フルヴィッツの自己同型定理

数学において、フルヴィッツの自己同型定理は、種数g > 1のコンパクトリーマン面の、向きを保存する等角写像による自己同型群の位数を制限し、そのような自己同型の数は 84( g − 1 ) を超えることはできないと述べている。最大値が達成される群はフルヴィッツ群と呼ばれ、対応するリーマン面はフルヴィッツ面と呼ばれる。コンパクト リーマン面は非特異複素射影代数曲線と同義であるため、フルヴィッツ面はフルヴィッツ曲線とも呼ばれる。^{[ 1 ]}この定理は、 ( Hurwitz 1893 )でそれを証明したアドルフ フルヴィッツにちなんで名付けられている。

フルヴィッツの限界は、標数 0 の体上の代数曲線、および正の標数p > 0 の体上の、位数がpと互いに素な群に対しても成り立ちますが、 p が群の位数を割り切る場合は、正の標数p > 0の体上で成り立たないことがあります。たとえば、素体上で定義されたすべての点で分岐する射影直線y ² = x ^p − xの二重被覆は、種数g = ( p − 1)/2 を持ちますが、位数p ³ − pの群 PGL ₂ ( p )によって作用されます。

微分幾何学における基本的なテーマの一つは、正曲率、ゼロ曲率、負曲率のリーマン多様体Kの三区分である。これは、様々な状況や複数のレベルで現れる。コンパクトリーマン面Xの文脈では、リーマン一様化定理を通して、これは異なる位相を持つ曲面の区別として見ることができる。

• X は球面であり、 K > 0の種数ゼロのコンパクトなリーマン面である。
• X は平坦なトーラス、または楕円曲線、 K = 0の種数 1 のリーマン面です 。
• そして、Xは種数が1より大きく、K < 0である双曲面である。

最初の 2 つのケースでは、曲面X は無限に多くの共形自己同型写像​​を許容しますが (実際には、共形自己同型群は球面の場合は 3 次元の複素リー群、トーラスの場合は 1 次元の複素リー群です)、双曲リーマン面は離散的な自己同型写像​​の集合しか許容しません。フルヴィッツの定理は、実際にはそれ以上のことが真であると主張しています。それは、種数の関数として自己同型群の位数に対する一様な上限を与え、上限がシャープなリーマン面を特徴づけます。

定理：${\displaystyle X}$種数 の滑らかなコンパクトリーマン面である${\displaystyle g\geq 2}$すると、その自己同型群は${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$最大サイズ${\displaystyle 84(g-1)}$。

証明:とりあえず、${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$有限である（これは最後に証明される）。

• 商写像について考えてみましょう${\displaystyle X\to X/G}$。 以来${\displaystyle G}$正則関数によって作用し、商は局所的に次の形式となる。$\displaystyle z\to z^{n}}$そして商${\displaystyle X/G}$は滑らかなリーマン面である。商写像${\displaystyle X\to X/G}$は分岐被覆であり、後述するように、分岐点は非自明な安定化子を持つ軌道に対応する。${\displaystyle g_{0}}$属は${\displaystyle X/G}$。
• リーマン・フルヴィッツの公式によれば、$${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$ここで合計は${\displaystyle k}$分岐点${\displaystyle p_{i}\in X/G}$商マップの場合${\displaystyle X\to X/G}$分岐指数${\displaystyle e_{i}}$で${\displaystyle p_{i}}$これは安定化基の順序にすぎない。${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$どこ${\displaystyle f_{i}}$原像の数${\displaystyle p_{i}}$（軌道上の点の数）、そして${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$分岐点の定義により、${\displaystyle e_{i}\geq 2}$すべての人々のために${\displaystyle k}$分岐指数。

今度は右側を呼び出します${\displaystyle |G|R}$そしてそれ以来${\displaystyle g\geq 2}$私たちは持っていなければならない${\displaystyle R>0}$式を整理すると次のようになります。

