ADE分類

数学において、ADE分類（もともとADE分類）は、ある種のオブジェクトが単純化されたディンキン図と対応する状況である。これらの分類に共通の起源を与えるという問題は、事後的な平行性の検証ではなく、（Arnold 1976）で提起された。単純化されたディンキン図の完全なリストは次の通りである。

${\displaystyle A_{n},\,D_{n},\,E_{6},\,E_{7},\,E_{8}。}$

ここで「単純に結ばれている」とは、複数の辺が存在しないことを意味します。これは、ルート システム内のすべての単純ルートが（頂点間に辺がない）または（頂点間に単一の辺がある）の角度を形成することに対応します。これらは、4 つの Dynkin 図ファミリーのうちの 2 つ（およびは省略）であり、5 つの例外的な Dynkin 図のうちの 3 つ（およびは省略）です。 ${\displaystyle \pi /2=90^{\circ }}$${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle F_{4}}$${\displaystyle G_{2}}$

このリストは、 をとれば非冗長である。族を冗長項を含むように拡張すると、例外同型が得られる。${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle D_{n}.}$

${\displaystyle D_{3}\cong A_{3},E_{4}\cong A_{4},E_{5}\cong D_{5},}$

および分類されたオブジェクトの対応する同型性。

A、D、E の命名法では、同じ図によって、単純に組み合わせた有限 Coxeter 群も生成されます。この場合、多重辺がないため、Dynkin 図は Coxeter 図と正確に一致します。

複素半単純リー代数の観点から見ると:

• ${\displaystyle A_{n}}$は、トレースレス演算子の特殊線型リー代数に対応し、${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ),}$
• ${\displaystyle D_{n}}$は偶数次元の歪対称作用素の偶数特殊直交リー代数に対応し、${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ),}$
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$5 つの例外的なリー代数のうちの 3 つです。

コンパクトリー代数とそれに対応する単結リー群の観点から見ると、

• ${\displaystyle A_{n}}$特殊ユニタリ群の代数に対応する${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ ${\displaystyle SU(n+1);}$
• ${\displaystyle D_{n}}$は偶射影特殊直交群の代数に対応し、一方${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {R} ),}$ ${\displaystyle PSO(2n)}$
• ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$は、5 つの例外的なコンパクト リー代数のうちの 3 つです。

同じ分類は の離散部分群、すなわち二元多面体群にも適用されます。厳密に言えば、二元多面体群は単結合アフィンディンキン図に対応し、これらの群の表現はこれらの図によって理解できます。この関係は、${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle {\チルダ {A}}_{n},{\チルダ {D}}_{n},{\チルダ {E}}_{k},}$ジョン・マッケイにちなんでマッケイ対応が提案された。プラトン立体との関連はマッケイグラフの構築が用いられる。

ADE対応はプラトン立体とそれらの対称性の反射群との対応ではないことに注意されたい。例えば、ADE対応では、四面体、立方体/八面体、十二面体/二十面体は に対応するが、四面体、立方体/八面体、十二面体/二十面体の反射群は、コクセター群と${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},}$ ${\displaystyle A_{3},BC_{3},}$${\displaystyle H_{3}.}$

各離散部分群を使用して構築されたのオービフォールドは、原点に ADE 型の特異点、いわゆるデュ・ヴァル特異点をもたらします。 ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

McKay 対応は、 2 つの 2 元多面体群を使用することで、多重レース ディンキン図に拡張できます。これは、ピーター スロドウィにちなんでスロドウィ対応として知られています(Stekolshchik 2008 を参照)。

ADEグラフと拡張（アフィン）ADEグラフは、特定の特性を持つラベル付けの観点からも特徴付けることができ、^[1]離散ラプラス演算子^[2]またはカルタン行列の観点から述べることができます。カルタン行列の観点からの証明は、（Kac 1990、pp. 47-54）にあります。

