内部自己同型の正規部分群となるような準同型を記述します。あるいは、の核がの中心（ をそれらで共役するとすべて自明な自己同型が返される）となるような自然準同型、つまり を記述します。内のあらゆる（内部）自己同型に付随する自然準同型 が常に存在します。同様に、 と書きます。 ${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle {\text{Im}}(\Phi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle {\text{Ker}}(\Phi )={\text{Z}}(G)}$${\displaystyle \Phi :G\to {\text{Aut}}(G)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \varphi_{g}}$${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$${\displaystyle \Phi :g\mapsto \varphi _{g}}$

を上で定義したとします。これには、(1)が準同型であること、(2)も全単射であること、(3)が準同型であることを証明する必要があります。 ${\displaystyle \varphi_{g}(x):=gxg^{-1}}$${\displaystyle \varphi_{g}}$${\displaystyle \varphi_{g}}$${\displaystyle \Phi}$

1. ${\displaystyle \varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')}$
2. 全単射性の条件は、からに戻ることができるような逆関数を単に提示することによって検証できます。この場合、 による共役はと表記されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle gxg^{-1}}$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle \varphi _{g^{-1}}}$
3. ${\displaystyle \Phi (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}}$そして${\displaystyle \Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'hg'^{-1})=gg'hg'^{-1}g^{-1}=(gg')h(gg')^{-1}}$

2つの内部自己同型の合成もまた内部自己同型であり、この操作により、Gのすべての内部自己同型の集合は群となり、Gの内部自己同型群はInn( G )と表記される。

Inn( G )はGの完全自己同型群Aut( G )の正規部分群である。外部自己同型群Out ( G )は商群である。

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).}$

外部自己同型群は、ある意味で、Gの自己同型のうち内部でないものがいくつあるかを測定します。すべての非内部自己同型はOut( G )の非自明な要素を生成しますが、異なる非内部自己同型はOut( G )の同じ要素を生成する場合があります。

xをaで共役してもx は変化しないと言うことは、 aとx が可換であると言うことと同じです。

${\displaystyle a^{-1}xa=x\iff xa=ax.}$

したがって、恒等写像ではない内部自己同型の存在と数は、群（または環）における 交換法則の不成立の一種の尺度です。

群Gの自己同型が内部的であるためには、それがGを含むすべての群に拡張される必要がある。^[4]

上記のように、Inn( G )の元a∈Gを内部自己同型f(x)=xaに関連付けると、商群G ^/ Z ( G ) (ここでZ ( G )はGの中心)と内部自己同型群の間に同型が得られる。

${\displaystyle G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).}$

これは第一同型定理の結果である。なぜなら、Z( G )はまさに、対応する内部自己同型として恒等写像を与える Gの要素の集合だからである（共役は何も変化しない）。

Wolfgang Gaschütz の結果によれば、G が有限非可換p群である場合、G はpべき順序の自己同型を持ち、それは内部的ではないとされています。

すべての非可換p群G が位数pの自己同型を持つかどうかは未解決の問題です。後者の質問は、G が以下の条件のいずれかを満たすときは常に肯定的な答えを持ちます。

1. G はクラス 2 の冪零である
2. Gは正則p群である
3. G / Z( G )は強力なp群である
4. Gのフラッティーニ部分群の中心Z _ΦのGの中心化点C G、 C G _∘ Z ∘ Φ( G ) はΦ( G )と等しくない。

群Gの内部自己同型群Inn ( G )が自明である (つまり、単位元のみで構成される)のは、 Gがアーベルである場合に限ります。

群Inn( G )は、自明な場合にのみ 巡回的になります。

スペクトルの反対側では、内部自己同型が自己同型群全体を尽くす場合があります。自己同型がすべて内部であり、中心が自明なグループは完全と呼ばれます。これは、 nが 2 でも 6 でもないときのn要素上のすべての対称群に当てはまります。n = 6のとき、対称群は非内部自己同型の一意の非自明なクラスを持ち、n = 2のとき、対称群は非内部自己同型を持たないにもかかわらずアーベルであり、非自明な中心を与えるため、完全ではありません。

完全群 Gの内部自己同型群が単純である場合、G は準単純と呼ばれます。

リー代数 𝔊の自己同型は、それがAd _{g の}形式である場合に内部自己同型と呼ばれます。ここで、Ad は随伴写像であり、g はリー代数が𝔊であるリー群の要素です。リー代数の内部自己同型の概念は、リー群の内部自己同型が対応するリー代数の一意の内部自己同型を誘導するという意味で、群の概念と互換性があります。

G が環Aの単位群である場合、G上の内部自己同型は、行列環の単位群M ₂ ( A )によってA上の射影直線への写像に拡張できます。特に、古典群の内部自己同型はそのように拡張できます。

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• ワイスタイン、エリック・W.「内なる自己同型性」。マスワールド。