• もし${\displaystyle g_{0}\geq 2}$それから${\displaystyle R\geq 2}$、 そして${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• もし${\displaystyle g_{0}=1}$、 それから${\displaystyle k\geq 1}$ そして${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$となることによって${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$、
• もし${\displaystyle g_{0}=0}$、 それから${\displaystyle k\geq 3}$そして
  • もし${\displaystyle k\geq 5}$それから${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$、 となることによって${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • もし${\displaystyle k=4}$それから${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$、 となることによって${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$、
  • もし${\displaystyle k=3}$それから書く${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$我々は、${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$。
    • もし${\displaystyle p\geq 3}$それから${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$となることによって${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$、
    • もし${\displaystyle p=2}$それから
      • もし${\displaystyle q\geq 4}$それから${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$となることによって${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$、
      • もし${\displaystyle q=3}$それから${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$となることによって${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$。

結論は、${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$。

それを示すために${\displaystyle G}$有限であることに注意${\displaystyle G}$コホモロジーに作用する${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$ホッジ分解と格子を保存する${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$。

• 特に、${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$準同型を与える${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$離散画像付き${\displaystyle h(G)}$。
• さらに、画像${\displaystyle h(G)}$自然な非退化エルミート内積を保持する${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$の上${\displaystyle V}$特に画像${\displaystyle h(G)}$単一群に含まれる${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$これはコンパクトです。したがって、画像は${\displaystyle h(G)}$単に離散的であるだけでなく、有限である。
• 証明すべきことは${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$有限核を持つ。実際、我々は証明する。${\displaystyle h}$単射であると仮定する。${\displaystyle \varphi \in G}$アイデンティティとして機能します${\displaystyle V}$。 もし${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$が有限であれば、レフシェッツの不動点定理により、$${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

これは矛盾なので、${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$無限です。${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$は正の次元の閉じた複素部分多様体であり、${\displaystyle X}$滑らかに接続された曲線です（つまり${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$)、私たちは${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$。 したがって${\displaystyle \varphi }$は恒等式であり、我々は次の結論に至る。${\displaystyle h}$単射であり、${\displaystyle G\cong h(G)}$有限である。証明終了

証明の系：リーマン面${\displaystyle X}$属の${\displaystyle g\geq 2}$もっている${\displaystyle 84(g-1)}$自己同型は、${\displaystyle X}$枝分かれした被覆$\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$3つの分岐点があり、指数は2、3、7です。

一様化定理により、任意の双曲面 X（すなわち、Xのガウス曲率がすべての点で負の 1 に等しい面）は双曲平面で覆われます。この面の等角写像は、双曲平面の向きを保存する自己同型写像​​に対応します。ガウス・ボンネの定理により、この面の面積は

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1)。

Xの自己同型群Gをできるだけ大きくするためには、この作用の基本領域Dの面積をできるだけ小さくしたい。基本領域が双曲平面のタイル張りを定義する頂点角 π/p、π/q、π/r を持つ三角形である場合、p、q、rは 1 より大きい整数であり、面積は

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r )。

つまり、式を満たす整数を求めているのです。

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

厳密に正の値で、できるだけ小さい値。この最小値は 1/42 であり、

1 − 1/2 − 1/3 − 1/7 = 1/42

これは、そのような整数の一意な三つ組を与える。これは、自己同型群の位数 | G | が以下によって制限されることを示している。

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1)。

しかし、より繊細な推論によれば、群Gには向きを反転する変換が含まれる可能性があるため、これは 2 倍の過大評価であることがわかります。向きを保存する共形自己同型の場合、上限は 84( g − 1 ) です。

工事

フルヴィッツ群の例を得るために、双曲平面の (2,3,7) タイリングから始めましょう。その完全な対称群は、角度が π/2、π/3、π/7 の単一の基本三角形の辺に関する鏡映によって生成される完全な(2,3,7) 三角形群です。鏡映は三角形を反転させ、向きを変えるので、三角形をペアで結合して、向きを保存するタイリング多角形を得ることができます。フルヴィッツ曲面は、この双曲平面の無限タイリングの一部を種数gのコンパクトなリーマン面に「閉じる」ことによって得られます。これには、必然的に正確に 84( g − 1) 個の二重三角形タイルが含まれます。