アフィン ADE グラフは、次の特性を持つ正のラベル付け (正の実数によるノードのラベル付け) を許容する唯一のグラフです。

任意のラベルを 2 倍すると、隣接する頂点のラベルの合計になります。

つまり、離散ラプラシアン（隣接する頂点の合計から頂点の値を引いたもの）に対して固有値が 1 である唯一の正の関数であり、同次方程式の正の解です。

${\displaystyle \Delta \phi =\phi .\ }$

同様に、カーネル内の正の関数は、スケールまで一意であり、最小数が 1 になるように正規化されている場合、グラフに応じて 1 から 6 までの小さな整数で構成されます。 ${\displaystyle \Delta -I.}$

通常の ADE グラフは、次の特性を持つ正のラベル付けを許容する唯一のグラフです。

任意のラベルの 2 倍から 2 を引いた値が、隣接する頂点のラベルの合計になります。

ラプラシアンの観点から見ると、不同次方程式の正の解は次のようになります。

${\displaystyle \Delta \phi =\phi -2.\ }$

結果として得られる番号は一意であり（スケールは「2」で指定されます）、整数で構成されます。E ₈の場合、番号の範囲は 58 から 270 で、（Bourbaki 1968）の早い時期から観測されています。

基本的な大災害もADE 分類によって分類されます。

ADE 図は、ガブリエルの定理によれば、まさに有限型の矢筒です。

一般化四角形との関連もあり、各直線上に3つの点を持つ3つの非退化GQは、3つの例外的なルートシステムE ₆、E ₇、E ₈に対応する。^[3] クラスAとDは、それぞれ直線セットが空であるか、すべての直線が固定点を通過する退化ケースに対応する。^[4]

小さな液滴クラスターの対称性はADE分類の対象となる可能性があることが示唆された。 ^[5]

2 次元共形場理論の極小モデルはADE分類されます。

ユニタリゲージ群を持つ4 次元超共形ゲージ矢筒理論は ADE 分類されます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

アーノルドはその後、この分類体系のさらなる拡張を数多く提案し、ルート システムという単一の傘の下でコクセター分類とディンキン分類を再検討し一般化するというアイデアを提唱した。彼は、モース理論の複素化バージョンとして解釈されるピカール-レフシェッツ理論との類似性に基づいて、複素化とシンプレクティゼーションという非公式の概念を導入し、それを数学の他の分野に拡張しようとした。また、数学的対象と理論の間の階層と辞書を識別しようとしており、たとえば微分同相写像はディンキン分類の A タイプ、体積保存微分同相写像は B タイプ、シンプレクティゼーションはC タイプに対応している。同じ精神で、彼は異なる数学的対象間の類似性を再検討しており、たとえば微分同相写像のスコープ内のリー括弧はシンプレクティゼーションのポアソン括弧と類似している (同時に特別なケースとして含む) 。^{[6] [7]}

アーノルドはこれを「数学的三位一体」という名目でさらに拡張した。^[8]マッケイは平行線、時には重なり合う線に沿って書簡を拡張した。アーノルドはこれらの「三位一体」を宗教を想起させるものとして呼び、（現在のところ）これらの類似点は厳密な証明よりも信仰に依存しているが、いくつかの類似点は詳述されていると示唆している。他の著者によってさらなる三位一体が示唆されている。^{[9] [8] [10]}アーノルドの三位一体はR / C / H（実数、複素数、四元数）から始まり、彼は「誰もが知っている」と述べ、1970年代に彼が以前に提案した古典的なリーマン幾何学のシンプレクティック類似物を見つけることとの類推で、他の三位一体を古典的な（実）数学の「複素数化」と「四元数化」として想像し続けている。微分位相幾何学からの例（特性類など）に加えて、アーノルドは、3つのプラトン対称性（四面体、八面体、二十面体）が実数、複素数、四元数に対応すると考えており、これは以下のマッケイのより代数的な対応と結びついています。