以下の2つの正則タイリングは、目的の対称群を持ちます。回転群は辺、頂点、面を中心とした回転に対応し、完全な対称群には鏡映も含まれます。タイリング内の多角形は基本領域ではありません。(2,3,7)三角形によるタイリングは、これら両方を細分化したものであり、正則ではありません。

ウィトホフ構成を用いると、さらに多くの均一なタイリングが得られ、ここに示された2つの正則タイリングを含め、 8つの均一なタイリングが得られます。これらはすべてフルヴィッツ曲面へと移行し、曲面のタイリング（三角形分割、七角形によるタイリングなど）が得られます。

上記の議論から、フルヴィッツ群Gは、2つの生成元aとbと3つの関係式を持つ群の有限商群であるという性質によって特徴づけられると推測できる。

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

したがって、Gは位数 2 と 3 の 2 つの要素によって生成される有限群であり、それらの積は位数 7 である。より正確には、与えられた種数の曲面の自己同型群の最大位数を実現する双曲曲面である任意のフルヴィッツ曲面は、上記の構成によって得られる。これがフルヴィッツの定理の最後の部分である。

最小のフルヴィッツ群は位数168の射影特殊線形群PSL(2,7)であり、対応する曲線はクライン4次曲線である。この群はPSL(3,2)とも同型である。

次はマクベス曲線で、自己同型群PSL(2,8)の位数は504です。有限単純群の多くはフルヴィッツ群です。例えば、交代群のうち64個を除くすべてがフルヴィッツ群で、最大の非フルヴィッツ群は次数167です。フルヴィッツ群である最小の交代群はA15_です。

ランクの大きい射影特殊線形群のほとんどはフルヴィッツ群である（Lucchini、Tamburini & Wilson 2000 ）。ランクが低い場合、フルヴィッツ群となるものは少なくなる。n p を p の法 7 の位数とすると、_PSL ( 2 , q ) がフルヴィッツ群となるのは、 q = 7 またはq = p ^{n _p}の場合のみである。実際、PSL(3, q ) がフルヴィッツ群となるのはq = 2 の場合のみであり、PSL(4, q ) は決してフルヴィッツ群ではなく、PSL(5, q ) がフルヴィッツ群となるのはq = 7 ⁴またはq = p ^{n _p}の場合のみである（Tamburini & Vsemirnov 2006 ）。

同様に、多くのリー群はフルヴィッツ群である。高ランクの有限古典群はフルヴィッツ群である（Lucchini & Tamburini 1999 ）。G2型の例外リー群と2G2型のリー群はほぼ常にフルヴィッツ群である（Malle 1990 ） 。低ランクの例外リー群とねじれリー群の他の族は、 （Malle 1995 ）でフルヴィッツ群であることが示されている。

フルヴィッツ群として生成できる散在群は12 個あります。ヤンコ群J ₁、J ₂、J ₄、フィッシャー群Fi ₂₂、Fi' ₂₄、ルドヴァリス群、ヘルド群、トンプソン群、原田-ノートン群、第 3コンウェイ群Co ₃、ライオンズ群、モンスター群( Wilson 2001 )です。

種数gのリーマン面Xに対して得られる最大の |Aut( X )| ( OEISのシーケンスA346293 )は、2 ≤ g ≤ 10 の場合について以下に示されており、|Aut( X _{0 )| が最大となる面}X ₀も併せて示されています。

この範囲では、種数g = 3 とg = 7のフルヴィッツ曲線のみが存在する（OEISのシーケンスA179982）。

フルヴィッツ曲面の概念は、いくつかの方法で一般化することができ、ごく少数の種族を除いて、ほぼすべての種族に例を持つ定義が得られます。おそらく最も自然なのは、「最大対称性」を持つ曲面でしょう。これは、等しく対称な曲面を通して連続的に変更しても、元の曲面の対称性を適切に包含する曲面にはならない曲面です。これは、向き付け可能なすべてのコンパクト種族で可能です（上記の「低種族における自己同型群」の項を参照）。

• （２、３、７）三角形群