マッケイの対応は記述しやすい。まず、拡張されたディンキン図（四面体、八面体、二十面体の対称性に対応）にはそれぞれ対称群があり、関連する折り畳みが図です（注意が足りない書き方では、拡張された（チルダ）修飾子が省略されることが多いことに注意してください）。さらに重要なことに、マッケイは図のノードとモンスター群の特定の共役類との間の対応を示唆しており、これはマッケイのE ₈観察として知られています。^{[11] [12]} monstrous moonshineも参照してください。マッケイはさらに、のノードを2. B （ベビーモンスター群の2次拡張）の共役類に関連付け、のノードを3. Fi _{24 '（}フィッシャー群の3次拡張）の共役類に関連付けています^[12]。これらは3つの最大の散在群であり、拡張の順序は図の対称性に対応していることに注意する必要があります。 ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{6}、{\チルダ {E}}_{7}、{\チルダ {E}}_{8}}$${\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1},}$${\displaystyle {\チルダ {G}}_{2}、{\チルダ {F}}_{4}、{\チルダ {E}}_{8}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{8}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{7}}$${\displaystyle {\チルダ {E}}_{6}}$

大きな単純群から小さな単純群に目を向けると、対応するプラトン群は射影特殊線型群PSL(2,5)、PSL(2,7)、PSL(2,11) (位数 60、168、660)と関連があり、 ^{[13] [14]}これは「マッケイ対応」と見なされます。^[15]これらの群は、 PSL(2, p ) がp点に非自明に作用する唯一の (単純な) pの値であり、この事実は 1830 年代のエヴァリスト・ガロアにまで遡ります。実際、群は集合の積として (群の積としてではなく) 次のように分解されます。およびこれらの群は、1870 年代のフェリックス・クラインにまで遡るさまざまな幾何学とも関連しています。歴史的な議論についてはicosahedral symmetry: related geometries を、最近の説明については (Kostant 1995) を参照してください。 p点への作用が見られる関連幾何学（リーマン面上のタイリング）は以下のとおりである。PSL(2,5)は、 5つの四面体の複合体を5要素セットとするイコサヘドロン（種数0）の対称性、PSL(2,7)は、埋め込まれた（補完的な）ファノ平面を7要素セット（順序2の複平面）とするクライン四次面体（種数3）の対称性、PSL(2,11)は、${\displaystyle A_{4},S_{4},A_{5}}$${\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}$ ${\displaystyle S_{4}\times Z_{7},}$${\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}$11要素セット（3次複平面）ペイリー複平面を持つバックミンスターフラーレン表面（種数70）^[16]これらのうち、イコサヘドロン（二十面体）は古代にまで遡り、クラインの四次面は1870年代のクラインが、バッキーボール表面は2008年にパブロ・マーティンとデビッド・シンガーマンが考案しました。

代数幾何学的には、マッケイは E ₆、 E ₇、 E ₈をそれぞれ、三次曲面上の 27 本の直線、平面四次曲線の28 本の従接線、種数 4 の標準六次曲線の 120 本の三接平面と関連付けています。 ^{[17] [18]}最初のものはよく知られていますが、2 番目は次のように関連しています。直線上にない任意の点から三次曲面を投影すると、四次曲線に沿って分岐した平面の二重被覆が得られ、27 本の直線は 28 本の従接線のうち 27 個にマッピングされ、28 番目の線は爆発の例外的な曲線の像です。 E ₆、E ₇、E _8の基本表現の次元は27、56（28·2）、248（120+128）であるのに対し、根の数は27+45 = 72、56+70 = 126、112+128 = 240であることに注意する。これは、E _8、7、6を散在単純群の最大の3つであるMonster、Baby、Fischer 24'（monstrous moonshineを参照）に関連付けるスキーム^[19]にも適合するはずである。

• 楕円面

• ジョン・バエズ、今週の数理物理学の発見：第 62 週、第 63 週、第 64 週、第 65 週、1995 年 8 月 28 日から 1995 年 10 月 3 日まで、および第 230 週、2006 年 5 月 4 日
• マッケイ通信、トニー・スミス
• ADE 分類、マッケイ対応、弦理論、ルボシュ・モトル、The Reference Frame、 2006 年 5 月 7 日